4.8. Неравномерность движения механизма

Период изменения скорости начального звена (обобщен­ ной скорости механизма) называют циклом установившегося движения или сокращенно циклом. Время тц цикла равно или кратно периоду действия сил. Поэтому при установившемся режиме сумма работ всех сил за цикл равна нулю:

Так как работа сил тяжести за цикл равна нулю, то равенство (4.47) будет выполняться, если работа движущих сил за цикл Ад равна модулю А£ работы за цикл всех сил сопротивления, включая трение:

Уравнение работ (4.48) (или (4.47)) является основным энергетическим уравнением установившегося режима. Из него вытекает (см. (4.26)), что приращения кинетической энергии механизма за цикл не происходит: Ткон = Тнач; следователь­ но, угловая скорость начального звена в начале и конце цикла одинакова.

Итак, при установившемся режиме скорость и\ началь­ ного звена хотя и остается в среднем постоянной, но внутри цикла изменяется, проходя через максимальное wmax и мини­ мальное и>тjn значения (рис. 4.13). Неравномерность враще­ ния, как было указано в § 1.4, оценивается коэффициентом неравномерности

где иср — средняя за цикл скорость. Чем меньше <5, тем отно­ сительно меньше размах колебаний, тем спокойнее вращается главный вал машины (начальное звено). Величину и>ср (рад/с) подсчитывают по формуле иср = 27rni, в которой п\ — часто­ та вращения начального звена (с” 1). Для каждого вида машин имеется свое допустимое значение коэффициента неравномер­ ности [6], выработанное практикой; так, для металлорежущих станков это 1/25 — 1/50, для прядильных машин — 1/50 — 1/100, для дизельного привода электрогенераторов — 1/100 — 1/200.

Коэффициент неравномерности величина малая, что по­ зволяет принять среднее значение угловой скорости равным

среднему арифметическому его максимального и минимально­ го значений:

Совместное решение уравнений (4.49) и (4.50) дает значения максимальной и минимальной скорости:

(4.51)

Как видно из уравнений (4.51), отличие u;max и ит[п от о;ср, отнесенное к CJcp, составляет ±<5/2, т.е., как правило, не более ±(2 —3) %.

В установившемся режиме работают очень многие маши­ ны (станки, прессы, прокатные станы, лесопильные рамы, тек­ стильные машины, генераторы электрической энергии, ком­ прессоры, насосы и т.д.). Наилучшее условие-для работы всех этих машин — равномерное вращение их главного вала. Колебания скорости главного вала вызывают дополнительные динамические нагрузки, вследствие чего снижаются долговеч­ ность и надежность машин. Более того, колебания скорости ухудшают рабочий процесс машины. Так, в металлорежущих станках снижается точность обработки, в текстильных маши­ нах может происходить обрыв нити, а в счетных — обрыв пер­ фоленты и т.д. Следовательно, поскольку колебания скорости полностью устранить нельзя, нужно по возможности хотя бы сократить их размах. Иными словами, значение коэффициен­ та неравномерности надо сделать приемлемо малым. Рассмот­ рим, каким образом можно решить эту задачу.

Все звенья механизма обладают инертностью. Как из­ вестно из физики, это свойство состоит в том, что чем инерт­ нее материальное тело, тем медленнее происходят изменения его скорости, вызываемые действием приложенных сил. По­ этому, чтобы получить вращение главного вала машины с ци­ клической неравномерностью, не превышающей требуемой ве­ личины, инертность этого вала со всеми жестко связанными с ним деталями надо сделать достаточно большой. Для этого на главном валу машины надо закрепить добавочную массу, вы­ полненную в виде колеса с массивным ободом и называемую маховиком. Его момент инерции должен быть таким, чтобы

неравномерность вращения главного вала машины не превы­ шала заданных пределов.

Итак, основное назначение маховика состоит в ограниче­ нии колебаний угловой скорости главного вала машины в пре­ делах, определяемых заданным значением коэффициента не­ равномерности [6]. Определение момента инерции маховика по заданным условиям движения (т.е. по заданному значению [£]) проводится в процессе проектирования машины и соста­ вляет одну из задач ее динамического синтеза. Подчеркнем при этом, что свое основное назначение маховик может выпол­ нить только при установившемся режиме.

4.9. Динамические синтез и анализ, выполненные по методу Мерцалова

Динамические синтез и анализ проведем для условий уста­ новившегося режима.

Пусть дана кинематическая схема механизма. Выберем в качестве начального звено, совершающее непрерывное враща­ тельное движение; им обычно бывает главный вал машины. Распределим все подвижные звенья по двум группам и выпол­ ним приведение масс. В группу I обязательно входит началь­ ное звено с закрепленным на нем маховиком, а также все те звенья, которые связаны с ним постоянным передаточным от­ ношением; в группу II войдут все остальные звенья механизма; они связаны с начальным звеном переменным передаточным отношением. Так, для примера, рассмотренного в § 4.3 (см. рис. 4.3), группу I составят начальное звено 1 и звено 4 (так как Щ1 = const), группу II — звенья 2 и 3. Заметим, что при­ веденные моменты инерции звеньев группы I суть величины постоянные, а звеньев группы II — переменные (см. уравне­ ния (4.22) — (4.25)). Запишем приведенный момент инерции

всего механизма:

Решим обе задачи — и динамический синтез, и дина­ мический анализ — наиболее простым и наглядным мето­ дом Мерцалова (проф. МВТУ), основанным на применении

диаграммы T\((pi) — кинетической энергии I группы зве­ ньев, и пригодным при вращении главного вала с заведомо малой неравномерностью. Сначала выполним динамический синтез, т.е. по допустимому значению [6] определим необ­ ходимый момент инерции маховика. Прежде всего составим формулу для подсчета — приведенного момента инерции I группы звеньев.

Кинетическая энергия I группы звеньев выражается так:

Т[ = Угловая скорость и\ колеблется внутри цикла

между значениями cjmax и и>т[п (см. рис. 4.13); следовательно, колеблется и кинетическая энергия Tj, проходя через макси-

мальное TImax = - ^ npw^ax и минимальное TImin = г

значения. Подчеркнем, что момент инерции Jjnp имеет посто­ янную величину, не зависящую от положения механизма.

Определим наибольший перепад кинетической энергии I группы звеньев: ATjHg = 7imax —Tjmin. Подставив значе­ ния TImax и TImin, получим

Используя формулы (4.49) и (4.50), имеем

АГ1нб = J f V q A

откуда, решая относительно искомой величины J"p, получим

Формула (4.53) является расчетной для определения при­ веденного момента инерции I группы звеньев, необходимого для обеспечения вращения начального звена с заданной нерав­ номерностью, выраженной коэффициентом [£], т.е. является уравнением динамического синтеза при установившемся режи­ ме. Заметим, что чем меньше заданное значение [<5], т -е- чем равномернее должно вращаться начальное звено д чем меньше,

Рис. 4.14

следовательно, его угловое ускорение, тем больше должен быть необходимый момент инерции Jjnp, тем массивнее получится маховик, входящий в I группу звеньев. На рис. 4.14 представ­ лены три тахограммы, снятые с одной и той же машины, но при разных маховиках: JMX1 < JMX2 < JMX3 .

Частоту вращения п\ начального звена (по которой вы­ числяют с^1Ср = 2 жп\) и коэффициент неравномерности [<$], не­ обходимые для уравнения (4.53), задают при проектировании. Значение ДТ[Нб определяют следующим образом.

Кинетическая энергия Г всех подвижных звеньев механиз­ ма состоит из слагаемых Т\ и Тц: Т = Т\ + Тц. Отсюда

Кинетическую энергию Т выразим из уравнения (4.26):

По уравнению (4.56) для одного полного цикла строят диаграмму 2i(</?i) и по этой диаграмме находят величину ДТ[нб, входящую в расчетное уравнение динамического син­ теза (4.53).

Проиллюстрируем сказанное графиками. Пусть извест­ ны диаграмма A^(^i) (верхняя кривая на рис. 4.15, а, постро­ енная относительно оси (р\) и диаграмма Tn(ipi) (рис. 4.15, б)

Тп и получим нижнюю кривую на рис. 4.15, а. Нижняя кривая,

точку минимума N и по ним определим наибольший перепад кинетической энергии ATjHg, необходимый для подсчета «7"р по уравнению (4.53).

Обратим внимание, что для подсчета j " p но формуле (4.53) необходимо знать наибольшее изменение ДТ[нб. Однако ДГ1нб не зависит от начального значения ТнаЧ) И, следователь­ но, для определения ДТ[Нб не нужно знать численное значе­ ние Тнач> т.е. не нужно находить положение сдвинутой оси абсцисс </?!•

Составим порядок определения момента инерции маховика в соответствии с методом Мерцалова графическим способом:

приведение сил и моментов, построение диаграммы сум­ марного приведенного момента M£p(v?i) ( с м . § 4.2);

построение диаграммы Aj](^i) способом графического ин­ тегрирования (см. уравнение (4.28));

приведение масс;

построение диаграммы «/jnjP(</>i) (см. § 4.3);

Сначала сделаем приведение (см. § 4.2) движущей силы Гд и для одного полного цикла получим зависимость* приве­ денного движущего момента М д Р((^1 ). Так как маховик мо­ жет выполнить свое основное назначение только в условиях установившегося режима, то при его расчете непременно долж­ но быть соблюдено основное энергетическое уравнение (4.48): Ад = |Ас |- Это уравнение обусловливает обязательное равен­ ство за цикл работ движущих сил и сил сопротивления. По-

рис. 4.16, а является то, что площадки над осью абсцисс и под ней равновелики, а на рис. 4.16, б — то, что ордината кривой A j ^ i ) в конце цикла равна нулю.

Так как механизм во взятом примере (см. рис. 4.1, а) та­

Кинетическая энергия Тц определяется уравнением Тц =

и2

=Пока задача динамического синтеза не завершена,

точное текущее значение еще не известно. Но вследствие малости коэффициента неравномерности справедливо прибли­

* При исследовании установившегося режима начало цикла может быть выбрано в любом положении начального звена; выберем в качестве начального (нулевого) положения то, в котором точка С поршня 3 зани­ мает крайнюю правую позицию (см. рис. 4.1, а и 1.8).

jff>(W ) представляет собой одновременно и график 7n(</?i), но выполненный в другом масштабе (см. рис. 4.16, в); соотноше­ ние между масштабами таково: цти = 2//j/^cp* Таким обра­ зом, метод Мерцалова не является, строго говоря, точным, но вследствие малости ошибки вполне пригоден для практических расчетов.

Поскольку Гп подсчитана не вполне точно, график Tj((/?i) (рис. 4.16,6 и 4.16, г), а вместе с ним и наибольший перепад ДГ1нб кинетической энергии (см. рис. 4.16, г) содержат неко­ торую ошибку. При [6] > 0,10 можно сделать уточнение ве­ личины ATJH5 по формуле, предложенной Д.М. Лукичевым:

д т 1нб = А Т 1нб - №](Гц„ + Тщ). В этой формуле ТПп и Тщ

— значения кинетической энергии Тц в тех положениях п и q механизма, в которых кинетическая энергия Т\ проходит через свои крайние экстремумы; в уравнение (4.53) следует подста­ вить уточненное значение ATJ*h6.

Определив ATIh6, подсчитываем Jjnp по уравнению (4.53) динамического синтеза при установившемся режиме, а затем JMX- В большинстве случаев момент инерции маховика JMX преобладает над остальными моментами инерции I группы. Поэтому всякие изменения кинетической энергии Т\ проис­ ходят прежде всего за счет изменений кинетической энергии маховика.

Рассмотрим роль маховика. В процессе расширения газа (см. рис. 1.8) ДВС вырабатывает энергии больше, чем потреб­ ляет генератор. Избыток ее идет на увеличение Т\ (участок NQ на рис. 4.16, г), т.е. прежде всего на увеличение кинетиче­ ской энергии маховика. Во время процесса сжатия газа ДВС сам потребляет энергию на совершение работы сжатия. Гене­ ратор в это время также продолжает забирать энергию с вала ДВС. Оба эти расхода энергии возмещаются за счет умень­ шения Т\ (участок QN на рис. 4.16, г), т.е. в основном за счет уменьшения кинетической энергии маховика.

Таким образом, маховик то накапливает кинетическую энергию, когда работа двигателя оказывается в избытке, то отдает часть ее. Чем больше JMX (а следовательно, и J"p), тем выше аккумулирующая способность маховика, тем мень­ ше будут колебания uj\ при колебаниях потока энергии, тем