5.3. Исследование влияния упругости звеньев

Определим частоту собственных колебаний агрегата. Будем считать, что вынуждающий момент LMV — 0 и вязкое трение к = 0. Тогда дифференциальное уравнение (5.20) будет описывать собственные (свободные) колебания и примет вид

JMCV+ сг) = 0 .

Отсюда, согласно положениям теоретической механики, полу­ чим частоту собственных колебаний

уJ M C

где р — угловая частота, рад/с (а не частота периодического процесса, измеряемая в герцах).

Рассмотрим, как влияет упругость передачи на закон дви­ жения вала рабочей машины. Согласно уравнению (5.22), ам­ плитуда динамической деформации 77^ при учете только пер­ вой гармоники вынуждающего момента

\ / ( с - u b c J u c ) 2 + ( к и м с ) 2

Функция T J A I = J/>il(c) представлена на рис. 5.4, а при не­ изменном значении угловой скорости имс рабочей машины*

При статическом нагружении увеличение жесткости ве­ дет к уменьшению деформации. Однако в условиях динами­ ческого колебательного процесса зависимость деформации от жесткости более сложная. Если жесткость мала (с < срез, где Срез = ^мс^мс — жесткость, при которой наступает макси­ мум динамической деформации (см. рис. 5.4, а), т.е. насту­ пает явление резонанса), то в случае периодической нагрузки увеличение жесткости вызывает увеличение (а не уменьшение) деформации. Если жесткость велика (с > Срез), то при ее уве­ личении деформация будет уменьшаться. Такое влияние жест­ кости конструктор должен обязательно учитывать при про­ ектировании передаточного механизма, чтобы избежать резо­ нанса.

* Очень малые значения жесткости конструктивно нереализуемы; по­

этому в области этих значений (включая с = 0) график т/А1 (с) показан

штриховой линией.

На рис. 5.4, б сплошной линией изображена зависимость V A 1 = V A l i ^ M c ) при заданном значении жесткости с передачи. Резонанс в системе наступает тогда, когда частота v\ первой гармоники совпадает с собственной частотой: v\ — р. Так как частота первой гармоники равна средней угловой скорости ра­ бочей машины v\ — ымс, то, следовательно, резонанс насту­ пает, когда имс = LJMCI = р, или, согласно уравнению (5.24), u>MС= WMC1 = y/c/JMC. Поэтому при резонансе т}А 1 = ЬмА1 /(кр) (см. (5.25)).

Введем известный из курса теоретической механики коэф­ фициент динамичности

_ _ тV A 1 / )

^мА1 /с

где LMA I /C — статическая деформация, которую может вы­ звать момент, равный амплитудному значению LMj41 первой гармоники вынуждающего момента. Таким образом, коэффи­ циент cji, больший единицы, характеризует перегрузку, вы­ званную динамическими деформациями. При резонансе, когда

сопротивления не было (А: = 0), то арез —►оо, но сопроти­ вление, хоть и небольшое, всегда есть. Следовательно, арез имеет конечное значение, которое, однако, может достигать значений 15 — 20. Поэтому эксплуатация машинного агрега­ та в резонансном режиме (CJMC = имс\) недопустима. Если все же избежать этого режима никак нельзя, то следует поставить специальный демпфер, который искусственно увеличит сопро­ тивление и снизит сгрез.

Расчеты показывают: если средняя угловая скорость имс рабочей машины в 1,5 — 2 раза отличается от собственной частоты р, то сопротивление обычно практически не влияет на амплитуду г/AI вынужденных колебаний и ее можно опре­ делить, положив в формуле (5.25) к = 0 (см. Феодосьев В.И. Сопротивление материалов. М., 1998).

Если угловая скорость имс, при которой эксплуатирует­ ся рабочая машина, меньше собственной частоты р, то сле­ дует проверить отсутствие резонанса, вызываемого второй и более высокими гармониками. Для второй гармоники, часто­ та которой i/2 = 2и/мс, резонанс наступит при V2 = р, откуда ^мсг = р/2. График г]А2(имс) амплитуды колебаний, вынуж­ даемых второй гармоникой, показан на рис. 5.4, б штриховой

Преобразуя это уравнение с учетом уравнений (5.16), (5.18), (5.19) и (5.23), получаем

В уравнении (5.26) первое слагаемое — постоянный мо­ мент Ммс, нагружающий передачу. Двучлен, заключенный в скобки, есть переменная динамическая составляющая нагру­ жения Muvi = kfj + ст]. Рассмотрим составляющую Mnv, введя возмущение только от первой гармоники:

Mjivi = кщ + C77i.

Для этого найдем зависимость rji(t).

Из уравнения (5.22) следует, что щ = - TJAI^MC sin(uMCt —

~ a l)> где OL\= Д + ^ 1 + 7 1 - Поэтому Mnv\= -kr)Aluucs\n(uuct -

- OLI) + CT)AI cos(uMCt —ai). После элементарных тригонометри­ ческих преобразований получим

Введем, согласно методике Коловского, степень динами­ ческой нагруженности передачи х ь которую определим как отношение амплитуды первой гармоники Мпа \ динамической составляющей Mnv к амплитуде первой гармоники LMAI вы­ нуждающего момента LMV, учитывая уравнение (5.25):

График xi = XI(с) показан на рис. 5.5 при неизменном зна­ чении имс. Если xi > 1 , то имеет место динамическая пере­ груженность передаточного механизма. При резонансе, когда с = Срез = шмс^мс коэффициент xi может достигать значений, значительно превышающих единицу.

Как следует из уравнения (5.27), при с = срез/ 2 , коэффици­ ент xi принимает значение, равное единице. Можно показать, что если для значения с = срез/ 2 подсчитать коэффициент х для гармоник более высокого порядка, чем первая, то х* < 1 - Иными словами, если жесткость с < срез/ 2 = ^ CJMC/ 2 , то

амплитуды всех гармоник динамического момента Mnv будут меньше, чем амплитуды £ мЛг соответствующих гармо­ ник вынуждающего момента LMV, что можно использовать для улучшения динамической характеристики участка АВ машин­ ного агрегата (см. рис. 5.1, а).

Если на участке АВ последовательно с передачей раз­ местить упругую муфту, подобрав ее жесткость так, чтобы общая жесткость участка стала меньше срез/ 2 (т.е. меньше ^мс^мс/2), то динамическая составляющая Muv момента, на­ гружающего передачу, станет меньше вынуждающего момен­ та LMV. При этом, однако, следует иметь в виду, что малая жесткость, защищая передачу от перегрузок, может повлечь за собой слишком большие деформации.

Кроме того, при с < срез/ 2 выход на рабочий скоростной режим имс во время пуска машинного агрегата неизбежно бу­ дет связан с проходом зоны резонанса, так как при с < срез/ 2 средняя угловая скорость имс рабочей машины больше часто­ ты р собственных колебаний агрегата (зарезонансный режим). Проход зоны резонанса сопровождается кратковременными, но значительными динамическими перегрузками. Особенно опа­ сен в этом отношении процесс выбега, когда после выключения двигателя машина, будучи предоставлена самой себе, теряет скорость под действием небольших сопротивлений (трение в кинематических парах и т.п.). Здесь обратный проход зоны ре­ зонанса может оказаться достаточно длительным, вследствие чего амплитуды вынужденных колебаний успеют возрасти до недопустимого предела. В то же время для конструкции, обла­ дающей большой жесткостью (с > срез), средняя угловая ско­ рость имс рабочей машины меньше частоты собственных ко­ лебаний р машинного агрегата (дорезонансный режим), так что проход зоны резонанса с гармоникой первого порядка (как прямой, так и обратный) отсутствует.

Контрольные вопросы

1. Напишите уравнения движения вала двигателя и вала рабочей ма­ шины при учете упругости звеньев связы ваю щ их их передачи.

2. По какой формуле подсчиты вается ч а стота собствен н ы х колебаний вала рабочей маш ины?

3.Как влияет упругость передачи на динамическую деформацию вала рабочей машины?

4.Как влияет упругость передачи на степень ее динамической нагруженности?

5.В чем проявляется явление резонанса? При какой жесткости переда­ чи наступает резонанс?