kpj{v, Zj) < 1 (j = 1,2,..., n), что равнозначно условию огра­ ниченности ординат амплитудно-частотной характеристики системы в заданных точках z = zj (j = 1,2,..., n).

7.8.Демпфирование колебаний. Диссипативные характеристики механических систем

Демпфированию колебаний посвящен ряд фундаменталь­ ных работ Г.С. Писаренко, Я.Г Пановко, Г.И. Страхова и др. Основываясь на этих исследованиях, приведем классификацию внешних и внутренних сил трения.

Диссипативные силы. При колебаниях упругих систем происходит рассеяние энергии в окружающую среду, а также в материале при деформации упругих элементов и в узлах со­ членения деталей конструкции. Эти потери вызываются си­ лами неупругого сопротивления — диссипативными силами, на преодоление которых непрерывно и необратимо расходует­ ся энергия колебательной системы, а следовательно, возбуди­ телей колебаний. Для описания диссипативных сил исполь­ зуются характеристики, представляющие собой зависимость диссипативных сил от скорости движения масс колебатель­ ной системы или от скорости деформации упругого элемента. Вид характеристики определяется природой сил сопротивле­ ния. Наиболее распространенные характеристики диссипатив­ ных сил представлены на рис. 7.20.

Вязкое сопротивление (рис. 7.20, а) характеризуется ко­

*Коэффициент сопротивления обозначают как буквой 6, так и буквой

к(см. гл. 5 и гл. 7).

Такую характеристику имеют диссипативные силы, воз­ никающие при малых колебаниях в вязкой среде (газе или жид­ кости), а также в ряде гидравлических демпферов.

При больших виброскоростях имеет место квадратичная зависимость (рис. 7.20, б) диссипативной силы от скорости:

Часто в конструкциях демпферов используют элементы сухого трения, характеристика которого (рис. 7.20, б) имеет вид

где 6о = const — сила сухого трения.

Все приведенные зависимости можно представить единой

где /х, Ьц — постоянные. При /х, равном 1, 2 и 0, соответственно получаются характеристики (7.20) — (7.22).

Гистерезис. Во многих случаях разделение полной си­ лы на упругую и диссипативную является условным, а зача­ стую и вообще физически неосуществимым. Последнее отно­ сится прежде всего к силам внутреннего трения в материале упругого элемента и к силам конструкционного демпфирова­ ния, связанного с диссипацией энергии при деформировании неподвижных соединений (заклепочных, резьбовых, прессовых и т.д.).

Если провести циклическое деформирование упругодисси­ пативного элемента (рис. 7.21), например, по закону

то обнаруживается различие линий нагрузки и разгрузки на диаграмме сила — перемещение (рис. 7.22). Это явление на­ зывают гистерезисом. Площадь, ограниченная петлей гисте­ резиса, выражает энергию Ф, рассеянную за один цикл дефор­ мирования, и определяет работу диссипативных сил:

Ф = £ F(x,x)dx = JТ FR(x)xdt,

о

где Т = 2ж/и — период деформирования.

Рассеяние энергии при колебаниях упругодиссипативной системы оценивают коэффициентом поглощения. При упру­ гой линейной характеристике потенциальная энергия П упру­ гого элемента

П = са2/2;

коэффициент поглощения

Согласно (7.25) — (7.27), в зависимости от вида характе­ ристики диссипативной силы коэффициент поглощения явля­ ется функцией:

частоты при вязком демпфировании (7.20)

ф = 27rbiu/c\

амплитуды при сухом трении (7.22)

ф = 8Ьо/(са);

амплитуды и частоты в общем случае (7.23)

С

При отыскании периодических колебаний вида (7.24) си­ стемы, диссипативные свойства которой заданы одним из из­ ложенных выше способов, исходную динамическую характери­ стику F (x,x) заменяют эквивалентной упруговязкой моделью:

Коэффициент Ъэквивалентного демпфирования подбира­ ют так, чтобы исходная и заменяющая схемы обладали одина­ ковой поглощающей способностью. Энергия (7.25), рассеянная линейным эквивалентным демпфером,

Согласно (7.28), исходный диссипативный элемент, име­ ющий коэффициент поглощения ф, рассеивает энергию

Приравнивая (7.30) и (7.31), получаем эквивалентный ко-

эффициент сопротивления

Коэффициент зависит не только от характеристик дисси­ пативных сил, но и от параметров процесса.

Вынужденные колебания системы с одной сте­ пенью свободы. Уравнение движения массы т записывают

Отыскивая решение (7.24) и проводя линеаризацию (7.29) не­ линейной функции F (x), вместо (7.33) получим при F(x) = Ъх

В результате решения линеаризованного уравнения (7.34) амплитуда

а =

с

где wo = у/с/тп — собственная частота системы.

Величина 6 является функцией амплитуды и частоты, т.е. b = Ь(а,и). Поэтому это соотношение в общем случае предста­ вляет собой уравнение, решение которого определяет искомую амплитуду. Для резонансной амплитуды, достигаемой при ма­ лом демпфировании на частоте и w Сс?0 , имеем