Рис. 13.11

или в удобном для вычисления на компьютере виде

т

F(x,z,c) =

\ « = 1

где Д,[5,Ы] = S^(<pi) - S?'b(<pi).

В данном случае требуется минимизировать функцию от­

2 . Условие допустимости углов давления для всех враща­ тельных кинематических пар:

tijivu) < [tfj]-

Эти функции представляют собой функциональные огра­ ничения.

Вектор переменных проектирования можно записать как вектор, представляющий длины звеньев, т.е.

х= (xi, Х2, Хз, Х4,Х 5, X 6 ) X j ) T =

={1а В> 1ВС > lB E >IC E * I c D , IE H J H E V

Следует учесть, что переменные проектирования долж­ ны быть знакоположительными и, кроме того, на них также могут накладываться определенные ограничения. Такие огра­ ничения будем называть параметрическими ограничениями.

Например: х\ < х\ < х\\ х^ < £2 < х^\ < х$ к

т.д. Здесь Х{ = — нижняя граница переменной проектиро­

вания; Х{ — /, — текущие варьируемые значения переменной проектирования; Х{ = 1{ — верхняя граница переменной проек­

тирования.

Вектор переменных состояния можно представить как вектор кинематических параметров входного звена механизма:

Z = ( z i , Z 2 , z 3 ) T = ( ¥ > 1 , ¥ > 2 , < ? з ) Т

Вектор постоянных параметров — это вектор параме­ тров, которые необходимы в процессе оптимизации, но их зна­ чения в этом процессе не существенны. Такими параметрами могут быть заданные расстояния между кинематическими па­ рами, расположенными на стойке (или их координаты):

С = ( c i , C 2,C 3, c 4 ) T = {lADJDF,xFG,yFG)T

Если нужно, то эти параметры могут вводиться как пе­ ременные проектирования. Таким образом, оптимизационная модель описана и может быть представлена как задача мате­ матического программирования:

x °pt = ArgExtrx&XF(x,z,c)\

m

При синтезе рычажных механизмов, как правило, приме­ няют методы оптимизации, основанные на использовании ме­ тодов математического программирования. Не касаясь глубо­ ко теории экстремальных задач, рассмотрим один из наибо­ лее популярных и, вместе с тем, один из наиболее простых

— метод штрафных функций. Он является достаточно уни­ версальным для решения широкого класса задач нелинейного программирования.

Предположим, что исходную задачу оптимального проек­ тирования удалось сформулировать как задачу математиче­

где R — параметр штрафа; F(x,z,c) — целевая функция; gj(x,z,c) — функциональные ограничения, gj{x) — парамет­ рические ограничения, aj[gj(x,z,c)] — штрафной терм, кото­ рый приобретает положительные значения только тогда, когда нарушаются функциональные ограничения.

Таким образом, если gj(x,z,c) > 0 , то aj[gj(x,z,c)] > 0; если gj(x,z,c) < 0 , то aj[gj(x,z,c)] = 0 .

Штрафную функцию можно представить, например, в ви­ де квадратичной, «работающей» только вне области допусти­ мых значений:

aj[gj(x ,z,c)} = [gj(x,z,c)]2H[gj(x,z,c)],

где H[gj(x,z,c)] — функция Хевисайда.

Второй штрафной терм обладает теми же свойствами, что и первый. Однако он может «работать» и тогда, когда значе­ ния переменных проектирования не выходят за пределы допу­ стимой области. В этом случае он носит название барьерной функции. При приближении к границе допустимой области ба­ рьерная функция резко возрастает:

Pj[9j{x)] = щ + 6H[gj{xj)] + j\gj(x)\H[sj(xj)]t

где H[gj(xj)\ — функция Хевисайда от параметрических огра­ ничений в области допустимых параметров х£Х\ H[gj(xj)\ — функция Хевисайда вне области допустимых параметров х £ X ; 6 — допустимая относительная погрешность парамет­ ров проектирования. Этот параметр позволяет регулировать степень влияния нарушенных ограничений на результирую­ щую штрафную функцию Ф(Л,ж,г,с). Процесс решения за­ дачи оптимизации состоит в минимизации результирующей штрафной функции ттФ (Д ,ж ,г,с) каким-либо методом без­ условной минимизации. Простейшими среди них являются метод покоординатного спуска и градиентный метод (метод «наискорейшего спуска»). Первый метод используется толь­ ко в тех случаях, когда результирующая штрафная функция Ф(Д, x,z,c) недифференцируема, использование второго мето­ да возможно в тех случаях, когда функция Ф(Д,ж,г,с) имеет, по крайней мере, первую производную.

Идея этих методов состоит в том, что на каждом шаге итерации S = S + 1 метода минимизации штрафной функции, значение переменной проектирования х3 = (ж*,ж^, ..., ж* )т из­

ждой итерации, где С5 + 1 — длина шага на итерации 5 + 1 a d5 + 1 — вектор направления поиска на этом шаге.

Если для решения задачи применяется метод покоор­ динатного спуска, то вектор направления поиска совпадает с одной из компонент вектора переменных проектирования

используется метод «мультистарта». Он состоит в том, что методом случайного поиска и математического программиро­ вания осуществляется нахождение нескольких локальных экс­ тремумов, а затем выбирается глобальный экстремум, кото­ рый и соответствует решению задачи.

Контрольные вопросы

1.Перечислите основные этапы синтеза плоских механизмов с низшими парами.

2.Сформулируйте условия существования кривошипа в плоских че­ тырехзвенных механизмах.

3.Как осуществляют синтез четырехзвенных механизмов по двум и трем положениям звеньев?

4.Назовите методы оптимизации.