Г л а в а в

СИЛОВОЙ РАСЧЕТ МЕХАНИЗМОВ

При движении механизма в его кинематических парах действуют силы взаимодействия между звеньями. Знание этих сил необходимо для расчета звеньев механизма на прочность, жесткость, вибростойкость, из­ носоустойчивость, для расчета подшипников на долговечность, а также других расчетов, выполняемых при проектировании механизма. Напом­ ним, что силы в кинематических парах являются внутренними силами по отношению к механизму в целом (см. § 1.3). Определение внутренних сил и в ряде задач — сил и пар сил, приложенных к механизму извне, составляет содержание силового расчета.

6.1. Основные положения

Рассмотрим силовой расчет плоских механизмов. При­ мем, что механизм имеет плоскость симметрии, параллельную плоскости его движения, в которой действуют все приложен­ ные силы. Указанному условию отвечает очень большое число механизмов энергетических, технологических, транспортных машин и различных приборов.

Силовой расчет следует выполнять с учетом ускоренного движения звеньев, так как их ускорения в современных быст­ роходных машинах значительны. Неучет ускоренного движе­ ния звеньев вызовет недооценку нагружающих сил, что может привести к ошибкам в дальнейших инженерных расчетах.

Чтобы учесть ускоренное движение звеньев, применим ме_ тод кинетостатики, условно приложив к каждому подвижному звену механизма главный вектор Фг и главный момент сил инерции. Эти силовые факторы являются внешними.

Запишем для любого звена с номером г три уравнения ки~ нетостатики:

где M Q — момент силы F относительно точки О. Два алгеб­ раических уравнения (6 .1 ) и (6 .2 ) могут быть заменены одним эквивалентным векторным уравнением сил:

2 2 р + ф{ = о. i

Главный вектор Ф; и главный момент Мф{ сил инерции звена г определяют по уравнениям

Уравнение Мф,- = —Jis^i показывает, что главный вектор сил инерции Ф, приложен к центру масс 5,- звена г.

Отметим, что сила Ф, и пара сил Мф,- к звену i в дей­ ствительности не приложены. Главный вектор Ф,- и главный момент Мф; сил инерции не имеют никакого физического со­ держания и в уравнениях (6.1) — (6.3) выполняют роль лишь математических величин, посредством которых учитывается влияние ускоренного движения звеньев. Как известно из те­ оретической механики, этими математическими величинами можно условно пользоваться как силовыми факторами.

Силы в кинематических парах, являющиеся искомыми, находят из уравнений (6 .1 ) — (6 .3 ), в которых они содержатся в составе сумм £ Fx, Y ,Fy, £ MQ {F). Поскольку Ф,г , Ф;у,

Мф{ зависят от ускорений, искомые силы также зависят от ускорений. Следовательно, для проведения силового расчета надо знать закон движения механизма.

Рассмотрим действие сил в кинематических парах, счи­ тая, что влияние трения мало и им можно пренебречь.

Рис. 6.1

Сила взаимодействия звеньев, образующих низшую па­ ру, представляет собой равнодействующую элементарных сил, распределенных по поверхности соприкосновения звеньев. Как известно из теоретической механики, сила взаимодействия двух соприкасающихся тел в отсутствие трения направлена по общей нормали к их поверхности.

В поступательной паре звенья 1 и 2 соприкасаются в кон­ структивных пределах звена 1, т.е. на участке UW Реакция F 12, действующая на звено 1 от звена 2, приложена в точке D и_направлена по нормали п —п (рис. 6.1, а). Модуль реакции F 12 и расстояние 6 неизвестны и должны быть определены в процессе силового расчета. Сказанное, в силу третьего закона Ньютона, полностыо_относится к реакции i^ i, приложенной к звену 2 от звена 1 : F 21 = ~ ^ 1 2 -

Рассмотрим особый, но весьма распространенный случай. Пусть на звено 1 действует активная сила Fi (рис. 6 .1 , 6 ). Формально она должна быть уравновешена силой F 1 2 ? ПРИ~ ложенной в точке D. Однако звено 2 в точке D не может воз­ действовать на звено 1 , поскольку соприкасаются звенья 2 и 1 на участке UW (в конструктивных пределах звена 2), а точ­

считать, что эти реакции приложены в крайних точках U и W Именно они, направленные навстречу и неизвестные по модулю, и представляют собой реальное силовое воздействие на стержень 1 от звена 2 , а вектор F 12 является лишь их фор­ мальной равнодействующей. Следовательно, если в процессе

В последнем случае под силой взаимодействия понимают рав­ нодействующую элементарных распределенных сил.

Сила F 12 в высшей паре направлена по общей нормали п —п (рис. 6.3). Следовательно, для силы F 12 известны как точка приложения (точка К ), так и линия действия, и неиз­ вестным остается только модуль. Таким образом, в расчетных уравнениях (6 .1 ) — (6 .3 ) члены, образованные силами взаимо­ действия в высших парах, содержат по одному неизвестному.

Рассмотрим статическую определимость любого плоского механизма без избыточных связей (q = 0 ), в состав которого входят п подвижных звеньев, рн низших и рв высших кине­ матических пар. Так как для каждого звена механизма мож­ но записать три расчетных уравнения (6 .1 ) — (6 .3 ), то общее число уравнений для всех его п подвижных звеньев составит

Ny = 3п.

Ранее было показано, что каждая низшая пара вносит в расчетные уравнения две неизвестные величины, а каждая высшая — одну. Поэтому все кинематические пары вносят N f = 2рн + Рв неизвестных. Эти неизвестные относятся к си­ лам в кинематических парах, т.е. к внутренним силам. Кон­ кретно Np неизвестных представляют собой модули этих сил, линейные координаты точек их приложения, угловые коорди­ наты линий их действия.

Запишем для плоского механизма формулу Чебышева (см. уравнение (2 .2 )):

Зп = (2рн + Рв) + Wn.

Сопоставив с ней выражения для Ny и Np, получим Ny = = Np + Wn. Таким образом, число уравнений Ny достаточно для определения всех Np неизвестных. Отсюда следует прин­ ципиально важный вывод: механизм без избыточных связей статически определим.

Оставшиеся Wn уравнений используют для определения тех внешних силовых факторов, т.е. сил и пар сил, приложен­ ных к механизму извне, которые не заданы и в силовом расчете являются искомыми* Следовательно, число этих внешних не­ известных не должно превышать числа степеней свободы меха­ низма. Если же все внешнее нагружение задано, то оставшиеся Wn уравнений используются как контрольные.

Установим последовательность выполнения силового рас­ чета. Пусть задан механизм (рис. 6.4, а) без избыточных свя­ зей, имеющий Wn = 1 . Допустим, что момент М\ (пара сил), приложенный к кулачковому валу извне, не задан и является искомым. Остальными неизвестными будут внутренние силы в кинематических парах. Чтобы определить их, механизм надо расчленить.

* В ряде учебников неизвестные внешние силовые факторы называют

уравновешивающими силами и уравновешивающими моментами.

Прежде всего следует выделить двухзвенный механизм, состоящий из подвижного звена и стойки. Подвижным звеном двухзвенного механизма должно быть обязательно то, к кото­ рому приложен искомый внешний силовой фактор (в рассмат­ риваемом примере — кулачок i, нагруженный неизвестным внешним моментом М\\ рис. 6.4, б). Затем оставшуюся часть заданного механизма необходимо расчленить на структурные группы Ассура (см. гл. 2). В рассматриваемом механизме таких групп две: одна состоит из звена 2 , высшей пары 2 / 1 и вращательной пары 2/ 5 , другая — из звеньев Зи вращатель­ ных пар 3/2 и 3/4 и поступательной пары 4/6. Подчеркнем, что именно при таком расчленении заданного механизма в си­ ловом нагружении каждой структурной группы неизвестными будут только силы в кинематических парах. Поэтому число неизвестных в группе составит Np = 2рн.г + Рв.г> а число рас­ четных уравнений для нее Ny = 3пТ. В то же время, для струк­ турной группы справедливо соотношение 3пг = 2рн.г+Рв.г (см. § 2.3). Сопоставляя его с выражениями, полученными для Ny

иАр, заключаем, что Ny == Np. Это значит, что структурная группа Ассура, сколь бы сложной она ни была, обладает заме­ чательным свойством: она статически определима. При этом все активные силы (сопротивления, движущие, силы тяжести

идр.), приложенные к звеньям группы Ассура, должны быть обязательно известными.

Если в механизме имеются структурные группы, которые

содержат избыточные связи, то эти структурные группы явля­ ются статически неопределимыми. Вместе с ними статически неопределимым становится и весь механизм.

Только после того, как силовой расчет всех структурных групп проделан, двухзвенный механизм 1 — 5 (сМрис. *0

получает статическую определимость. При этом необходимо отметить, что если его подвижное звено совершает вращатель­ ное движение, то не обязательно вращение принимать равно­ мерным. Более того, если искусственно задавать враШение без углового ускорения, то решение уравнения моментов>со­ ставленного для подвижного звена двухзвенного механизм^ во многих случаях может оказаться далеким от истинного Даже при вращении с малым коэффициентом неравномерности) а в иных случаях и попросту абсурдным.

На основании вышеизложенного можно сформулировать общую методику силового расчета: силовой расчет механиз­ ма без избыточных связей следует проводить по структурным группам, начиная от группы, наиболее удаленной от подвиж­ ного звена двухзвенного механизма, и заканчивая расчет са­ мим двухзвенным механизмом. Таким образом, силовой рас­ чет проводится в порядке, обратном кинематическому. Струк­ турное расчленение надо проводить так, чтобы неизвестный внешний силовой фактор оказался приложенным к подвижному звену именно двухзвенного механизма. Добавим, что если все внешние силовые факторы, нагружающие заданный механизм, известны, то выбор двухзвенного механизма для структурно­ го расчленения становится произвольным. Сформулированная общая методика верна также и для механизмов с Wn > 1 сте­ пенями свободы.

Следует иметь в виду, что не всегда силовой расчет можно выполнить путем расчленения заданного механизма на двух­ звенный механизм и группы Ассура. Рассмотрим, например, механизм, в котором внешняя сила F 2 является искомой по мо­ дулю (рис. 6.5, линия действия силы F 2 задана). Если попы­ таться выделить группу Ассура либо 2 — 5, либо 1 — 2 и со­ ответственно двухзвенный механизм, то в любом из этих слу­ чаев неизвестная по модулю внешняя сила F 2 окажется при­ ложенной к выделенной группе (а не к двухзвенному механиз­ му), что сделает группу статически неопределимой. Поэто­ му при заданных условиях, когда искомый внешний силовой фактор (сила F 2 ) приложен к звену, не связанному со стой­ кой, нельзя выделять группу Ассура, а надо решать статиче­ ски определимую трехзвенную систему 1 — 2 — 3 целиком, а затем (если нужно) сделать силовой расчет стойки 4• Систе­ мы, более сложные, чем группы Ассура (например, система 1— 2 — 3 на рис. 6.5), обладающие статической определимо­ стью и содержащие минимальное число звеньев, называют ки­ нематическими группами.

В заключение рассмотрим, что конкретно представляет собой при Wn = 1 неизвестный внешний силовой фактор, при­ ложенный к подвижному звену двухзвенного механизма. Если подвижное звено соединено с источником (или потребителем

Главный вектор сил инерции звена i Ф1 = —mias\ = 0, так как asi = 0 , поскольку центр масс S\ благодаря противове­ су находится на оси вращения А (см. рис. 6.7). Отметим, что величины главных векторов и главных моментов сил инерции

проекций на оси х и у и одно уравнение моментов. Модуль искомой силы F в кинематической паре найдем через ее про­

Момент относительно точки О силы F, приложенной к некото­ рой точке К, определим из уравнения M Q (F) = Fy(xp- —х о ) — -F x(yK - УоУ Напомним также, что, поскольку силовой рас­ чет выполняется методом кинетостатики, в число реальных внешних силовых факторов условно вводятся главные векто­ ры Ф, и главные моменты М$,- сил инерции подвижных звеньев механизма. Поэтому все уравнения проекций и уравнения мо­ ментов формально сводятся к нулю, хотя подвижные звенья механизма не находятся в равновесии, а движутся усхореННО-

Расчленим механизм на структурную группу Дссура 3 — 2 и двухзвенный механизм 1 — 4•Сделаем силовой расчет группы^ 3 — 2. К ее звеньям приложены известные здешние силы Рз, Фз, Ф2 и момент Мф2 (рисб.8, а). НеизвесТИ^ш0 являются модуль и направление силы F 2 1 , модуль сиди Г 34 и ее плечо 6, модуль и направление сил взаимодействии д шар­ нире С, связанных соотношением F 23 = —Рз2-

Сумма проекций на ось х сил, приложенных к зве0У

Сумма проекций на ось у для звена 2: £) Fy = 0, т.е.

где искомой является i^ iy Подсчитаем модуль силы F 2 1 , на­ гружающей шарнир В , и ее угловую координату <PF2l-

Отсюда найдем проекцию F ^y. Направление силы F 3 4 , при­ ложенной к ползуну 3 от стойки 4 >определяется ее знаком.

Таким образом, для структурной группы 2 — 3 были ис­ пользованы шесть уравнений (6 .7 ) — (6 .1 2 ), из которых были определены все неизвестные.

План сил, приложенных к звеньям структурной группы, представлен на рис. 6 .8 , б. Этот план наглядно показывает, как важно учитывать влияние ускоренного движения звеньев. Если им пренебречь, т.е. положить силы инерции Ф2 и $3 равными нулю (рис. 6 .8 , в), то такой неучет приведется зани­ женным значениям сил в кинематических парах (сил F 2 1 , ^ 32 >

.F34), что особенно проявит себя в механизмах быстроходных машин.

Перейдем к силовому расчету двухзвенного механизма, со­ ставленного из подвижного звена 1 и стойки 4 (рис. 6.9). К зве_ ну 1 приложены: ставшая известной сила F \2 = —F 2I1 МОМент Мь направленный, согласно рис. 6.7, по ходу часовой стрелки, главный момент сил инерции М$\ и неизвестная по моДУлю и направлению реакция F\^ стойки. Напомним, что главный вектор сил инерции Фз = 0 .

из уравнения (6.15), поскольку моменты М\ и M ^(F 1 2 ) заве­ домо не равны и сильно различаются. Момент Мф4 может иметь значительную величину, что существенно для расчета главного вала машины (звена 1 ) на прочность.

Определение силовых факторов, нагруж ающ их корпус машины и ее основание. Рассмотрим стойку криво- шипно-ползунного механизма. Конструктивно это корпус ма­ шины, который устанавливается на специальном основании. Если машина — автомобильный ДВС, то таким основанием будет рама автомобиля, если стационарный компрессор или пресс, то — фундамент, на котором установлен компрессор или пресс и т.д.

К стойке 4 приложены следующие силы и моменты (рисб.Ю , а): ставшие известными воздействия звена 1 F\\ = = —F \ 4 и звена 3 Е43 = —Е3 4 , сила F4p = —F 3 , зависящая от рабочего процесса машины, и, наконец, реакция основания, представленная в виде двух силовых факторов, а именно^не­ известного по модулю и направлению главного вектора F 4 и неизвестного главного момента М4 . Условимся определять мо­ дуль главного_момента М4 , полагая, что линия действия глав­ ного вектора F 4 проходит через точку А. Напомним, что в перечислении сил, действующих на стойку, как ц ранее, услов­ но не включена ее сила тяжести.

Если силовой расчет выполняется для крцвошипно-пол- зунного механизма поршневой машины (насоса, компрессора, детандера, ДВС и т.п.), то сила F4p является силой давле­ ния рабочего тела (жидкости, газа), находящегося внутри Ци­ линдра Ц, на его крышку К (рис. 6.10, б). Если крйвошипноползунный механизм есть главный механизм пресса или стан­ ка, то сила Е4р представляет собой воздействие, которое обра­ батываемое изделие оказывает на стол пресса ици станка.

Составим три уравнения равновесия стойкц:

Из уравнения (6.16) определим Fix, из уравнения (6-17) полу­ чаем F^y. Затем подсчитаем модуль вектора F\ и его угловую координату ipF4. Из уравнения (6-18) найдем

Рис. 6.10

Физический смысл уравнения (6.18) состоит в следующем.

пятствует этому опрокидыванию только момент М*, действу­ ющий от основания на корпус (т.е. на стойку), так как осталь­ ные силы, приложенные к стойке, относительно точки А мо­ мента не создают.

Опрокидыванию подвергается корпус и компрессора, и ДВС, и электродвигателя, т.е. любой машины, независимо от того, какой рабочий процесс в ней протекает, а также лю­ бой передаточный механизм. Поэтому машину и передаточ­ ный механизм всегда надежно закрепляют на их основании. Конструктивное исполнение этого закрепления и методика его расчета излагаются в курсе «Детали машин» и в специаль­ ных машиностроительных курсах.

Выразим проекции F±x, F±y через силовые факторы, толь­

(6.16), охватывающие все четыре звена механизма. Проекции

F$2X = --^23*1 ? 2 1х = ~Fl2x > Fux = ~FAU сил взаимодействия в кинематических парах в суммарное уравненйе не вой­ дут. В него войдут проекции только внешних сил, но, хотя си­ лы F 3 и F4p и внешние*, их проекции в него также не войдут, поскольку силы F 3 и F4p равны и противоположно направлены (см. рис. 6.10,5). В результате суммарное уравнение примет вид Ф2х + Фзх + F^x = 0 , откуда

* Силы F* и F\р — это воздействия рабочего тела (например, газа,

ж идкости в случае поршневой машины или обрабаты ваем ого изделия для машины технологической). Но рабочее тело не является звеном механизма и в его состав не входит, а поэтом у для механизма силы Fз и F4Р — это силы внешние (а не внутренние, как это м ож ет показаться).

Составим уравнение моментов относительно точки А для всех четырех звеньев (см. рис. 6 .8 , а, 6.9, 6.10, а), т.е. для ме­ ханизма в целом. Заметим, что моменты сил взаимодействия jp23 и F 32 в шарнире С равны и противоположно направлены (см. рис. 6 .8 , а), а поэтому в уравнение моментов не войдут. То же самое относится к моментам сил взаимодействия во всех остальных кинематических парах, т.е. сил, являющихся вну­ тренними для механизма в целом. Следовательно, в уравнение войдут только моменты сил и пар сил, приложенных к меха­ низму извне (см. рис. 6 .1 0 , б), кроме моментов внешних сил F з и i^4p, равных и противоположно направленных. Поэтому для механизма в целом уравнение примет вид

откуда выразим момент М4 через внешние силовые факторы. Определим, какое давление на свое основание (фундамент)

оказывает машина с кривошипно-ползунным механизмом. Си­ стему нагружения основания со стороны машины можно све­ сти к главному вектору Fo = —^ 4, линия действия которого проходит через точку А (ось вращения звена i, т.е. вала ма­ шины), и к главному моменту Мо_= - М 4 (рис. 6 .1 0 , г).

Проекции главного вектора F Q на оси х и у:

Главный момент MQ, используя (6 .2 1 ), представим в виде

MQ = [Мф1 + Мф2 + МЛ(Ф\) + МА(Ф2 )] + М\ =

= Мф^ + М\. (6.24)

В уравнениях (6 .2 2 ) — (6.24) буквами Ф% и Мф£ обозначены общий главный вектор (через его проекции) и общий главный момент системы сил инерции всех подвижных звеньев меха­ низма. Члены Ф^, Ф^, МА(Ф\) входят в состав этих урав­ нений в том случае, когда центр масс звена 1 не находится на его оси вращения; слагаемые Фзу = 0, МА(Ф3 ) = 0 (см. рис. 6 .8 , а), Мф3 = 0 (см. (6 .6 )). _

Как видно из уравнений (6 .2 2 ) и (6.23), главный вектор F Q определяется силами инерции, а это указывает на то, что он

есть результат ускоренного движения всех подвижных звеньев механизма, т.е. имеет динамическую природу. Отметим, что на основание машины передается также воздействие ее силы тяжести и в ряде случаев воздействия других активных сил (например, сил затяжки фундаментных болтов), которые в си­ ловом расчете не рассматривались. Следовательно, в общем случае главный вектор F Q складывается из двух составляю­ щих: составляющей, вызванной действием активных сил, и динамической составляющей, вызванной ускоренным движе­ нием звеньев механизма.

Главный момент Л/ Q в общем случае также складывает­ ся из двух составляющих: из составляющей, вызванной дей­ ствием активных сил и моментов (например, момента М\ в уравнении (6.24)), и динамической составляющей, являющей­ ся результатом ускоренного движения звеньев (см. (6.24)).

Отметим, что силы, нагружающие основание, фактиче­ ски приложены именно в тех местах, где корпус машины (т.е. стойка 4 механизма) закрепляется на основании (на рис. 6 .1 0

— в местах Q и N). Поэтому главный вектор F Q и главный мо­ мент M Q — расчетные величины, характеризующие лишь сум­ марный результат воздействия машины на ее основание (см. рис. 6 .1 0 , б).

Выполнять силовой расчет следует многократно, для раз­ личных положений механизма. Это значит, что силовой расчет представляет собой весьма трудоемкую работу. Радикально снизить трудоемкость можно путем применения компьютера.

Анализ результатов силового расчета, выполнен­ ного на компьютере. На основании методики, изложен­ ной в § 6 .2 , составлена схема алгоритма силового расчета кривошипно-ползунного механизма. Эта схема, алгоритма, под­ ходит для любой одноцилиндровой двухтактный поршневой машины, а. также для кривошипного пресса и других двух­ тактных технологических машин, главным механизмом кото­ рых является кривошипно-ползунный.

В соответствии с алгоритмом разработана, программа, и сделан силовой расчет механизма, дизеля, работающего в уста­ новившемся режиме с малым коэффициентом неравномерно­ сти, который приводит в движение электрогенераторШаг

изменения обобщенной координаты (pi в пределах одного обо­ рота коленчатого вала Atpi = 5°

Результаты расчета можно представить_графически. На рис. 6 .1 1 изображен график изменения силы F 34 , приложенной к поршню 3 со стороны цилиндра (стойки) (см. рис. 6 .8 , а). Положительные ординаты соответствуют действию силы вле­ во. Как видно, при 0 < <р\ < 180° поршень прижат к зер­ калу цилиндра своей правой образующей; при 180° < < < 360° он будет прижат левой образующей. Однако на участ­ ке 290 ... 320° происходит весьма нежелательное двукратное перемещение поршня в зазоре, сначала слева направо, а затем справа налево. Этого перемещения можно избежать, если мас­ сы m3 и т 2 поршня и шатуна будут иметь меньшие значения.

На годографах сил (рис. 6.12, 6.13), приложенных к шату­ ну 2 от поршня 3 (сила F 23 ) и коленчатого вала 1 (сила ^ 2 1 )) цифрами указаны соответствующие значения обобщенной ко­ ординаты tpi в градусах. Годографы сил и график ^ 3 4 (^1 ) нужны для расчета деталей механизма на прочность, жест­ кость и продольную устойчивость, а также для расчета кине­ матических пар 3/4у 2/3, 2 / 1 на износ, долговечность и невыдавливаемость смазочного материала.

График изменения вертикальной составляющей F QX глав­ ного вектора F о, действующего от корпуса ДВС на его основа­ ние (рис. 6 .1 0 , г), показан на рис. 6.14. Знаком плюс отмечено действие составляющей вверх. В то же время горизонтальная составляющая F оу главного вектора изменяется по синусои­ дальному закону. Ее амплитуда равна 6 кН.

На рис. 6.15 изображен главный момент Мо, действующий на основание от корпуса ДВС. Знак плюс указывает, что глав­ ный момент MQ направлен против хода часовой стрелки.

Рис. 6.12

Рис. 6.15

Таким образом, важно отметить, что машина оказывает на свое основание периодически изменяющееся воздействие в виде силы F о и момента Мо. Оно вызывает вибрацию основа­ ния и других машин, закрепленных на нем.

Графический, или векторный, метод силового расчета из­ ложен в специальной литературе.

6.3.Действие сил в кинематических парах

сучетом трения

Вданном параграфе проведен анализ действия сил в ки­ нематических парах с учетом трения. При наличии трения изменяются модуль и направление сил, действующих в кине­ матических парах. Согласно положениям теоретической ме­ ханики, при наличии трения скольжения сила взаимодействия двух соприкасающихся тел отклоняется от общей нормали к их поверхностям на угол трения. Тангенс угла трения равен коэффициенту трения скольжения:

В поступательной паре сила F\2 , приложенная к звену 1 от звена 2 , отклоняется от нормали п —п и составляет угол 90° + (рТ с вектором скорости v\2 движения звена 1 относи­ тельно звена 2 (рис. 6.16, а). Как видно из рисунка, касатель­ ная составляющая F T12 — сила трения — направлена против относительной скорости U1 2 ; в этом проявляется тормозящее действие трения. Обе составляющие реакции F 12 связаны со­ отношением

Рис. 6.16

Модуль силы F 12 и координата b точки ее приложения (точка D) неизвестны и определяются в ходе силового расчета. Сказанное относится и к силе F 21 (на рис. 6.16, а не показана), приложенной к звену 2 со стороны звена 1 Утак как по третьему закону Ньютона F 21 = —F\2 -

Если в результате силового расчета получается, что b > а (рис. 6.16,6), то это значит, что к звену 1 приложена не од­ на, а две реакции F JJ12 и Fyyi2 >неизвестные по модулю (см.

§6 .1 ). Вследствие трения они отклоняются от нормали и со­

ставляют с вектором относительной скорости v\2 угол 90°+у>т - Линии действия этих реакций пересекаются в точке Н. Линия действия их равнодействующей F \2_ должна проходить через точки Н и D. Равнодействующая F \2 составляет с вектором v\2 угол 90° + ф. __

Когда точки D и W совпадают, то ф = ipT и F y i2 = 0. Но чем дальше точка D находится от края направляющего гнезда (от точки W ), тем большим становится угол ф. Отсюда следу­ ет, что суммарное тормозящее действие трения, оцениваемое касательной составляющей ,Fxi2 = F12 sin^, в поступательной паре может быть значительным и тем большим, чем дальше располагается точка D от точки W Ясно также, что чем мень­ ше размер а, тем ближе точка Н к оси гнезда и тем больше угол -0, т.е. больше влияние трения в поступательной паре. Угол ф может получиться много больше угла ipT. Все это необходимо учитывать при проектировании поступательной пары.

__ Во вращательной паре (рис. 6.17, а) силы взаимодействия F i2 = - F 21 (сила F 21 на рис. 6.17 не показана) также отклоня­ ются от нормали п —п, а потому проходят не через центр шар­ нира, а по касательной к окружности, центр которой совпадает с центром шарнира. Круг, ограниченный этой окружностью, называют кругом трения. Его радиус равен рТ = (2} / 2 )siny>T, где D — диаметр вала (оси шарнира). Так как угол трения <рт

Модуль силы F 12 и положение точек К и 13, а следова­ тельно, направление линии действия силы F\2, координируе­ мое углом /?, неизвестны и определяются силовым расчетом.

Действие силы F \ 2 (рис. 6.17, а) можно заменить совмест­ ным действием силы F ^2, равной F \ 2 и приложенной в центре шарнира, и пары сил [F\2, ^ 12] (рис. 6.17, б). Направление действия пары сил [F12 , ^ 12] противоположно угловой скоро­ сти u;i2 , с которой звено 1 вращается относительно звена 2 . В этом проявляется тормозящее действие трения в шарнире.

Рис. 6.18

Пару сил [F\2 , ^ 12]) приложенную к звену 1 от звена 2, будем называть моментом трения в шарнире:

Очевидно, что Мт21 = - М х1 2 .

Вращательная пара может быть выполнена конструктив­ но в виде двух подшипников. Если подшипники расположены по разные стороны от плоскости, в которой действует нагру­ жающая сила F (рис. 6.18, а), то реакции обоих подшипников направлены в одну и ту же сторону и могут быть заменены равнодействующей F 12, равной их арифметической сумме. По этой равнодействующей и подсчитывается общий момент тре­ ния обоих подшипников: Мт12 = FI2PT-

Иная картина будет, если подшипники находятся по од­ ну сторону от плоскости, в которой действует нагружающая сила F (рис. 6.18,5) (например, при консольном расположе­ нии зубчатого колеса). В таком случае реакции подшипни­ ков направлены в противоположные стороны, и равнодейству­ ющая этих реакций определяется уже их разностью (а не сум­ мой), в то время как общий момент трения обоих подшипников по-прежнему равен арифметической сумме моментов трения в каждом подшипнике. Следовательно, общий момент трения нельзя оценивать посредством момента равнодействующей си­ лы, так как трение при этом было бы недоучтено. При одно-

стороннем расположении подшипников силовой расчет с уче­ том сил трения нужно проводить, рассматривая в отдельности реакцию каждого подшипника, и нельзя заменять обе реакции их равнодействующей.

Высшая кинематическая пара (рис. 6.19) в плоском меха­ низме допускает два относительных движения: звенья 1 к 2 могут скользить (^12) и перекатываться друг по другу (^12)- Поэтому и трение в высшей кинематической паре проявляется двояко: в виде трения скольжения и трения качения. Тормо­ зящее действие трения качения (Мкач) в большинстве случа­ ев весьма невелико, и поэтому его в дальнейшем учитывать не будем. Конечно, при расчете подшипников качения, иссле­ довании движения тяжелых предметов на подкладных катках и рольгангах и в других подобных задачах трением качения пренебрегать нельзя. Но такие задачи относятся к области специальных расчетов, а поэтому выходят за рамки учебной дисциплины.

Трение скольжения проявляет себя в высших кинемати­ ческих парах так же, как и в низших: сила F 1 2 , приложенная к звену 1 от звена 2 , отклоняется от нормали на угол тре­ ния (рТ и составляет с вектором относительной скорости U12 угол 90° + <^т- Угол ipT подсчитывается по уравнению (6.25).

Касательная составляющая F Ti2 — сила трения — направле­ на навстречу относительной скорости v\2 . В этом проявляет­ ся тормозящее действие трения. Модуль сил взаимодействия F \2 = —F 21 неизвестен и определяется силовым расчетом.

Если относительное движение в высшей паре сводится к одному лишь качению (т.е. и\2 ф 0 , но v\2 = 0 ), то сила трения F T12 не обязательно должна быть равной нулю. В этом случае она является силой трения покоя.

Сила трения покоя FTn может проявить себя и в низ­ шей кинематической паре. Она подчиняется соотношению ^тп < /тпFtf, где FN — нормальная составляющая реакции в кинематической паре. Сила трения покоя, будучи реакцией, может быть меньше произведения / Тп^7у; ее модуль зависит от активной силы, вызывающей реактивную силу трения покоя. Строго говоря, коэффициент сцепления / тп несколько больше коэффициента трения скольжения / т . Однако, допуская не­ большую ошибку, можно принять /тп ~ /т* Поэтому для угла трения <^тп, на который при покое фактически отклоняется ре­ акция, можно записать соотношение ipTn < ipT. Если при покое активные силы не вызывают трения, то (ртп = 0 , и реакция бу­ дет направлена по нормали.

Коэффициенты трения зависят от многих причин (вид ма­ териалов трущихся тел, состояние трущихся поверхностей и др.), и их определяют опытным путем. Поэтому в справоч­ никах приведены лишь усредненные значения коэффициентов трения, вследствие чего результаты силового расчета всегда имеют некоторую погрешность.

Следует иметь в виду, что значение коэффициента трения / т, подставляемое в расчетные формулы, зависит от конструк­ тивного исполнения кинематической пары и может заметно от­ личаться от значения / э, получаемого из физического экспери­ мента с плоскими образцами. Так, если поступательная пара в сечении, перпендикулярном вектору относительной скорости ^12, имеет клиновидную форму (например, кинематическая па­ ра, образованная задней бабкой 1 и направляющими стани­ ны 2 токарного станка (рис. 6 .2 0 )), то в формулу FTi2 = f TF