14.2. Закон перемещения толкателя и его выбор

Наиболее типичным графиком зависимости между переме­ щением толкателя и углом поворота кулачка является кривая, приведенная на рис. 14.3, б для кулачкового механизма с по­ ступательно движущимся толкателем (рис. 14.3, а). На этом графике внутри цикла (угол </?ц) можно выделить четыре фазы и соответствующие им фазовые углы поворота кулачка: угол удаления (</?у), угол дальнего стояния (<рд), угол сближения (<рс) и угол ближнего стояния (<^б)- При геометрическом замы­ кании контакта в высшей кинематической паре кулачок явля­ ется ведущим звеном на обоих фазах движения толкателя: как при удалении, так и при сближении. При силовом замыкании контакта (см. рис. 14.1, б) движение толкателя на фазе сбли­ жения происходит под действием приложенной силы пружины (или силы тяжести, или давления воздуха и т.п.), а на фазе удаления — под действием профиля кулачка, который возбу­ ждает силу в контакте, направленную по общей нормали п —п (см. рис. 14.3, а). Угол между нормалью п - п и направлени­ ем движения выходного звена 2 называют углом давления д. Текущий угол давления является величиной переменной и может иметь знак (плюс или минус) в зависимости от распо­ ложения нормали относительно вектора скорости толкателя.

Сумма фазовых углов (ру + (ра + <рс = <^1р определяет ра­ бочий профильный угол £р = (flip на кулачке, равный цент­ ральному углу, внутри которого расположен профиль кулачка (см. рис. 14.3, б).

Координаты у ^ точки В на профиле кулачка опре­ деляют положение толкателя в неподвижной системе коорди­

нат Координата х^ = е определяет смещение оси толкателя 2 относительно оси А вращения кулачка 1. Коорди­ ната у ^ может быть представлена в форме суммы (5Н+ S^i),

в которой первое слагаемое 5 Н= y rjj + е2 является величиной

постоянной, а второе — — функцией угла поворота кулачка (р\. Радиус го называют начальным радиусом цент­ рового профиля, являющегося траекторией оси ролика в отно­ сительном качении по конструктивному профилю с начальным

Рис. 14.3

радиусом Ro. Обратим внимание, что полярный угол ф{ точки В{ на. профиле кулачка в общем случае не равен углу поворота кулачка

= Vli + Xi,

где х« = arctg[5„ + Sgi)/e] — arctg(S„/e). В частном случае при е = 0 угол Xi = 0 И 1рц =

Радиус-вектор АВ точки В и его наибольшее значение определяются из соотношений

U = \J (S H + S Bi)2 + е2; гНаиб = >J (S H + Я ) 2 + е2.

Координаты точки В в подвижной системе координат связанной с кулачком 1, находят из соотношений

В практике проектирования наибольшее применение полу­ чили относительно простые законы движения толкателя, по­ казанные на рис. 14.4 для фазы удаления толкателя: а — ли­ нейный; б — параболический; г — косинусоидальный; д — синусоидальный; в, е, ж — описанные полиномами. Функции

перемещения приведены в табл. 14.1 в зависимости от безраз­ мерного параметра &, значения которого на фазе удаления на­ ходятся в пределах 0 < ку < 1 .

При линейном законе скорость движения толкателя v = = ds/dt на фазе удаления постоянна, ускорение аг = dv/dt равно нулю, но в начале и конце фазы ускорение равно беско-

«j x

X

4

"8

н

нечности, что проявляется в форме «жесткого» удара. Такой закон допустим при малых массах толкателя и малых скоро­ стях движения.

В точках разрыва кривой ускорений (см. рис. 14.4), ха­ рактерных для параболического (б, в) и косинусоидального (г) законов движения, ускорение и силы инерции толкателя изме­ няются наконечную величину («мягкий» удар). При плавных кривых изменения ускорения (д, е, ж) удары теоретически от­ сутствуют, если погрешности изготовления профилей доста­ точно малы.

Наибольшее применение имеют кулачки, обеспечивающие плавную и безразрывную кривую ускорения толкателя (см. рис. 14.3, ^ е, ж). Иногда безударный профиль задается тремя плавными кривыми: полуволной синусоиды на участке поло­ жительного ускорения, четвертьволновой синусоиды и квад­ ратной параболой на участке отрицательных ускорений. В табл. 14.1 приведены числовые значения для относительного коэффициента максимальных скоростей /^AjyJmax и ускорений f N(ky )m a x толкателя.

14.3. Угол давления и коэффициент возрастания сил в кинематических парах

Угол давления $ определяет положение нормали в выс­ шей кинематической паре относительно вектора скорости и контактной точки ведомого звена (см. рис. 9.2). Его значе­ ние определяется размерами механизма, передаточной функ­ цией vqQ = VB/U i скорости движения и скорости перемещения SB толкателя (см. (9.11) и (9.12)).

При заданной внешней статической нагрузке на толка­ теле, например силе FnС2 полезного сопротивления, силе Fn упругости пружины для силового замыкания и силе тяжести (?2 толкателя (рис. 14.5, а), реакции в кинематических парах являются зависимыми от угла давления, т.е. от закона движе­ ния толкателя и габаритных размеров механизма. Этот вывод легко установить из анализа плана сил, приложенных к толка­ телю (рис. 14.5, а, б) и формул (9.11) и (9.12). Чем больше угол давления tf, тем больше реакции F23 и F21 в кинематических

Рис. 14.5

парах, а следовательно, тем больше силы трения при задан­ ных коэффициентах трения: / х 21 — между башмаком толка­ теля 2 и кулачком i, / Х2з — между толкателем 2 и напра­ вляющими 3. При расчетах сил в кинематических парах для поступательной кинематической пары между толкателем и на­ правляющими используют приведенный коэффициент трения

/" 2 3 >который рассчитывают по величине угла (/р^ з>°пределяющего положение реакции F23 относительно перпендикуляра к направлению перемещения толкателя.

Можно написать следующие соотношения между силами, приложенными к звену 2 (см. рис. 14.5, а):

~ /х2з, соотношение (14.2) записывают окончательно в следу­ ющем виде:

В качестве параметра, оценивающего влияние угла да­ вления на условия передачи сил в кулачковых механизмах,

Л.Н. Решетов предложил использовать отношение up =

* с2

названное коэффициентом возрастания сил.

Аналитическое соотношение для определения up в случае плоского кулачкового механизма с поступательно движущим­ ся толкателем легко найти из плана сил (см. рис. 14.5, 6) по

На рис. 14.5, г показаны кривые изменения коэффициента vp возрастания усилий для трех случаев при различных зна­

чениях коэффициентов трения ( /T2i + /"23)’ кРивая 1 — 0,1; 2 — 0 ,2 ; 8 — 0,5. Задаваясь допустимым коэффициентом vp,

можно рассчитать значение допустимого угла давления:

Чем меньше коэффициенты трения / х 21 и /" 2 3 и больше допустимое значение коэффициента vp, тем большие углы дав­ ления 1? возможно использовать при проектировании кулачко­ вых механизмов.

При ориентировочных расчетах принимают следующие значения допускаемых углов давления '1?ДОп: для поступатель­ но движущегося толкателя т?доп = 30 ... 15°; для вращающего­ ся толкателя ^ on = 45 .. .20°.

Если габариты механизма позволяют, то для уменьшения потерь на трение целесообразно принимать меньшие значения угла: 1?доП= 15 .. .20° Это оказывает положительное влияние на коэффициент полезного действия т/, оценивающий отноше­ ние работы сил трения к работе движущих сил за какой-то промежуток времени. Для механизма с поступательно дви­ жущимся толкателем на рис. 14.5, в приведены три графика, показывающие изменение мгновенного КПД в зависимости от угла давления при разных сочетаниях коэффициентов трения

/т 2 1 и / т 2 3 :

Графики показывают, что максимальные значения КПД соответствуют определенным углам давления.

14.4. Определение размеров кулачкового механизма по заданному допускаемому углу давления

Габаритные размеры механизма (радиус кулачка го, сме­ щение е осей толкателя и кулачка, межосевое расстояние а и т.п.), обеспечивающие эффективную работу спроектированно­ го механизма, зависят от заданных условий и ограничений. Оптимальным решением при заданных ограничениях называ­ ют такое, при котором выходные параметры синтеза, в данном

•случае габаритные размеры механизма, будут наименьшими. Следовательно, математическая модель оптимизации с уче­ том соотношений (9.11) и (9.12) может быть записана в такой форме:

для поступательно движущегося толкателя

Эти соотношения представляют собой ограничения по углу давления, который является величиной переменной, зависящей от заданного закона изменения кинематических параметров движения толкателя sgnwi = ± 1 (функция знака).

При проектировании кулачковых механизмов конструктор стремится выбрать закон движения толкателя, который бы наилучшим образом удовлетворял заданным требованиям. Во многих случаях в качестве исходного принимают график изме­ нения ускорения толкателя ад (или относительных значений ускорения va = aj3i/аВна.ч) в функции угла поворота кулачка (рис. 14.6, а). Остальные кинематические параметры получа­ ют в аналитической форме или путем численного или графи­ ческого интегрирования. Например, график скорости толка­ теля vg или кинематической передаточной функции скорости vqB = VB /u>1 (рис. 14.6, б) при графическом интегрировании находят по соотношениям

Связь между масштабами графиков (см. рис. 14.6, а, 6) следующая: /х„ = цат/К\\ pqv = цдаЦ<р/Къ где [/*„] = = мм/(м •с-1 ); [nqv\= мм/(м •рад-1 ).

При этом связь между масштабами графиков определяют из соотношений /i£ = ^V^t/K2 и /2$ = ^Яу ^ / К 2 , где [//5 ] = = мм/м.

Записанным выше ограничениям по углу давления 1? мож­ но придать геометрическую интерпретацию. Используя за­ данные (рис. 14.7, а) или вычисленные (см. рис. 14.6, б, в) функции положения SB (^PI ) и передаточную функцию скоро­ сти VgBiv1) строят график в координатах vqQy5#, т.е. анало­ гично построению на фазовой плоскости: скорость х — пере­ мещение х.

При вращающемся толкателе выбирают полярную систе­ му координат с началом в точке С (рис. 14.7, в), при посту­ пательно движущемся толкателе — прямоугольную систему координат с началом в точке BQ на начальной окруж­ ности кулачка (рис. 14.7,6). Система координат — правая: поворот от положительного направления перемещения 5# к отрезкам, изображающим положительные величины кинема­ тической передаточной функции vqg проводят против хода ча­ совой стрелки. Следовательно, при отсчете SQ вправо от ниж­ него положения ролика В положительные значения vqQ откла­ дывают вверх, отрицательные — вниз (см. рис. 14.7, а). При этом кулачок 1 вращается в положительном направлении, т.е. против хода часовой стрелки (см. рис. 14.7, б). Значения мас­ штабов по осям координат [//5 ] = мм/м и [fiqv\= ммДм-рад"”1) принимают одинаковыми, что позволяет изображать углы да­ вления $ без искажения. Максимальные значения передаточ­ ной функции vqB max на фазе удаления для краткости обозна­ чают через Цдз, на фазе сближения — через vq±.

значениям vqQ соответствуют углы давления, равные допус­ каемому ^доп, находят предельное положение оси 0\ вращения кулачка в точке А пересечения ограничивающих лучей (см. рис. 14.7, б). Каждый из этих лучей определяет «допустимую полуплоскость», лежащую по одну ее сторону. Часть плос­ кости, которая принадлежит всем этим полуплоскостям, обра­ зует область допустимых решений (ОДР), в которой наверня­ ка выполняются ограничения по соотношениям (14.1) и (14.2).

В этой области (см. рис. 14.7, б, в) можно выбирать ось 0\ вращения кулачка по условию б < баоп.

Такая геометрическая интерпретация соотношений (14.1) и (14.2) используется для графического определения искомых габаритных размеров кулачкового механизма: межосевого рас­ стояния а = IQOI и радиуса го > гот щ = 1а В0 пРи вращаю­ щемся толкателе (см. рис. 14.7, в) или смещения осей « е » и радиуса го > romin = IA BO пРи поступательно движущемся толкателе (см. рис. 14.6, б).

При использовании аналитических методов синтеза и ком­ пьютера для вычисления координат профиля необходимо рас­ полагать соответствующими зависимостями, представленны­ ми в аналитической форме. Обозначения необходимых па­ раметров показаны на рис. 14.7, в для вращающегося и на рис. 14.7, б — для поступательно движущегося толкателя.

Перемещения SQ оси ролика относительно начального по­ ложения BQ, соответствующие передаточным функциям скоро­ сти vg3 и Vg4 , обозначают для краткости записи S3 я S4. Их находят по графику перемещений при графическом интегриро­ вании заданной функции или с помощью стандартных подпро­ грамм нахождения максимума при интегрировании с исполь­ зованием ЭВМ.

Перемещениям S3 и S4 соответствуют углы поворота тол­ кателя Рз = S3 /I2 и /?4 = S4H2 , где /2 — длина толкателя.

Угол Х2 в треугольнике С 3*4* (см. рис. 14.7, в) определя­ ют по теореме синусов, так как известны длины двух сторон этого треугольника: С4 * = h ~ vg4sEnul и С5* = h ~ v?3Sgnu>i (обозначения масштабов опущены); здесь vq4 < 0, тогда

Расстояние между точками 3* и 4 *, обозначенное через /34, определяют по теореме косинусов:

/34 = 3*4* = y/(h~ Vq3 sgnu^i)2 + (/2 - u^sgnwi)2-

- 2 (/2 - vg3 Sgnu>i )(/г - t>g4 Sgnwi) cos(/?4 - Рз). (14.4)