ИССЛЕДОВАНИЕ ДВИЖЕНИЯ МАШИННОГО АГРЕГАТА

СУЧЕТОМ УПРУГОСТИ ЗВЕНЬЕВ

Вгл. 4 исследовалось движение маш инного агрегата . При этом пред­

полагалось, что звенья механизма агрегата абсолю тно ж есткие. Однако

в действительности звенья обладаю т податл ивостью , вследствие чего они

деформируются под действием приложенных сил. П оэтом у на основное движение звеньев механизма накладывается добавочное, порож денное их

уп ругостью и представляющ ее собой колебательны й процесс. Э т о т про­ цесс приводит не только к наруш ению закона движения механизма, но и

мож ет вызвать динамические перегрузки его звеньев и кинем атических

пар. Исследуем влияние упругости звеньев на движение маш инного агре­ гата по методике, научные основы которой разработаны М .З. К оловским .

5.1. Динамическая модель машинного агрегата

Рассмотрим машинный агрегат, состоящий из двигателя ДВ, передаточного механизма П и рабочей машины РМ, т.е. потребителя механической энергии (рис. 5.1, а).

изгибу и сдвигу. Определим жесткость передаточного ме­

ханизма.

Во время работы механизма в зубчатом зацеплении дей­ ствует сила, деформирующая зубья. Рассмотрим составляю­ щую FT этой силы, касательную начальным окружностям, а также составляющую 6Т упругого перемещения зубьев по это­ му же направлению т - т (рис. 5 .1 , в). Сила и упругая де­ формация связаны соотношением FT = с£г, где с — коэффи­ циент линейной жесткости (линейная жесткость) зубчатого

Рис. 5.1

зацепления. Коэффициент линейной жесткости пропорциона­ лен длине I зубьев: с = а/, где а — коэффициент, который для стальных колес принимают равным 15000 МПа.

В дальнейших расчетах удобнее пользоваться не линей­ ной жесткостью, а угловой. Чтобы перейти к ней, закрепим неподвижно ступицу в сечении 2 колеса ^2 , а к валу больше­ го колеса Z3 в сечении 3 приложим момент М3 . Под его дей-

ствием зубья сдеформируются и сечение 3 повернется на угол

представляет собой коэффициент угловой жесткости зубчатого зацепления, которая приведена к сечению 3 при неподвижном сечении 2.

Если же поступить наоборот, т.е. закрепить сечение 5, а к сечению 2 приложить момент М2 , то сечение 2 повернется на угол </?2 - Проделав те же действия, что и ранее, получим М 2 = С2 3<^2 >где С2з = crw2' Здесь необходимо обратить особое

= 8 •104 МПа, Jp = 7rd4/32. Для угловой жесткости вала спра­ ведливо соотношение С34 = С4 3 . Отметим также, что угловая жесткость вала обычно много меньше угловой жесткости зуб­ чатого зацепления.

Определим жесткость всего передаточного механизма (см. рис. 5.1, 6). При этом не будем учитывать инертность зубча­ тых колес и валов, так как она мала по сравнению с инерт­ ностью других звеньев машинного агрегата. Сделаем сечение 1 неподвижным, а к сечению 6 приложим момент M Q. Под

действием этого момента участок 6 — 5 скручивается и сече­ ние 6 повернется относительно сечения 5. Аналогично момент Мб вызовет деформацию зубьев в зацеплении 24 —2 5 , вслед­ ствие чего сечение 5 повернется относительно сецения Этот поворот вызовет добавочное угловое перемещение сечения 6. Рассуждая и далее так же, придем к заключению, что полное угловое перемещение сечения 6 представляет собой сумму слагаемых, каждое из которых вызвано деформацией соответ­ ствующего участка передачи.

При определении этих слагаемых необходимо придержи­ ваться следующих положений:

1 ) подсчитывая поворот сечения 6 , вызванный деформаци­ ей какого-либо участка (например, участка 4 — 3), все осталь­ ные последовательно включенные участки при этом следует считать абсолютно жесткими;

2 ) так как участок 4 — 3 связан с сечением 6 через зубча­ тое зацепление Z5 — Z4 , то, определяя угол поворота сечения 6 , вызванный скручиванием (^4 3 , нужно этот угол <£>43 умножать на передаточное отношение и54 = н !

3) по причине, изложенной в п. 2 , момент, скручивающий

Угловой жесткостью c^i передачи, приведенной к сече­ нию 6 при неподвижном сечении i, назовем отношение сы = = Мб/^б5 тогда

Если нужно определить жесткость cie передаточного ме­ ханизма, но приведенную к сечению 1 при неподвижном сече­ нии 6 , то ci6 = c6l^52j где U52 = ^2z4/(z3zs) — передаточное отношение зубчатого механизма.

Таким образом, передачу можно заменить ее моделью — некоторым условным упругим валом с жесткостью q,a, кото­ рый соединяет двигатель с рабочей машиной (рис. 5.1, г). Угол скручивания этого вала определяется как разность угловых ко­ ординат его концевых сечений b и а.

Примем, что кинематические характеристики у>м, фм , ф>м

сечения b вала в точности такие же, как и кинематические ха­ рактеристики выходного сечения В передачи (см. рис. 5.1,6), т.е.

Условный вал моделирует только упругие свойства пере­ дачи; ее передаточных свойств он воспроизвести не может. Их учитывают с помощью уравнений

где <рд, Фл> Фл — кинематические характеристики сечения а условного вала; <^>дв, фдв, <£дв — кинематические характери­ стики входного сечения А передачи; URA — передаточное от­ ношение, которое для зубчатого механизма (см. рис. 5.1, б')

«52 = 21 Z 4 /(z 3Z5).

Так как именно выходные характеристики передачи при замене ее упругим валом, согласно уравнениям (5.1), не пре­ терпели изменения, то операции, выполненные по уравнениям (5.2), условимся называть «пересчетом к выходному сечению передачи». Однако при этом нельзя забывать, что между се­ чением а с координатой tpa и сечением b с координатой <ри на­ ходится условный упругий вал (рис. 5.1, г), и поэтому пересчет к выходному сечению передачи не означает равенства коорди­ нат <ра и фм. Такое равенство имело бы место только в случае абсолютно жесткой передачи.

У гол поворота сечения b упругого вала по отношению к сечению а составит <рм —у>д. Поэтому упругий момент, при­ ложенный к рабочей машине от передачи, выразится так:

где с — жесткость упругого вала, приведенная к выходному се­ чению Ь\знак минус означает, что реакция упругого элемента направлена всегда навстречу его деформации.

В соответствии с этим упругий момент Мду, приложен­ ный к двигателю от передачи, равен —Мму, поэтому можно записать

Колебательный процесс всегда сопровождается действи­ ем сил сопротивления (так называемых диссипативных сил). Природа этих сил различна. Их причины — трение в кинема­ тических парах, а также в неподвижных соединениях деталей

(конструкционное трение в резьбе, в стыках и т.п.); внутрен­ нее трение, возникающее между частицами материала (в ме­ таллах — небольшое); наконец, специальные демпферы, уста­ навливаемые на валопроводах для ограничения возникающих колебаний.

Связь между силой сопротивления и характеристиками движения — сложная. Однако опыт показывает, что при не­ больших амплитудах — что и свойственно рассматриваемой задаче — можно считать, что сила сопротивления примерно пропорциональна скорости относительного движения.

Силы сопротивления проявляют себя в различных местах механизма. Но все их можно привести к одному сечению и заменить одним моментом вязкого сопротивления. Поскольку для передачи, замененной условным валом, скорость сечения Ъ относительно сечения а составляет (ры — </?д (рис. 5.1, г), мо­ мент сил сопротивления, приложенный к рабочей машине от передачи, можно представить следующим образом:

где к — коэффициент сопротивления, приведенный к сече­ нию 6; знак минус показывает, что момент сопротивления направлен всегда против относительной скорости. Аналогич­ но момент сил сопротивления, приложенный к двигателю от передачи, запишем так:

Коэффициент сопротивления, приведенный к сечению 1 (см. рис. 5.1, 5), &16 = ^б1^52) где &61 — коэффициент сопроти­ вления, приведенный к сечению 6. Отметим также, что значе­ ния коэффициента сопротивления находятся опытным путем.

Составим уравнения движения машинного агрегата. Так как учитываются упругие деформации звеньев передачи, то жесткой кинематической связи между ее входными и выход­ ными характеристиками нет, и на основное движение меха­ низма накладывается колебательный процесс. Следовательно, механизм имеет уже не одну (как при абсолютно жесткой пере­ даче), а две степени свободы, поэтому для его исследования не­ обходимо назначить две обобщенные координаты и составить

два уравнения движения. Как уже было отмечено, инертность звеньев передачи (вследствие ее малости) учитывать не будем.

Сначала составим уравнение рабочей машины в диффе­ ренциальной форме (см. § 4.4). Выберем в качестве начально­ го звена входной вал рабочей машины с координатой </?рм = tpM. К нему приведем все массы и силы, приложенные к механизму

В суммарный приведенный момент М^м войдут приведенный момент сопротивления рабочей машины Мм(</?м, (рм) и момент Ммп, приложенный к валу рабочей машины от передачи. Он состоит из упругого момента Мму и момента вязкого сопроти­ вления Ммт (см. (5.3) и (5.5)), т.е.

Составим уравнение двигателя с механизмом любой структуры. Начальным звеном выберем выходной вал Дви­ гателя с координатой </?дв. Приведя к нему все массы и силы, приложенные к механизму двигателя, запишем

т• . 1 d «7ДВ . о

•7дв¥’дв + 2 а ^ дв = Медв'

В суммарный приведенный момент дв войдут приве­ денный движущий момент Мдв(<^дв, <£>дв) и момент МДВп, при­ ложенный к валу двигателя от передачи.

Заменяя передачу услозным валом (см. рис. 5.1, г), следу­ ет пересчитать к ее выходному сечению кинематически6 ха­ рактеристики двигателя по уравнениям (5.2). Кроме того, пе­ ресчитать приведенный момент инерции */дв двигателе И его производную d Удв/с1 (/?дв, а также моменты Мдв и Мдвц к вы-

ходному сечению передачи, используя

= *2*4/(*3*5)- Момент Мдп состоит из двух слагаемых: Мду и Мдт (см.

(5.4) и (5.6)). Учитывая это, а также используя уравнения (5.2) и (5.9), получим после простых преобразований

+ z й(рд = Мд(^д.Va)-c(V>a-Vb)-k(<Pa~Vu)- (5.10)

Системой уравнений (5 .8 ) и (5.10) описывается динами­ ческий процесс, протекающий в машинном агрегате при уче­ те упругости звеньев передачи. Неизвестными функциями в этой системе являются обобщенные координаты </?д = </?д(£) и

<Рм“ VM(0 -

Ранее при замене передачи упругим валом предполага­ ли, что кинематические характеристики </?м, </?м, <£м сечения Ь этого вала такие же, как и кинематические характеристики выходного сечения В передачи, что и было записано в виде уравнений (5.1). Но в равной мере можно было предложить

идругое условие: кинематические характеристики у>д, <£д, <£д сечения а упругого вала такие же, как и кинематические ха­ рактеристики входного сечения А передачи, т.е. </?д = <рдв; </?д = ^дв; <£д = <£дВТогда уравнения (5.1), (5.2) и (5.9) по­ теряли бы силу. При постановке второго условия все кине­ матические, инерционные и силовые характеристики рабочей машины надо пересчитать к входному сечению А передачи. К этому сечению необходимо привести коэффициенты жесткости

исопротивления, а именно: саЬ = сЬаи2ВА, каЬ = кЬаи2ВА.

Отметим, что в дальнейшем будут использоваться первое условие и связанные с ним уравнения (5.1), (5.2) и (5.9).