Г л а в а 3

КИНЕМАТИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ МЕХАНИЗМОВ

Движение звеньев механизма происходит в пространстве и во време­ ни. Это движение можно исследовать с разных позиций. В кинематике изучаются движения материальных тел без учета их масс и действующих на них сил. Важнейшими характеристиками движения являются траекто­ рии, скорости и ускорения точек и звеньев механизма, которые связаны с изменением времени. Если движение рассматривается в функции движе­ ния начальных звеньев, которым приписывают обобщенные координаты, то вводят кинематические передаточные функции, которые не зависят от времени, а являются важнейшей геометрической характеристикой меха­ низма. В данной главе рассмотрены методы расчета параметров кине­ матических характеристик механизма, которые играют важную роль на стадии проектирования машин разного назначения.

3.1. Основные понятия

Определение движения звеньев механизма по заданному движению начальных звеньев или начальных пар называют

кинематическим анализом механизма. Он выполняется на основе кинематической схемы, которая является структурной схемой механизма, дополненной размерами звеньев (длинами звеньев, координатами пар, числами зубьев колес, координа­ тами точек на профиле кулачков и т.п.), необходимых для ки­ нематического анализа механизма. При расчете скоростей и ускорений задаются значения обобщенных скоростей и уско­ рений механизма, являющихся соответственно первой и второй производными от обобщенной координаты механизма по време­ ни. Если производные функций положения берут по обобщен­ ной координате механизма, то их называют соответственно ки­ нематической передаточной функцией скорости точки (ана­ лог скорости), угловой скоростью звена (аналог угловой ско­ рости или передаточное отношение), передаточной функцией

ускорения точки или углового ускорения эвена (аналог уско­ рения точки, аналог углового ускорения звена). Связь между скоростью vg (или ускорением ag) точки на каком-либо звене механизма и передаточной функцией скорости vqg (или уско­ рения aqg) той же точки определяется следующими соотноше­ ниями:

размерность угла принята равной 1, поэтому размерность vqg

рением £,) какого-либо звена г и передаточной функцией uq{ угловой скорости (или углового ускорения £qi) того же звена определяется следующими соотношениями:

означают, что речь идет о единице СИ измерения соответству­ ющих физических величин.

^(3j/n ~ 4уп~1 + Уп~2) (г = п)-

Интегрирование функции у(х), заданной множествами xi,X2 , ... ,х п упорядоченных по возрастанию или убыванию аргумента и у\, У2 , ..., уп соответствующих значений функции, проводят по формуле трапеций или формуле Симпсона.

При равноотстоящих значениях аргумента х значения ин­

ющих формул: трапеций

Симпсона

(3.7)

или

Результаты вычислений представляют в виде графиков (см. рис. 3.1).

В декартовых координатах:

vq(S) (рис. 3.1, г); ускорение a(t), <z(</?i); передаточная функция ускорения aq(t), aq(<p\) (рис. 3.1, в); ускорение а(5), передаточ­ ная функция ускорения aq(S) (рис. 3.1, д).

В полярных координатах: модуль вектора скорости v(y?i) (рис. 3.1, е).

Графическое дифференцирование. Графическое диф­ ференцирование начинают с построения графика функции по

заданным значениям. При экспериментальном исследовании такой график вычерчивают с помощью самопишущих прибо­ ров. Далее проводят касательные к кривой в фиксированных положениях и вычисляют значения производной по тангенсу угла, образованного касательной с осью абсцисс.

Например, определение углового ускорения е при задан­ ном графике u(t) проводят графическим дифференцированием.

На рис. 3.2, а кривая u(t) изображена по оси ординат в масштабе //<*,, мм/(рад •с- 1 ), по оси абсцисс /х*, мм/с. Иско­ мую функцию e(t) можно найти, используя соотношение

Тангенс угла ф наклона касательной к кривой u(t) в не­ которой точке с номером г представляют в виде отношения от­ резков уе{К , где К — выбранный отрезок дифференцирования (или полюсное расстояние) 0Z), мм (рис. 3.2, б):

4i>i = VeilК-

После подстановки этого соотношения в выражение (3-8) получают

чают при графическом дифференцировании методом хорд (рис. 3.2, б, г).

На заданной кривой отмечают ряд точек 1", 2", 3W, ко­ торые соединяют хордами, т.е. заменяют заданную кривую ломаной линией. Принимают следующее допущение: угол на­ клона касательных в точках, расположенных посередйне каж­ дого участка кривой, равен углу ф{ наклона соответствующей

Концы средних ординат (см. рис. 3.3, а) для каждого ин­ тервала y^icp, уш2ср, •••, Уипср проецируют на ось ординат и соединяют найденные точки I 1, 2', З1, с точкой D, ко­

в узловых точках 1— 1п, 2—2п, 3— Зп,... — значению этой функции. Через найденные точки проводят плавную линию, которая позволяет получить более или менее точные резуль­ таты для всех промежуточных точек. Увеличение числа узло­ вых точек и масштаба чертежа позволяет повысить точность метода графического интегрирования. Отрезок К выбирается произвольно, однако он влияет на размеры ординат искомой функции, т.е. его назначают с учетом желаемого масштаба графика первообразной функции: чем больше его длина, тем меньше этот масштаб.

При исследовании и проектировании механизмов закон из­ менения скорости входного звена может быть задан функциями w(ipi) или v(S) обобщенных координат <pi и S. В этом случае

(см. рис. 3.3, а), то искомые функции ip(t) и S(t) находят гра­ фическим интегрированием, проводя построения, аналогичные ранее описанным, но с некоторыми отличиями. Так, ось ор­ динат искомого графика (рис. 3.3, г) разбивают на интервалы, равные интервалам на оси абсцисс (оси <pi) на графике u(ip)

кривой (рис. 3.3, г) получают при пересечении линий, парал­ лельных оси абсцисс, с линиями, проведенными параллельно соответствующим лучам D 1, D 2 , D 3 , ..., т.е. наклоненными относительно оси х под углами ^2> Фз - Ф%, •••, где DO = = К — отрезок интегрирования, в мм.