Исключив из системы уравнений (11.2), (11.3) параметр ау, найдем зависимость между координатами ву и ту. Таким образом, система уравнений (11.2), (11.3) представляет собой уравнение эвольвенты в параметрической форме.

Согласно уравнению ( 1 1 .2 ), имеем ву = f(oty). Эту зави­ симость называют эвольвентной и символически записывают так:

Зависимость (11.4) сведена в таблицы эвольвентной функ­ ции [15].

Если взять на производящей прямой тьпдругую точку (на­ пример, Му) и покатить прямую тьп по основной окружности без скольжения, то точка М*у опишет эвольвенту Э', такую же, как и эвольвента Э, но несколько сдвинутую относительно нее.

11.3. Эвольвентное прямозубое колесо

Условимся, что в дальнейшем изложении, вплоть до § 1 1 .1 1 , будем рассматривать передачи, составленные только из прямозубых колес. Познакомимся с основными элементами эвольвентного прямозубого колеса, зубья которого расположе­ ны параллельно его оси, перпендикулярной плоскости чертежа (рис. 11.4).

К элементам эвольвентного колеса относятся прежде всего число зубьев z и радиус гь основной окружности, на базе ко­ торой построен эвольвентный профиль зубьев. Окружность, ограничивающую зубья по их вершинам, называют окружно­ стью вершин (радиус та). Проведем еще одну окружность про­ извольного радиуса гу между окружностями вершин и основ­ ной.

Рис. 11.4

Дуговое расстояние между двумя соседними зубьями на­ зывают шагом. Шаги пропорциональны радиусам: ра-Рь'-Ру = = га гь гу. Угловой шаг зубьев составляет т= 360°/z.

В точке Му эвольвенты, расположенной на произвольной окружности, покажем профильный угол ау (см. рис. 11.4). Со­ гласно уравнению (11.3), cosa^ = г^/ту. Поэтому в точке М&, лежащей на основной (гу — гъ) окружности, cosa& = r&/r& = 1 , т.е. аъ = 0. По мере удаления по эвольвенте от точки Afj профильный угол растет от нуля, приобретая наибольшее зна­ чение аа в точке Ма, находящейся на окружности вершин.

Окружность, проходящую через точку М, в которой про­ фильный угол имеет строго определенное значение а, называ­ ют делительной. Согласно ГОСТ 13755-81, для делительной окружности прямозубого колеса профильный угол а = 2 0 ° (см. рис. 11.4).

Длина делительной окружности 7г</ = zp, где р — шаг по делительной окружности, d — ее диаметр. Отсюда получим

Доля делительного диаметра d, приходящаяся на один зуб и обозначаемая буквой т , называется модулем. Значения мо­ дуля также стандартизованы, они определяются из прочност­ ного расчета зубчатых передач. Чем больше нагружена пере­ дача, тем выше значение модуля. Так как различные передачи

ство эвольвенты оказалось наиболее ценным при изготовлении зубчатых колес. Подчеркнем, что указанное свойство прису­ ще эвольвенте, в то время как эпициклоида, гипоциклоида и другие кривые, используемые для профилирования некоторых цилиндрических передач, таким свойством не обладают.

Прямолинейная (т.е. эвольвентная) часть CD профиля рейки наклонена под углом а; неэвольвентная часть АС может иметь произвольное очертание. Делительной прямой UU рей­ ки является та, по которой толщина s зуба рейки равна шири­ не е впадины, т.е. равна половине шага: s = е = р/ 2 = тгт/2. Согласно ГОСТ 13755-81, а = 20°, h*a = 1 , h] = 2 , с* = 0,25; для модуля га, которым определяется прочность зуба рейки, в ГОСТ 9563-80 предусмотрен ряд значений.

11.5. Эвольвентное зацепление

Рассмотрим элементы и свойства внешнего зацепления, образованного эвольвентными профилями 9i и Э2 (рис. 1 1 .6 ). Эти профили базируются на основных окружностях радиусов Т Ы и Г Ъ2• Поскольку в технике преимущественно распростране­ ны зубчатые передачи с постоянным передаточным отношени­ ем, прежде всего выясним, способны ли эвольвентные профили обеспечить это постоянство.

Рис. 11.6

Пусть в некоторый момент своего движения с угловыми скоростями и\ и U2 профили находятся в положениях и Э^- Согласно первому свойству эвольвенты (см. § 11.2), нормаль

кпрофилю Э71 , проведенная через точку контакта К\ должна быть касательной к первой основной окружности, а нормаль

кпрофилю Э72 — ко второй основной окружности. Поэтому общая к обоим профилям нормаль должна быть касательной к обеим основным окружностям, т.е. ею является прямая

Рассуждая аналогично, для другого момента времени, ко­ гда профили находятся в новых положениях Э;,1 и Э,;2 , устана­ вливаем, что и в этот новый момент времени общей нормалью будет по-прежнему прямая N\N<i- Следовательно, общая нор­ маль в процессе движения взаимодействующих эвольвентных

профилей своего положения не изменяет и пересекает межосе­ вую линию всегда в одном и том же месте, т.е. полюс зацеп­ ления Р неподвижен. Отсюда из основной теоремы зацепления (см. § 9.2) следует, что в эвольвентном зацеплении передаточ­ ное отношение в процессе движения профилей не изменяется:

Благодаря этому свойству эвольвентные профили и смог­ ли найти широкое применение в технике.

профилей 3i и Э2 , которые расположены на соответствующих начальных окружностях:

Отметим важное свойство, присущее только эвольвентному зацеплению: если по какой-либо причине межосевое рас­ стояние aw изменится по отношению к своему проектному зна­ чению, то это не приведет к нарушению запроектированного передаточного отношения, т.е. в эвольвентном зацеплении пе­ редаточное отношение и\2 не зависит от межосевого расстоя­ ния.

11.6. О сновны е полож ения стан оч н ого зацепления

Наиболее технологичным, а поэтому и самым распростра­ ненным способом изготовления зубчатых колес в настоящее время является способ обкатки. Суть его состоит в следую­ щем.

Рассмотрим прямозубую рейку ПР (рис. 11.7), которую бу­ дем называть производящей. Возьмем цилиндрическую заго­ товку, сделанную из податливого, пластичного материала. По­ катим заготовку вдоль производящей рейки, сильно прижимая ее к рейке. В результате такого обката зубья рейки выдавят впадины на заготовке, и она получит зубчатую форму. Не­ трудно заметить, что зубья производящей рейки и зубья, фор­ мируемые на заготовке при обкате, находятся в зацеплении. Отсюда следует принципиальный вывод: в основу способа об­ катки положен процесс зацепления.

•тывать вокруг нее надо рейку. Можно, наконец, рейке сооб­ щить прямолинейное поступательное движение, а заготовку вращать с соответствующей скоростью вокруг ее оси. Таким образом, для образования зубьев не имеют значения абсолют­ ные движения звеньев производящей рейки и колеса К; важно, чтобы их относительное движение представляло собой процесс зацепления, во время которого происходит взаимное огибание зубчатой поверхности производящей рейки и формируемой по­ верхности зубьев колеса (см. § 9.5). Способ обкатки имеет и второе название — способ огибания.

Если заготовка выполнена из непластичного или малопла­ стичного материала (например, из металла), то к движению обкатки необходимо добавить движение резания. Делается это следующим образом.

Режущий инструмент, имеющий форму зубчатой рейки, называют гребенкой* (рис. 11.8). На нижней стороне гребен­ ки Г по контуру ее зубьев затачивается режущая кромка РК (рис. 11.9, а). Заготовка нарезаемого колеса совершает слож­ ное движение обката, состоящего из движения 1 перпенди­ кулярно оси 0 0 вдоль гребенки и вращения 2 вокруг оси 0 0 . Гребенка совершает возвратно-поступательное движение 3, параллельное оси 0 0 колеса для снятия стружки по всей

Ширине его обода. Движение обката 1, 2 выполняется прерывисто и вся­ кий раз с малым перемещением; оно Чередуется с движением резания 3.

При технологическом движении гребенки вниз ее режущие кромки описывают зубчатую поверхность, которую называют производящей (см. § 9.7). На рис. 11.9 производя­ щая поверхность показана схематич­ но в виде вертикально проецирую­ щих линий. Рассечем эту вообража­ емую поверхность торцовой плоско­ стью Т нарезаемого колеса, перпен-

* Помимо гребенки в качестве режущего инструмента применяют чер­

вячную фрезу и долбяк.

Рис. 11.9

дикулярной его оси 0 0 (рис. 11.9, а) б). В сечении получим линию зубчатой формы, называемую исходным производящим контуром (ИПК).

Посмотрим сверху вертикально вниз на гребенку и наре­ заемое колесо (см. рис. 11.8). Тогда движения резания 3 видно не будет, поскольку оно осуществляется в вертикальном на­ правлении, но движение обката 1, 2, выполняемое в горизон­ тальном направлении (вместе со столом станка С, рис. 11.9), будет видно без всякого искажения. Если зубчатую производя­ щую поверхность, расположенную вертикально, мысленно сде­ лать материальной, то движение обката будет воспринимать­ ся как качение изготовляемого колеса по некоторой воображае­ мой прямозубой производящей рейке* (рис. 11.9, в). Зубья этой

* На рис. 11.9, б, в гребенка Г и производящая рейка ПР изображены

в двух проекциях.

рейки образованы производящей поверхностью, а их сечение плоскостью П, перпендикулярной оси 0 0 колеса представляет собой ИПК.

Из сказанного следует, что заготовка и инструмент дви­ жутся на станке друг относительно друга так, как будто про­ исходит зацепление профиля нарезаемых зубьев с ИПК. Это зацепление называют станочным. Оно сводится к качению из­ готовляемого колеса по производящей рейке (см. рис. 11.9, в).

На рис. 11.9,б показан ИПК, имеющий очертания зубча­ той рейки. Эвольвентные кромки реечного ИПК прямолиней­ ны (см. § 11.4). Поэтому режущий инструмент (червячная фреза или гребенка), образующий своим движением эвольвентный реечный ИПК, обладает очень ценным свойством: его можно изготовить сравнительно дешево и достаточно точно. Это свойство, присущее только эвольвентному режущему ин­ струменту, является его главнейшим достоинством, благодаря которому именно эвольвентные зубчатые передачи получили столь широкое применение в машиностроении.

11.7. Р ееч н ое станочное зацепление

На рис. 11.10 изображено станочное зацепление реечного ИПК с профилем зуба нарезаемого колеса. Реечный ИПК обладает геометрическими свойствами зубчатой рейки (см. рис. 11.5), с зубьями большей высоты. Главной линией ИПК является делительная прямая t/{7, на которой шаг р делится точно пополам между толщиной зуба so и шириной впадины ео: SQ = ео = ИПК имеет прямолинейную, т.е. эвольвентную, часть CD и плавно сопряженную с ней неэвольвентную часть — скругление DE. Прямолинейная часть наклонена под углом а. Через граничную точку D, разделяющую обе части ИПК, проходит прямая QQ граничных точек. Скругление DE

диус скругления pf — с*т/( 1 - sin а) = 0,380т. Таким обра­ зом, реечный ИПК характеризуется четырьмя стандартными

.параметрами: га, a, /г*, с* Физический смысл ИПК состоит в том, что он является тем следом, который режущая кром­ ка инструмента оставляет на материале изготавливаемого колеса.

Реечное станочное зацепление, как и всякое зацепление, имеет начальные линии. Ими являются станочно-начальная прямая W W рейки и станочно-начальная окружность колеса (см. рис. 11.10). Напомним, что эти линии катятся друг по другу без скольжения (см. § 11.5). Можно показать, что в реечном станочном зацеплении радиус rwо станочно-начальной окружности равен радиусу г делительной окружности: rwo=r.

Линия реечного станочного зацепления начинается в точке N ее касания с основной окружностью колеса и через полюс PQ уходит вверх в бесконечность (см. рис. 11.10). Левее точки N линии зацепления быть не может (см. § 11.5). Угол реечного станочного зацепления awо равен углу а (как углы с взаимно перпендикулярными сторонами).

Отметим также, что профильный угол зуба в точке, на­ ходящейся на делительной окружности, в процессе нарезания получается равным профильному углу а реечного ИПК, т.е. у прямозубого колеса он равен стандартному значению 2 0 ° Длина активной части линии станочного зацепления ограни­ чена. точками В1 и Б", расположенными на ее пересечении с граничной прямой QQ и окружностью вершин.

В процессе нарезания на профиле зуба колеса получается Как эвольвентная, так и неэвольвентная части. Переход эвольвентной части в неэвольвентную происходит в точке D1, на окружности граничных точек колеса, радиус которой г/ = ОD1 (см. рис. 11.10). Граничные точки D1 зуба колеса и D зуба ЙПК в процессе станочного зацепления контактируют друг с Другом на линии N PQ в точке В1

На станке инструмент можно устанавливать относитель­ но нарезаемого колеса по-разному. Поэтому в станочном за­ цеплении делительная прямая UU может быть расположена различным образом по отношению к делительной окружности: 1 ) может касаться делительной окружности — нулевая уста­ новка инструмента; 2 ) быть отодвинутой от нее — положи­ тельная установка; 3 ) пересекать ее — отрицательная уста­ новка.

Расстояние между делительной прямой и делительной окружностью называют смещением инструмента. Его выра­ жают в виде произведения модуля т на коэффициент смещения х и ему присваивают знак. При нулевой установке инструмен­ та смещение тх = 0 , х = 0 ; при положительной установке тх > 0 , х > 0 ; при отрицательной установке смещением явля­ ется стрелка сегмента, которую делительная прямая UU от­ секает от делительной окружности, и в этом случае тх < 0 , х < 0. На рис. 11.10 изображено реечное станочное зацепление при нарезании зубчатого колеса с положительным смещением.

Расстояние между окружностью вершин зубьев колеса и прямой впадин ИПК представляет собой станочный зазор со (рис. 11.10). Величина его складывается из двух частей: с*т и Ау •7П, где А у — коэффициент уравнительного смещения.

Составим расчетные формулы для определения основных размеров колеса, вытекающих из чертежа станочного зацепле­ ния (рис. 11.10). Радиус окружности вершин

ra = г + mx + h*m —Ау •т — т (г/ 2 + h* + х - Ау). (11.16)

Коэффициент смещения х подставим в уравнения (11.16), (11.18) с учетом его знака. Если х = 0 (смещения инструмента нет) и Ау = 0, то при стандартных значениях h* = 1,0, с* = = 0,25 получим h - 2,25m, ra = m (z/2 + l),ry = m(z/2-1,25).

Станочно-начальная окружность (она же делительная) пе­ рекатывается по станочно-начальной прямой W W без сколь­ жения. Поэтому толщина зуба s по делительной окружно­ сти нарезаемого колеса равна ширине ab впадины ИПК по станочно-начальной прямой (рис. 1 1 .1 1 ):