5.2.Установившееся движение машинного агрегата

Рассмотрим установившееся движение машинного агрега­ та, происходящее с малым коэффициентом неравномерности. Возьмем типичный пример: двигатель агрегата — роторная машина, передаточный механизм — зубчатый с передаточным отношением UQA — иЪ2 = Z2Z4 /(Z3Z5 ) (см. рис. 5.1), а рабочая машина имеет рычажный механизм — допустим, кривошипноползунный.

Пересчитаем по уравнениям (5 .2 ) и (5.9) все кинематиче­ ские, инерционные и силовые характеристики двигателя к вы­ ходному сечению В передачи. К этому же сечению приведем коэффициенты жесткости с = cgi и сопротивления к = к^.

Пусть двигатель имеет абсолютно жесткую характери­ стику: ид = идс = const (рис. 5.2, а), его движущий момент не зависит от угла поворота Мд = туаг(</?д), а момент инер­ ции его ротора постоянный: *7Д= const.

Как и ранее (см. § 4.10), момент сопротивления рабо­ чей машины примем не зависящим от скорости вращения:

Рис. 5.3

редачи и определяемый по уравнению (5.7). Напомним, что Ммс = const (см. рис. 5 .2 , б). Слагаемые, заключенные в квад­ ратные скобки, зависят явно от угловой координаты <рм (см. рис. 5.2, б, в, г) и изменяются периодически. Введем обозначе­ ние:

где Мдп = Мду + Мдт — момент, приложенный к двигателю от передачи (см. (5.4) и (5.6)).

Динамическая модель исследуемого машинного агрегата, построенная по уравнениям (5.14) и (5.15), изображена на рис. 5.3. Решим уравнения (5.14) и (5.15) относительно иско­ мых функций </?м( 0 и

Так как характеристика двигателя абсолютно Жесткая (вертикальная линия на рис. 5 .2 , а), то получаем решение для

Таким образом, вращение вала двигателя равномерное, с угловой скоростью и>дв = ицс/и52 = const. Движущий Момент

Мд, пересчитанный к выходному сечению передачи, а следова­ тельно, и фактический момент двигателя Мдв = М^и52 будут переменными величинами. Момент Мд(£) определим из урав­ нения (5.12) после того, как будет найдена </?м(£).

Получив решения (5.16), замечаем, что уравнение (5.11), являющееся развернутой формой уравнения (5.14), содержит только одну неизвестную функцию которую и опреде­ лим из этого уравнения. Ясно, что оно является нелинейным дифференциальным уравнением с переменными коэффициен­ тами. Для решения таких уравнений в нелинейной механике используется метод последовательных приближений. Приме­ нительно к задачам динамики машин этот метод был впервые разработан и эффективно применен М.З. Коловским.

Оставим в правой части уравнения (5.14) только член LMV(VM)>зависящий явно от угловой координаты </?м, а осталь­ ные слагаемые перенесем в левую часть и запишем ее с учетом уравнения (5.7):

^исфм “Ь кфм. + арм —(кфд + с(рЛ+ Ммс) = -^ми(^м)) (5.17)

где JMC, Ммс, /г, с — не изменяющиеся в процессе движения ве­ личины. В то же время член LMV(ipM), стоящий в правой части уравнения (5.17), периодически изменяется. В математической постановке он представляет собой воздействие, вынуждающее колебательный процесс. В уравнении (5.13) первое слагаемое определяется технологическим процессом, а второе — нали­ чием кривошипно-ползуиного механизма рабочей машины. В дальнейшем многочлен LMV(<pм) будем называть вынуждаю­ щим моментом.

Искомый закон движения </?M(t) определим методом после­ довательных приближений.

Начальное (нулевое) приближение. Так как заведомо известно, что неравномерность вращения вала рабочей маши­ ны Мала, то вначале положим, что момент LMV((pM), вызыва­ ющий эту неравномерность, примерно равен нулю. С учетом этого запишем уравнение (5.17), подставив в него (5.16). Тогда

JMC^PM + k(<pM—и;дс) + с(у>м —LOj^ct) —Ммс = 0.

Решение этого дифференциального уравнения для устано­ вившегося режима имеет вид </?м = uRCt —Д; Сры — идс = const; <1Рм = о, где

Таким образом, в начальном приближении вал рабочей машины вращается равномерно; его угловая скорость <рм = = имс = с = Ццв'Мбг = const. Координаты выходного сечения В передачи и ее входного сечения А (см. рис. 5.1, б) связаны соотношением </?м = ^дв^52 —Д, где Л = const — статическая деформация передачи, приведенная к ее выходному сечению.

Первое приближение. Теперь учтем влияние вынужда­ ющего момента LMV((pM)y подставив в выражение (5.13) ре­ зультаты начального приближения. Тогда получим LMv = = MMV - J ^ c/ 2 , где Muv и J'MV периодически зависят от взятого из начального приближения угла <рм = uMCt —А, т.е. от времени t. Поэтому LMV = LMV(t) есть периодическая функ­ ция времени.

Решение срм = <pM(t) уравнения (5.17) для первого прибли­ жения представим в виде

где т] = rj(t) — динамическая деформация. Из уравнения (5.19) определим <рм = и>мс - 77; ipu = fj. Подставим полученные выражения в уравнение (5.17) и после несложных преобразований получим

Разложим вынуждающий момент LMV(t) в ряд Фурье:

^ми(0 = LMj\\cos(cjMCt—Д —01 )4"J^MA2 COS(2uMCt— 2 Д ~ /?2 )+♦ ••“ oo

= ^2 I'MAi cos{iuuct - iA - A ); i=l

амплитуды ZrMi4,- и фазы /3j определяются формулами Эйле­ ра— Фурье. Теперь для решения уравнения (5.20) можно ис­ пользовать принцип суперпозиции:

Первое слагаемое щ определим из дифференциального уравнения (5 .2 0 ), в правую часть которого подставим первую гармонику из разложения в ряд Фурье:

Jucm + Ц -l + С7?1 = LUA1 c o s ( w M C < - а - ^ I ) .

Для установившегося режима достаточно найти только част­ ное решение этого уравнения, хорошо известное из курса тео­ ретической механики:

где Ъ = arctg{fo'u;MC/[c - (iwMc)2 Aic]}.

Таким образом, rj = 77(2) есть динамическая деформа­ ция, вызванная податливостью передаточного механизма, ко­ торая вместе со статической деформацией Д накладывается на основное движение машинного агрегата (см. (5.19)). Эта динамическая деформация представляет собой сумму упругих гармонических колебаний (см. (5 .2 1 )), происходящих с угло­ выми частотами, кратными средней угловой скорости имс ра­ бочей машины. Как было отмечено ранее,

Следует иметь в виду, что ряд (5 .2 1 ) обычно быстро схо­ дится, поскольку амплитудные значения Хмлъ £ МЛ2 > •••

во многих случаях монотонно и быстро убывают при увеличе­ нии номера г члена ряда (5 .2 1 ). Поэтому при приближенном решении задачи часто бывает достаточно рассматривать толь­ ко функцию r/i(t), вызванную воздействием первой гармоники.