Задача. Абсолютно жесткий брус подвешен на трех одинако­ вых стержнях и нагружен силой Р = 6 т (фиг. 3. 17). Определить усилия в стержнях, если а= 2 м, Ь = 3 м. Ответ: Л^= 0,5 т, N2 —2 т, 7VS= 3,5 г.

1 2

Фиг. 3. 17.

§ 6. Расчет по разрушающим нагрузкам

Определение грузоподъемности конструкции пли назначенце размеров поперечных сечений ее элементов производится исходя из условия проч­ ности оШах<М .при котором требуется, чтобы напряжения ни в одной точке конструкции не превосходили величины допускаемого напряжения. Такой расчет называется расчетом по допускаемым напряжениям. Но можно исхо­ дить и из другого условия, а именно из условия, чтобы наибольшая дей­ ствительная нагрузка Ртах всей конструкции, умноженная на коэффициент запаса прочности п, не превосходила величины предельной или разрушаю­ щей нагрузки РПр. при которой конструкция выходит из работы и перестает выполнять свое назначение:

Определение грузоподъемности и подбор сечений по этому условию на­ зывается расчетом по разрушающим нагрузкам. В статически определимых системах при равномерном распределении напряжений, когда материал по всему сечению используется полностью, расчет по любому из этих условий приводит к одним и тем же результатам. Возьмем, например, систему из двух стальных стержней с подвешенным к ним грузом (фиг. 3.6). Усилия в стержнях (§ 2, пример 2):

Νι=Ν,=-?— =Ν.

2 COS α

Из расчета по допускаемым напряжениям находим необходимую пло­ щадь сечений стержней

При этом допускаемое напряжение для пластичного материала, каким является сталь, выбирается как некоторая часть предела текучести [о]=

στ = -^- . Когда напряжения в каком-либо стержне достигнут предела теку­

чести от, в статически определимой конструкции появятся недопустимо большие деформации и она выйдет из работы. Следовательно, разруша­ ющей нагрузкой следует считать силу Рпр, при которой наибольшее напря-

90

чете но допускаемым напряжениям, убеждаемся, что при одинаковом запасе прочности в обоих расчетах получаются одинаковые результаты.

Иное наблюдается при расчете статически неопределимых систем, у ко­ торых распределение усилий между отдельными элементами всегда зависит от длины и жесткости стержней, входящих в данную систему. Рассмотрим, например, систему трех стержней (фиг. 3. 14), имеющих одинаковую жест­ кость EtFi^EzFi—E iF .^E F и нагруженных силой Р. В предыдущем пара­ графе составлены необходимые уравнения равновесия (9) и (10) и уравне­ ние деформации (11). При одинаковой жесткости и симметричном располо­ жении крайних стержней эти уравнения принимают следующий вид:

Решая совместно уравнения (10') и (11'), находим усилия в среднем и край­ них стержнях:

Так как cos3 a всегда меньше единицы, то усилие в среднем стержне больше, чем в крайних: Νι^>Ν. По допускаемым напряжениям необходимая площадь стержней определяется из условия прочности (3) по наибольшему усилию, возникающему в данном случае в среднем стержне, и вычисляется по формуле

________Р

Л> [σ] ~ [σ] (1+ 2 COS3a) '

Например, если дано, что Р=4600 кг, [о] = 1000 кг/сж3 и а= 30', т. е. cosa=0,866, то необходимая площадь сечения среднего стержня но допу­ скаемым напряжениям равна

4600________ t

^^ 1000(1+2 (0,866)3]- 2 СМ '

Вкрайних стержнях должна быть такая же площадь поперечного се­ чения, хотя напряжения в них меньше допускаемых и материал этих стерж­

ней использован не полностью. Если уменьшить площадь сечений крайних стержней, то усилия изменятся, в частности, усилие в среднем стержне воз­ растет. Для определения усилий необходимо снова решать уравнения равно­ весия совместно с уравнением деформации.

При расчете по допускаемым напряжениям наибольшая нагрузка Ра, которую безопасно может выдержать конструкция, получается, когда наибольшие напряжения достигнут величины [σ] и усилие в среднем стержне станет равным ДО3= Р д [о]. Из этого условия находим PA= F n [c]X

91

Но при этой нагрузке напряжения, равные пределу текучести, возни­ кают только в среднем стержне, а в крайних они меньше στ. При дальней­ шем увеличении нагрузки средний стержень, изготовленный из пластичного материала, легко деформируется, в нем появляются большие остаточные удлинения, а напряжения не растут; он больше не может воспринять воз­

разрушающей нагрузкой: к ней уже ничего нельзя добавить; она вычисляет­

2FaTCOS a-\*FsT= P np.

Окончательно ΡΠρ= Ρστ (1 +2 cos а). При расчете по разрушающим нагруз­

по разрушающим нагрузкам позволяет проектировать статически неопреде­ лимые системы из пластичных материалов более экономичными, чем полу­ чаемые на основании расчета по допускаемым напряжениям. При расчете по

жень), а возможности менее нагруженных элементов полностью не исполь­ зуются. При расчете по разрушающим нагрузкам предельная грузоподъ­ емность определяется разрушающей силой Р пр. при которой полностью используется материал всех элементов системы. Второй способ расчета по­ зволяет реализовать скрытые запасы прочности статически неопределимых систем, которые первый способ расчета не в состоянии обнаружить. Благо­ даря второму способу удается повысить расчетную грузоподъемность й до­ биться действительной равнопрочности всех частей статически неопредели­ мой конструкции. Изложенные выше соображения неоднократно проверя-

92

лись на опытах с моделями и реальными конструкциями и всегда наблюда­ лось, что определенная из опыта разрушающая нагрузка близко подходит по величине к разрушающей нагрузке, вычисленной по второму способу расчета. Способ может быть применен лишь в случаях статического нагру­ жения.

По первому способу расчета искомая нагрузка Рд нигде не должна вызывать напряжений выше допускаемых: атах [о]. В данном примере наибольшие напряжения возникают в стальной втулке. Приравнивая их

GJ2

допускаемому напряжению для стали, [σ3]= — , получаем наибольшую

п

безопасную нагрузку

93