откуда

27 100 27 100

= 19,3 C M .

Ζκ~ J ~ MOO

Это и есть расстояние от точки В до центра изгиба К, измеренное по перпендикуляру к силе Q.

§8. Балка со стенкой, не работающей на сдвиг

Впервом параграфе настоящей главы рассмотрена балка со стенкой, которая воспринимает на себя поперечную силу в данном сечении, работая на

а)

кальных и горизонтальных гранях элемента стенки возникают только касательные напряжения; в — в гранях под 45° возникают растягиваю­ щие и сжимающие нормальные напряжения.

(фиг. 10.29,6). В площадках, наклоненных на 45° к поперечному сечению, прг чистом сдвиге (гл. V, § 1) возникают нормальные напряжения σ = τ В одном направлении они растягивают элемент, а в перпендикулярном направлении сжимают его (фиг. 10. 29,а и в).

Работу такой стенки можно уподобить работе двух диагональных раско­ сов квадратной панели в шарнирной ферме (фиг. 10.30,а). От поперечной нагрузки квадрат ABCD обращается в ромб, диагональ АС удлиняется, а диагональ DB укорачивается на ту же величину. Если оба перекрещивающихся раскоса изготовлены из одного н того же материала и имеют одинаковую площадь сечения, то в них возникают усилия, равные по величине и противо­ положные по знаку, при условии что раскос DB, работающий на сжатие, не искривляется или, кад говорят, не теряет устойчивости. Ниже, в главе XIV, рассматривается изгиб стержней от действия продольных сжимающих сил и устанавливается критерий для определения их устойчивости. Здесь же мы пока можем отметить, что искривление стержня сжимающей силой потре­ бует тем большей нагрузки, чем больше момент инерции поперечного сечения стержня и чем меньше длина стержня. Длинные сжатые стержни должны быть жесткими на изгиб, чтобы они не теряли устойчивости от продольной силы. Их изготовляют из труб, угольников, швеллеров и из других профилей. Растянутые стержни могут быть гибкими, изготовленными из проволоки, лент, тросов и т. д. Таким образом в жестких диагональных раскосах квадратной панели фермы от поперечной силы возникают продольные усилия Ν, которые,

347

так же как и нормальные напряжения а в стенке, работающей на сдвиг, одина­ ковы по величине и противоположны по знаку: Ν ι——N3—N (фиг. 10.30,6).

Величина усилий определяется из равновесия отсеченной части фермы (фиг. 10.30, б). Составляя уравнение проекций на вертикаль

Νχ sin a-f-TVg sin a·—Q= Q

и принимая во внимание, что усилия в раскосах одинаковые, получаем

Совсем другая картина наблюдается, если оба раскоса сделать гибкими, например, проволочными или ленточными. В этом случае сжатый раскос легко искривляется и уже в начале нагружения выходит из работы от незначи­ тельной сжимающей силы; получается ферма, имеющая в панели только один раскос — растянутый (фиг. 10. 31,а). Вся поперечная сила в сечении воспри­ нимается только этим раскосом. Растягивающее усилие УѴі в работающем раскосе определяется из уравнения проекций на вертикаль всех сил отсечен

Фиг. 10.30. Работа жестких диагональных рас­ косов квадратной панели фермы.

а — деформация панели от поперечной нагрузки Q; б — усилия в рас­ косах равны по величине.

■ой части фермы (фиг. 10.31,6), которое имеет вид

Q

Ni sina—Q=0, откуда 1Ѵ,=------ . sin a

В ферме с гибкими раскосами, быстро теряющими устойчивость от сжимающей силы, усилие Nі в растягивающем раскосе вдвое больше усилия N. возникающего в том случае, когда сжатый раскос не теряет устойчивости.

Если вместо одного диагонального раскоса поставить несколько парал­ лельных ему раскосов (фиг. 10.32), то при жестких на изгиб поясах и стойках нормальные напряжения во всех этих раскосах будут одинаковы. Объясняется

ными поясами и стойками, обращается в ромб (пунктир на фиг. 10.32). Если

h ‘2

нения любых двух параллельных раскосов одинаковы, то, учитывая закон

Со о

пропорциональности при растяжении (гл. Ill, § 2), получаем —

Е Е Е

348

Н параллельных раскосах, сделанных из одного материала, возникают оди­ наковые нормальные напряжения σ.

Стенка, работающая на сдвиг, заменяет собой два жесткие перекрещи­ вающиеся раскоса фермы. Подобно этому два гибкие раскоса или один растя­ нутый раскос могут быть заменены очень тонкой стенкой, которая искрив­ ляется и теряет устойчивость в самом начале нагружения, при весьма малых сжимающих напряжениях. В такой стенке будут возникать только диагональ-

чительные касательные напряжения, возникающие в поперечных и продоль­ ных сечениях (фиг. 10.29), обязательно создают в одном диагональном на­

Фиг. 10.33. Балка с очень тонкой стенкой.

а — от поперечной нагрузки в стенке возникают только растягивающие напряжения, направленные по диагонали; б — образование складок (волн) в направлении растягивающих напряжений стенки; в — схема равновесия отсеченной части балки.

ствие быстрой потери устойчивости в очень тонкой стенке не могут появиться сколько-нибудь значительные сжимающие напряжения, а следовательно, стен­ ка не может сопротивляться касательным напряжениям, вызывающим сжатие, как говорят, стенка не работает на сдвиг. Это не означает, что ни в одном сечении стенки нет касательных напряжений. Они имеются, так же как и в брусе, испытывающем одноосное растяжение. Слова, что «стенки не работают на сдвиг», следует понимать в том смысле, что напряженное состояние эле-

349

ментов стенки не является чистым сдвигом. Модель такой стенки представ­ ляет собой прямоугольную рамку из четырех стержней, соединенных шарнира­ ми в углах с натянутой на ней мягкой обшивкой, хотя бы из материи. Как показывают опыты, при действии изгибающей балку силы Q (фиг. 10.33,6) уже в самом начале нагружения в тонкой стенке появляется ряд параллель­ ных складок или волн, направленных вдоль растягивающих напряжений, и возникает так называемое поле диагональных растяжений. Угол а наклона складок к поясам зависит от общих размеров балки, от поперечных сечений окаймляющих стенку стержней и от толщины стенки. Для употребительных в практике размеров угол а часто получается в пределах от 40 до 45°. Описан­ ная здесь схема тонкостенной балки очень близко подходит к некоторым видам авиационных конструкций со стенками из тонких металлических листов. Однако в отдельных случаях, когда листы стенки не очень тонкие, сжимаю­ щие напряжения в диагональном направлении оказывают заметное влияние на работу балки и в точных расчетах их следует учитывать.

Чтобы определить нормальные напряжения в стенке, не работающей на сдвиг, проводим вертикальный разрез балки ступеньками, перпендику­ лярными направлению σ (фиг. 10. 33, в), т. е. наклоненными на угол а к вер­ тикали. Именно в этих площадках возникают растягивающие напряжения; в перпендикулярных площадках, параллельных направлению складок, ника­ ких напряжений не будет. Стенку можно представить в виде сплошного ряда растянутых полос, подобных раскосам, изображенным на фиг. 10.32.

проекций на вертикальную ось всех сил оставшейся части балки с очень тонкой стенкой получается в следующем виде:

чении на расстоянии х и заменим действие отброшенной части равнодействую­ щей напряжений стенки σ tH cos а и усилиями в поясах: U в нижнем поясе и О — в верхнем. Составляем уравнение моментов относительно точки А верх­ него пояса всех сил оставшейся части балки (фиг. 10.34,6):

Н cos а UH — Q x+чіН cos а ----- ------ = 0.

350

Учитывая, что произведение Qx=M является изгибающим моменто

ЯЯ 2

Составляя аналогичное уравнение моментов всех сил относительно точки В, находим приближенное значение усилия в верхнем поясе:

Усилия в поясах балки с очень тонкой стенкой зависят от изгибаю­ щего момента и поперечной силы балки и изменяются по прямолинейному закону в пределах панели от нагруз­ ки сосредоточенными силами в уз­ лах.

Растягивающие напряжения от стенки создают нагрѵзку поясов и вызывают их изгиб. На единицу дли­ ны пояса приходится погонная на­ грузка (фиг. 10. 34, б)

q=at 1 sin а.

Ее вертикальная составляющаяравна qy = q sin a= at sin2 а.

Таким образом пояса балки находят­ ся в условиях одновременного изги­ ба равномерной нагрузкой qy и рас­

Кроме изгиба, нагрузка qy стре­ мится сблизить пояса друг с другом. Этому препятстнуют стойки, и в них возникают сжимающие усилия Счи­ тая, что нагрузка qy каждой панели по овну распределяется на ограни­

чивающие ее стойки, получаем, что на каждую сіойку приходится нагрузка, расположенная на половине левой и правой от стойки панелей (фиг. 10.34),8. Таким образом при одинаковых длинах панелей d и постоянном напряже-

351

Формулы (16') — (19) являются приближенными, так как получены и предположении <х=45°. Фактически а зависит от размеров балки и для каждой балки имеет свое значение. Если вместо 45° взять а=40°, то эти формулы изменятся на следующие:

Значительные изменения получают только погонная нагрузка qv и

усилие в стойках V и при этом в сторону уменьшения, следовательно, неточность расчета по формулам (16') — (19) идет в основном в запас прочности балки.

По формулам (17) вычисляем усилия в поясах:

0 = - — — — = - 1750 — 400=— 2150 кг.

Н2

Кроме этих усилий, в поясах возникают изгибающий момент и поперечная сила от равномерной нагрузки qy , которая имеет различные значения в каж-

-352

дой панели в зависимости от изменения поперечной силы балки. Например, в третьей и четвертой панелях она равна

Вследствие разницы между нормальными напряжениями в стенках смеж­ ных панелей на стойки передается погонная нагрузка, горизонтальная состав­ ляющая которой вызывает изгиб стойки, а вертикальная изменяет сжимаю­ щее усилие стойки по высоте. Поэтому сжатие стойки у верхнего узла меньше, чем у нагруженного нижнего узла. Чтобы найти усилия в стойке 4, вырежем верхний узел вместе с участком пояса до середины третьей и четвертой пане­ лей (фиг. 10.35). Погонная нагрузка qy, приходящаяся на этот участок, пе­

редается на стойку и сжимающее усилие в ее верхнем конце равно

-^ - = (15+20) 17,5=625 кг.

Усилие у нижнего конца стойки найдем из равновесия вырезанного таким же образом нижнего узла, который, кроме того, нагружен силой Р:

^ = ^ + ( ^ 3 + 9^ 4) - ^ - = 200+ 625=825 к г -

Вдоль стойки сжимающее усилие изменяется по прямолинейной зави­ симости от Ѵн до Ѵв.

Контрольные вопросы

1.Какие балки называются тонкостенными?

2.Что называется центром изгиба?

3.Как распределяются касательные напряжения в тонко­ стенном открытом профиле при изгибе?

4.Объясните, почему происходит закручивание несиммет­ ричного открытого профиля от поперечной силы, проходящей через центр тяжести?

5.Изменится ли распределение касательных усилий по сече­ нию открытого профиля, если поперечную силу перенести из центра тяжести в другую точку, например, в центр изгиба и по­ чему?

6.Какое уравнение нужно составить, чтобы найти центр из­ гиба открытого профиля?

7.По какой формуле вычисляются погонные касательные усилия при изгибе замкнутого профиля? Что представляет со­

бой начальное усилие q j Чему оно равно?

8.В каком случае центр изгиба замкнутого профиля совпа­ дает с центром тяжести?

9.Как вычисляются начальные усилия (многоконтурного профиля?

10.Напишите уравнения замкнутости при изгибе для чеіырсхконтурного профиля.

2 3 Основы строительной механики