§ 4. Изображение в проекциях

В е к т о р . Силы часто изображают векторами — отрезками прямой, от­ кладываемыми в направлении действия силы в определенном масштабе, на­ зываемом масштабом сил (фиг. 1.5,в). Так, например, можно условиться, что 1 см длины вектора означает 5 кг. Тогда вес в 10 кг изобразится вер­

ственно на чертеже (фиг. 1.5,в). Направление силы изображается на век­ торе стрелкой.

Проекции вектора — также векторы. Если вектор, изображающий силу N (фиг. 1.5, в), образует угол а с осью х, то проекция его Νχ на ось х равна, как показано выше, N cosa, а проекция Ny на ось у —равна N sin α.

Проекция вектора считается положительной, если ее направление сов­ падает с направлением оси проекций.

Проекции Νχ и Ny называются составляющими вектора. В самом деле, если бы на некоторую точку действовали одновременно силы N х и N^

то их равнодействующая представлялась бы диагональю параллелограмма, построенного на векторах N х и Ny (см. далее § 5). т. е. вектором N.

Вектор может изображать также перемещение, как и ряд других величин, имеющих направление. Пусть вектор длиной δ (фиг. 1.5, г) изо­ бражает перемещение некоторой точки в плоскости чертежа. Проекции этого перемещения на оси х и у будут выражаться так:

6^=5 COS а и δ^=δ sin а.

Они называются составляющими перемещения δ,так как совместно составля­ ют δ. В самом деле, пусть некоторая точка А (фиг. 1.5, г) получила пере­ мещение снизу вверх, равное Sy , и затем горизонтальное перемещение

δ^. Очевидно, эта точка придет в положение А', следовательно, результа­

зок прямой АВ, расположенный как угодно в пространстве. Если из концов этого отрезка опустить перпендикуляры на все три плоскости, то, соединяя основания перпендикуляров прямыми, лежащими в этих плоскостях, полу­ чим три проекции отрезка CD, EF и GH. Одна из проекций (в данном слу­ чае CD) называется основной или лицевой (фасад), другая (EF)— профиль­ ной, проекция на горизонтальную плоскость (GH) называется планом. На чертежах координатные плоскости, называемые также плоскостями проек­ ций, изображаются развернутыми в одну плоскость (фиг. 1.6,6).

Изображение тел в проекциях широко применяется в технике. Оно дает полное представление о предмете; на фиг. 1.6,г даны, например, три проек­

а только от его длины и направления. Если провести через точку А новые оси параллельно прежним, то проекции отрезка АВ на эти оси также будут·

20

Отрезок АВ является диагональю прямоугольного параллелепипеда, стороны которого равны проекциям отрезка на оси координат. Но диагональ прямоугольного параллелепипеда равна корню квадратному из суммы квад­ ратов его измерений. Следовательно, для длины / отрезка имеем формулу [аналогичную формуле (6)]:

Фиг. 1.6. Проекции в пространстве.

я —отрезки CD, EF и GH—проекции отрезка АВ на плоскости координат; отрезки Іх, Іу и Іг—проекции отрезка АВ на оси

координат; б—развертка плоскостей проекций в плоский чер­ теж; в—углы ах, ау и аг между прямой АВ и осями коор­ динат; г~пример изображения предмета в проекциях.

§ 5. Сложение сил. Центр тяжести

Если на некоторое тело действуют две силы Р и Q (фиг. 1. 7,а), проходящие через одну и ту же точку А, то эти две силы можно заменить одной силой R, получаемой графически как диагональ параллелограмма, построенного на силах Р и Q, отложенных в одинаковом масштабе. Сила R называется равнодействующей сил Р и Q, являющихся ее составляющими. Отыскание равнодей­ ствующей называется сложением сил. Обратное действие — на­ хождение составляющих — называется разложением силы.

21

Равнодействующую R можно найти, очевидно, и без построе­ ния всего параллелограмма полностью, достаточно построить один треугольник его АВС (фиг. 1. 7,6).

Аналогично можно получить равнодействующую и в случае многих сил (фиг. 1.7,в). Отложим все силы цепочкой одну за другой в произвольной последовательности, но в одинаковом мас-

Фиг. 1.7. Сложение сил в плоскости.

а —получение равнодействующей двух сил построением парал­ лелограмма; б—определение величины равнодействующей двух сил построением треугольника; в—к точке А приложены силы Ру, Р2, Р8, Р4 и Р6. Равнодействующая их найдена при помощи построения, показанного на фиг. г; г—силовой многоугольник; д —чтобы найти равнодействующую трех сил (Р, Q и S), скла­ дываем сперва две из них (Р и Q) и затем полученную рав­ нодействующую (R) складываем с третьей силой (S); е—сло­

жение параллельных сил.

штабе и с сохранением направления каждой силы (фиг. 1. 7,а),— будем иметь так называемый силовой многоугольник. Замыкая многоугольник, т. е. соединяя начало построения — точку А — с концом его — В, получим равнодействующую R. Направление ее по периметру многоугольника противоположно направлению остальные сил (составляющих). Так как все силы проходят че­ рез одну и ту же точку (точка А на фиг. 1. 7,в), то и равнодей­ ствующая их проходит через ту же точку.

22

Для определения равнодействующей не обязательно знать точки приложения составляющих — нужны только их линии дей­ ствия. Пусть, например, силы Р и Q (фиг. 1.7,д) расположены в одной плоскости и приложены в различных точках Л и В. Про­ должив направления этих сил до точки их пересечения и сложив их здесь так, как если бы они были здесь приложены, получим равнодействующую R сил Р и Q. Пользуясь этим приемом, можно произвести сложение и большего количества сил. Пусть имеем

водной плоскости три силы Р, Q и S, не проходящие через одну

иту же точку (фиг. 1.7,д). Сперва складываем силы Р и Q, а за­ тем полученную равнодействующую R сложим с третьей силой S тем же путем (на фигуре это второе построение не показано).

Напомним важные свойства равнодействующей: 1) проекция равнодействующей на любую ось равна сумме проекций состав­ ляющих на ту же ось (например, см. проекции на ось х на фиг. 1.7,6); 2) момент равнодействующей относительно любой точки (или оси) равен сумме моментов составляющих относи­ тельно той же точки (оси). Эти свойства равнодействующей бу­ дут нами использованы в дальнейшем. Подчеркиваем, что обе суммы являются алгебраическими, т. е. все слагаемые имеют знак плюс или минус в зависимости от направления силы. Мо­ мент силы будем считать положительным, если сила действует в направлении хода часовой стрелки относительно данной точки (это правило произвольно, применяется и обратное правило зна­ ков).

Второе свойство равнодействующей является основанием для нахождения положения равнодействующей аналитическим путем. Пусть, например, требуется найти равнодействующую параллель­ ных сил Рг= \ т, Р2 = 2 т, Р3 = 4 т и Р4= 3 т, отстоящих друг от друга на расстоянии а= 1 м (фиг. 1.7,а). Отложим силы в цепоч­ ку, как показано справа. Все силы откладываются на одной пря­ мой, но они для большей наглядности несколько смещены друг от друга. Соединяя начало построения А с концом В, получаем равнодействующую R (показана пунктиром). Она равна 2 т, что видно по масштабу сил. Остается найти ее положение, определяе­ мое расстоянием от некоторой определенной точки, например, от силы Р,. Для этого воспользуемся вышеуказанным свойством рав­ нодействующей.

Сумма моментов составляющих (Р4, Р2, Р3 и Р4) относительно точки О, взятой на линии действия силы Р„ равна Р4 · 0+ + Ρ2·α —Р3 · 2α+Ρ4 · 3α=2 · 1—4 · 2 + 3 -3 = 3 тм. Момент равно­ действующей Rx=2x. Приравняв сумму моментов составляющих моменту равнодействующей, получим 3= 2х, откуда х=1,5 м.

Ц е н т р т я ж е с т и . Центр тяжести тела является точкой, че­ рез которую проходит равнодействующая сил тяжести, действую­ щих на данное тело, при любом его положении. Так как силы тя­ жести всех частиц, составляющих тело, параллельны друг другу,

23

определение центра тяжести представляет задачу, аналогичную предыдущей.

Пусть, например, требуется определить центр тяжести плоской фигуры (фиг. 1.8), вырезанной из листа постоянной толщины. Разобьем всю фигуру на малые участки и определим хотя бы приближенно вес и центр тяжести каждого участка. Если участки достаточно малы, то каждый из них можно принять (приближен­ но) за прямоугольник. Пусть веса участков равны Рѵ Р2, Ps ...

(фиг. 1.8). Равнодействующая их равна их сумме: R —P1+P2 + + P3+ ’ ...=5)Р. Здесь знак 2 заменяет слово «сумма».

Положение равнодействующей определим, как в предыдущей задаче, взяв сумму моментов относительно произвольной точки О. Плечи сил Pi, Рі, Р3... относительно точки О равны соответствен­ но Хі, Хг, Хз···· Сумма моментов запишется так: Р1Х1 + Р 2Х2+ + Р 3Я3+... или, короче, ΣΡχ. Приравняем полученную сумму мо­ ментов составляющих моменту равнодействующей: '£Px=Rxc- Здесь х с— расстояние от точки О до искомого центра тяжести по нормали к направлению сил. Находим

Вес R пластины можно вычислить, если известны размеры и материал рассматриваемой пластины. Пусть толщина пластины постоянна и равна t, площадь ее боковой поверхности равна F, а материал однороден и имеет удельный вес γ. Умножая пло­ щадь на толщину, находим объем Ft пластины. Вес ее равен объему, умноженному на удельный вес: R = Ft γ. Аналогично вы­ ражаются веса участков: Pi=fit γ, Pz=fzt γ, Ρ3—/зt Τ,···, где

fu /2, /з···— площади участков.

Подставляя значения Р в формулу для хс, получаем ΣΡμ-

24