На основе принятых допущений в дальнейшем будут выведе­ ны формулы для определения напряжений и угла закручивания. Действительный угол закручивания, величину которого можно определить непосредственным измерением, почти не отличается от угла закручивания, вычисленного по формулам. Это подтверж­ дает справедливость принятых допущений. Брус, работающий на кручение, часто называют «валом».

§ 2. Зависимость между напряжением и деформацией

Выделим из вала двумя поперечными сечениями тт и пп элементарный участок длиной Δχ (фиг. 6.5). Здесь буква не является множителем; она указывает, что расстояние х весьма мало. Рассмотрим деформацию выделенного участка вала (фиг. 6.5,6). Под действием крутящего момента Λίκ правое се­ чение пп повернется относительно левого на малый угол ко­ торый называется абсолютным углом закручивания участка вала длиной Δχ. Произвольная точка В на поверхности вала сдвинет­ ся относительно точки А в плоскости сечения пп по дуге окруж­ ности с радиусом г в новое положение В'. Радиус ОВ = г повер­ нется вместе с сечением на угол ? в положение OB', оставаясь прямым согласно принятому допущению. Смещение точки В бу­

дет равно длине дуги ΒΒ'=τΔ<?.

Все другие точки радиуса ОВ также переместятся и опишут дуги, длины которых будут пропорциональны их расстояниям от центра О. Все точки сечения, расположенные на любой окруж­ ности с радиусом р, получают смещения в плоскости сечения на одну и ту же величину bb'— р · φ (фиг. 6. 5,6). Здесь угол φ измеряется не в градусах, а в радианах. Соответствующие эле­ менты вала получат абсолютные сдвиги, пропорциональные их расстояниям от центра.

При деформации сдвига появляются касательные напряже­ ния, направление которых совпадает с направлением сдвига, т. е. в данном случае перпендикулярно к радиусу. Обозначим эти напряжения через хр. Величина их пропорциональна сдвигам и будет одинаковой для всех точек данной окружности. Для дру­ гих окружностей касательные напряжения будут другими, и по длине радиуса их величина будет изменяться пропорционально радиусу р.

Перейдем к определению величины напряжения. При смеще­ нии точки В в положение В' прямая АВ, проведенная параллель­ но оси вала х, наклонится на угол γ и займет новое положение АВ’ (фиг. 6.5,6). Угол γ соответствует относительному сдвигу.

Вследствие малости угла закручивания дугу ВВ' можно заменить хордой и угол γ, измеряемый в радианах, принять равным

_ ВВ' _ В В '

^ ~~ АВ ~ Δχ '

143

Относительному сдвигу соответствуют касательные напря­ жения по закону пропорциональности [гл. V, формула (2)]

х= Gf

и в точке В они равны x = G — .

Ах

Подставим ВВ' = гІАу. Тогда

χ = G Δ?- г.

Ах

Напряжения хр в точках других окружностей с перемен­ ным расстоянием р от центра пропорциональны смещению этих точек и относятся к χ как их расстояния до центра.

его обозначать 0 = — . Он имеет размерность — . Тогда

Для всех точек данного сечения погонный угол закручивания точно так же, как и модуль упругости G, имеет постоянное зна­ чение. Следовательно, касательные напряжения при кручении из­ меняются в сечении круглого бруса пропорционально изменению расстояния р от центра и направлены перпендикулярно радиусу.

В центре бруса при р=0 они равны нулю. Наибольшей величины напряжения достигают в крайних точках сечения, при р = г, т. е. в точках окружности, совпадающей с поверхностью вала. На фиг. 6. 5,в приведена диаграмма, показывающая, как изменяются напряжения по сечению, от точки к точке вдоль радиуса. Она на­ зывается эпюрой касательных напряжений при кручении круглого бруса.

§ 3. Относительный угол закручивания

Действие одной части вала на другую часть (см. фиг. 6. 1,6) осуществляется внутренними силами взаимодействия, возникаю­ щими между частицами тела. Этими силами в поперечном сече-

144

нии при кручении являются только касательные силы, располо­ женные в плоскости сечения и приводящиеся к паре сил. Условие равновесия каждой части вала требует, чтобы сумма моментов всех элементарных касательных сил равнялась крутящему мо­ менту М к в данном сечении (фиг. 6. 6,а). Последнее условие дает

момент A M = z f AFp.

Сумма моментов AM дает величину крутящего момента (фиг. 6. 6,а)

Σ A M = 2 тррдр= ЛТ .

F F

Индекс F у знака суммы показывает, что она распростра­ няется на всю площадь сечения1.

Подставим сюда значение тр по формуле (1)

и вынесем за знак суммы общий множитель G — , который

Ах

является постоянным для всего сечения:

1 Более подробно о суммах см. ниже в § 5.

Введем обозначение

Сумма произведений элементарных площадок д/7 на квадра­ ты их расстояний до полюса, взятая для всего сечения, называет­ ся полярным моментом инерции площади Jp.

Принимая во внимание обозначение (2), окончательно полу­ чаем

(3 >

GJ.

Произведение модуля упругости и полярного момента инер­ ции GJP называется жесткостью при кручении круглого бруса.. Таким образом относительный угол закручивания пропорциона­ лен крутящему моменту и обратно пропорциона­

лен жесткости.

Остановимся несколько подробнее на величи­ не GJP. Она названа жесткостью потому, что от­ ражает влияние на деформируемость бруса, с одной стороны, упругих свойств материала, кото­ рые характеризуются модулем упругости G, и с другой — влияние размеров и формы поперечно­ го сечения, от которых зависит полярный момент инерции. Чем больше модуль упругости, тем меньше угол закручивания. Например, стальной Вал труднее закрутить, чем вал тех же разме­ ров, изготовленный из меди.

Полярный момент инерции .является геометрической величи­ ной. Он имеет размерность длины в четвертой степени (см*) и характеризует расположение материала в сечении. При одной и той же площади, но при расположении материала дальше от центра, сечение будет иметь больший /„ [формула (2)], а следо­ вательно, меньший угол закручивания. Формула для вычисле­ ния ]р выводится ниже (§ 6); здесь она дается без вывода.

Для сплошного круглого сечения (фиг. 6. 6,6) с диаметром d

полярный момент инерции равен

πά*

(4)

32

В практических расчетах можно принять приближенное зна­ чение и считать Jp^0,ld*.

Для полого вала с наружным диаметром D' и внутренним d (фиг. 6. 7) полярный момент инерции вычисляется как разность между полярными моментами инерции большого и малого круга

146