Глава V

СДВИГ

§ 1. Деформации и напряжения при сдвиге

Ч и с т ы й с двиг . Исследуем частный случай плоского на­ пряженного, состояния, при котором по граням прямоугольного элемента действуют главные напряжения аι= σ и оз= — о

Фиг. 5.1. Чистый сдвиг.

а — главные нормальные напряжения при чистом сдвиге; б — круг напряжений; в — наибольшие касательные напряжения; г — элемент, выделенный площадками с наибольшими касательными напряжениями; д — деформация сдвига.

(фиг. 5. 1,а), третье напряжение ог=0 является промежуточным. В одном направлении элемент растягивается, а в перпендикуляр­ ном сжимается с той же интенсивностью. Построим для этого

118

случая круг напряжений (§ 3, гл. IV). Откладывая вправо аг— а (фиг. 5.1,6), а влево σ3= — а, получаем центр круга в начале координат О. По построению этой точке соответствуют наиболь­ шие касательные напряжения τ =σ, равные радиусу круга. Та­ кие же напряжения получаются по формуле (9) гл. IV:

Они возникают в площадках, наклоненных под углом в 45° к на­ правлению главных напряжений (фиг. 5. 1,в). Из круга напря­ жений ясно, что в этих площадках нормальные напряжения равны нулю:

^а=45°==- 0.

Таким образом при растяжении и сжатии по двум взаимно перпендикулярным направлениям, равными по абсолютной вели­ чине напряжениями, в элементе существуют площадки, в кото­ рых возникают только касательные напряжения. Если из рассмат-

'риваемого элемента вырезать квадратную призму, ограниченную площадками, наклоненными под углом 45°, то на ее гранях бу­ дут действовать только касательные напряжения (фиг. 5. 1,г). Такое напряженное состояние называется чистым сдвигом. При чистом сдвиге наибольшие касательные напряжения численно равны главным напряжениям:

уменьшатся до величины (90 — γ), а углы а и с увеличатся до (УО + ч). Эта деформация называется сдвигом. Он характери­ зуется перемещением As (фиг. 5.1,6) и перекосом прямых углов на угол γ. Перемещение As называется абсолютным сдвигом и измеряется в см. Деля абсолютный сдвиг на длину s, на которой он возник, из треугольника ЬЬ'с (фиг. 5.1,6) нахо­

дим, что — — tg γ. При упругих деформациях сдвиг As и свя-

£

занный с ним угол γ весьма малы. Учитывая, что для малых углов tg γ = к, окончательно получаем

Угол γ называется относительным сдвигом или углом сдвига; он является безразмерной величиной и выражается в радианах. Угол сдвига в градусах будет

о__ As _π

^— s 180’

119

З а к о н п р о п о р ц и о н а л ь н о с т и пр и с д в и г е . Вы­ ясним зависимость между напряжениями и деформациями при чистом сдвиге. Выделим из прямоугольного элемента квадрат­ ную призму abed, по граням которой действуют только каса­ тельные напряжения τ (фиг. 5.1,г). В условиях чистого сдвига одна диагональ призмы укорачивается, а другая удлиняется (фиг. 5. 1,е). Относительное удлинение диагонали определим по формуле (12) гл. IV, принимая во внимание равенство (а):

ει = -)г (Зі —В3з)= J r (τ - К - τ)ί = ~ (1—1*)·

Пусть длина стороны квадратной призмы равна единице, 5=1

Для простоты предположим, что грань dc призмы непо­ движна (фиг. 5. 2,д). При деформации противоположная грань

. ab сдвинется в направлении касательных напряжений отно­ сительно грани dc на величину абсолютного сдвига Δ5= γ5 = γ1. Прямые углы квадрата изменятся на малую величину угла

сдвига γ и угол ab'd будет равен,— (90 —γ) = 45— 4_. Абсо­

лютное удлинение диагонали ΔΖ (фиг. 5.1,5) связано с абсолют­

Полученная формула выражает закон пропорциональности при сдвиге. Величина G является коэффициентом пропорциональ­ ности и называется модулем упругости при сдвиге или просто модулем сдвига. Он имеет размерность кгіем2, как и напряже­ ние т, что следует из уравнения (2), где угол γ является вели-

120

чиной безразмерной. Итак, деформации материалов характери­ зуются тремя величинами: модулем продольной упругости Е, коэффициентом поперечной деформации μ и модулем сдвига G. Две из этих трех величин являются независимыми. Они могут быть определены только непосредственно из опыта (гл. Ill, §2). Зависимость модуля сдвига от £ и μ имеет вид

2(1 -М

ипозволяет определить величину G, когда известны значения Е

иμ. Для большинства металлов можно принять μ = 0,25— 0,3.

Тогда Gm0,4 Е. Для стали G= 800 000 кг/см2, для дуралюмина

G = 270 000 кг/см2.

П р а к т и ч е с к и е с л у ч а и с д в и г а . Срез . С к а л ы в а ­ ние. Чистый сдвиг встречается как элемент других деформаций, например, при растяжении и окатии по двум направлениям, при кручении и т. д. Деформация сдвига обычно осложнена рядом побочных явлений. Такой «осложненный» сдвиг встречается при работе болтов, заклепок и т. п. металлических соединений; в этом случае он называется срезом; в случае деревянных соеди­ нений, где разрушение можно ожидать вдоль волокон, сдвиг на­ зывается скалыванием. Расчеты подобных соединений будут рас­ смотрены ниже. Простейшим примером практического осуще­ ствления сдвига может явиться следующий.

Пусть дан брус, защемленный одним концом в неподвижный блок. На небольшом расстоянии s от защемления (не превосхо­ дящем, например, высоту бруса) приложена перпендикулярно к оси бруса сила Р (фиг. 5. 2,а). Под действием этой силы сече­ ние BB' перемещается относительно сечения АА' (фиг. 5. 1,6).

121

Практически сечение ВВ' не только перемещается вдоль силы, но и поворачивается. Эта деформация рассматривается ниже в гл. IX об изгибе стержней. Однако при малом расстоянии s по­ ворот мал и им пренебрегают. Таким образом характер дефор­ мации совпадает с рассмотренным в случае чистого сдвига.

Напряжения, возникающие при этом в поперечном сечении, выясним, применяя метод сечений. Мысленно проведя разрез бруса по пп и отбросив, например, левую часть, заменим ее действие на оставшуюся правую часть внутренними силами взаимодействия между частицами материала и рассмотрим рав­ новесие правой части (фиг. 5. 2,в). По условию равновесия внеш­ ние и внутренние силы, действующие на оставшуюся часть, долж­ ны давать одинаковые проекции на любую ось. Чтобы сумма проекций на ось у равнялась нулю, в сечении должны иметься внутренние силы, которые должны быть направлены по каса­ тельной к поперечному сечению и давать равнодействующую Q, направленную противоположно силе Р и равную ей, Q=P. Обыч­ но в расчетах на сдвиг определяют не действительные касатель­ ные напряжения, которые будут различны в различных точках сечения, а их среднее значение

—постоянное для всех точек сечения. Другими словами, прини­ мают, что при сдвиге касательные напряжения распределяются равномерно по сечению (фиг. 5. 2,в). Этот условный расчет при­ меняется к таким деталям конструкций, которые работают глав­ ным образом на сдвиг и у которых в основном только напряже­ ния τ уравновешивают нагрузку. Из фиг. 5.2,в видно, что осталась не уравновешена пара с моментом РІ,— ею, по малости, пренебрегают.

У с л о в и е п р о ч н о с т и . Для обеспечения прочности и дол­ говечности детали, работающей на сдвиг, необходимо, чтобы средние касательные напряжения не превосходили допускаемого касательного напряжения [т]. Условие прочности на сдвиг имеет вид

Допускаемое напряжение [τ] зависит от тех же факторов, что и допускаемое напряжение при растяжении [о]. Напряжение [τ] должно составлять некоторую часть от временного сопротивле­ ния на сдвиг, при котором наступает разрушение.

Если известно допускаемое напряжение на растяжение и сжатие [о], то можно определить допускаемое напряжение на сдвиг [τ], пользуясь той или иной теорией прочности. При этом результаты получаются различными в зависимости от принятой теории прочности. Выбор теории прочности зависит, как указы­ валось в § 4 гл. IV, от материала детали.

122