На участке ВС изменяется только площадь сечения про­ порционально расстоянию z, а ордината центра тяжести остается неизменной. Здесь усилие q изменяется по прямой от Цв= 14,0 кг/см до qc = 14,0 + 2,6-0,3-12-6 = 70,2 кг/см. На участке СЕ изменение q снова происходит по параболе. Она начинается от qc = 70,2 кг/см·,

при _у = 3 см, ^ = 70,2 + 2,6-0,3-3-4,5 = 80,7 кг,'см; при у = 0, <7Я= 70,2+ 2,6-0,3-6-3 = 84,2 кг/см.

По стенке CF усилие q направлено вниз, чтобы уравновесить поперечную силу, а во всех остальных участках оно должно об­ разовать непрерывный поток, следовательно, на участках АВ и СА усилие q будет направлено вверх. Вычисленные ординаты

Фиг. 10. 13. Примеры тонкостенных открытых профилей для построения эпюр погонных касательных усилий.

позволяют построить эпюру, которая получается симметричной относительно горизонтальной оси симметрии (фиг. 10. 12). Наи­ большие касательные напряжения возникают на уровне ней­ трального слоя, а именно в точке Е:

= 282 кг/см-.

лок 5=16 см и толщина стенок t= 0,3 см. Ответ: qmiiX= 45,5 кг/см.

лось, что внешние силы лежат в одной из главных плоскостей балки, совпадающей с плоскостью симметрии. В этом случае

325

происходит только изгиб балки в плоскости нагрузки. Несколь­ ко иначе происходит изгиб балок, у которых хотя бы одна глав­ ная плоскость, проходя через ось балки, не является плоскостью симметрии. Когда нагрузка лежит в этой плоскости, то одно­ временно с изгибом таких балок наблюдается еще и закручива­ ние их, несмотря на то что нагрузка проходит через центр тя­ жести сечения. Явление кручения при изгибе силами, располо­ женными в главной плоскости, особенно заметным бывает в тон­ костенных открытых профилях. Например, если взять тонко­ стенный швеллер, то от силы, приложенной в центре тяжести сечения параллельно вертикальной стенке (т е. в главной пло-

цию можно наблюдать даже при незначительных нагрузках. Рассмотрим следующий небольшой опыт. Прикрепим на

свободном конце балки, имеющей сечение в виде швеллера, го­ ризонтальную планку (фиг. 10. 14) и будем подвешивать груз в различных точках этой планки. Подвешивая его правее центра тяжести, увидим, что балка будет закручиваться еще сильнее. Наоборот, передвигая груз по планке влево, найдем такое его положение, при котором балка не будет закручиваться и планка

Хотя обычно при определении напряжений изгиба и нет особой

буется нагрузить балку с поперечным сечением в виде швел­ лера так, чтобы она не закручивалась, то нагрузка должна быть

326

приложена в центре изгиба, который находится вне сечения (фиг. 10. 14,6). При действии нагрузки в плоскости вертикаль­ ной стенки или в плоскости, проходящей через центр тяжести сечений, в балке возникают, помимо касательных напряжений изгиба, дополнительные напряжения кручения. Последние опре­ деляются по формулам, приведенным в гл. VII § 2, для чего необходимо предварительно знать крутящий момент, созда­ ваемый поперечной нагрузкой относительно оси, проходящей через центр изгиба.

В открытом профиле касательные напряжения кручения по тлщине стенки распределяются по закону треугольника (фиг. 7. 5). Их равнодействующая по средней линии равна нулю, и они не создают погонного касательного усилия q. Если к из­ гибу открытого профиля добавить кручение, например, от силы, не проходящей через центр изгиба, то к равномерным по тол­

щине напряжениям изгиба ти3=-~- (фиг. 10.9) нужно добавить

неравномерные по толщине напряжения кручения ткр (фиг. 7. 5). Вследствие этого нарушится равномерность распределения ка­ сательных напряжений ти3: в одной половине по толщине стен­ ки они увеличатся, а в другой уменьшатся на одну и ту же ве­ личину тКр. Но погонное касательное усилие q от этого нисколь­ ко не изменится, и эпюра q останется прежней, будет ли пло­ скость изгибающей нагрузки проходить через центр изгиба или нет. Для балки же это далеко не безразлично, потому что при несовпадении нагрузки с центром изгиба, вследствие малой жесткости на кручение тонкостенной балки, появляются значи­ тельные деформации: угол закручивания и депланация сечения (см. гл. VII, § 4). Кроме того, при наличии препятствий к сво­ бодной депланации, например, в случае защемления одного из сечений появляются дополнительные нормальные напряжения и сопутствующие им касательные. Кручение бруса при наличии препятствий к свободной депОіанации называется стесненным кручением *. Если желательно не осложнять изгиб стержня кру­ чением и не вызывать больших деформаций, следует нагрузку располагать в плоскости, проходящей через центры изгиба се­ чений. Попутно заметим, что сечение депланирует и при попе­ речном изгибе. При наличии препятствий к депланации от изгиба также возникают добавочные нормальные и касательные напря­ жения. В этом случае говорят о «стесненном изгибе». Обычно тео­ рия изгиба строится в предположении, что сечение остается пло­ ским и после деформации.

М о м е н т к а с а т е л ь н ы х у с и л и й и з г и б а . Для опре­

327

мент, создаваемый касательными усилиями относительно про­ извольной точки, расположенной в плоскости сечения. Возьмем тонкостенный профиль, в котором возникают касательные уси­ лия q, например, от вертикальной силы Q„ (фиг. 10. 15). Момент касательной силы q&s, приходящейся на малый элемент длины контура, относительно какой-либо точки О равен

kMq=q&s г,

где г — перпендикуляр, опущенный из точки О на направление касательной к контуру в данном элементе сечения. Чтобы по­ лучить момент касательных усилий всего профиля, нужно сложить все элементарные моменты, распростра­

няя сумму на все сечение:

умножив каждую силу Т на соответ­ ствующие им плечи г до рассматриваемого полюса О, получим момент касательных усилий

Например, в профиле в виде швеллера (фиг. 10.9, а) каса­ тельные силы будут:

Т3= — = 80 кг.

3 2

Момент касательных усилий относительно центра тяжести сечения равен

Λ ί, = 2 7Ѵ= 8 0 - 4 + 325· 1 ,3 9 + 80*4 = 1092 кгсм.

Если взять какую-либо точку правее вертикали, проходящей через центр тяжести, то момент относительно нее будет больше.

328

а относительно любой точки на вертикальной стенке он будет меньше, чем относительно центра тяжести.

В тех случаях когда касательное усилие q имеет постоянную величину во всех точках контура, как, например, в случае от­ крытого профиля в виде двухпоясной балки с криволинейной стенкой (фиг. 10.4), в формуле (5) величину q можно вынести за знак суммы. Оставшаяся сумма £rAs=u> представляет собой

внешней нагрузки не проходит через эту точку, то внутренние си­ лы q от изгиба не будут находиться в равновесии с внешней на­ грузкой. В этом случае нагрузка создает крутящий момент отно­ сительно продольной оси балки, проходящей через точки D всех сечений, и вызывает кручение балки. Чтобы балка не закручи­ валась при изгибе, необходимо нагрузку приложить в плоскости, проходящей через точку D (фиг. 10. 15). Точка D, через которую проходит равнодействующая внутренних касательных усилий из­ гиба, является центром изгиба сечения.

Из условия равновесия между внутренними и внешними си­ лами равнодействующая Rq внутренних касательных усилий из­ гиба, возникающих в сечении, должна быть равна и противопо­ ложна равнодействующей внешних сил Q„ в данном сечении, Rq—Qv Положение равнодействующей Rq, а следовательно, и положение центра изгиба D найдем из другого условия равно­ весия, а именно: сумма моментов внутренних касательных уси­ лий Мд и момент силы Qy, проходящей через центр изгиба, от­ носительно любой точки сечения, расположенной на расстоя­ нии z о по перпендикуляру к силе Qv (фиг. 10. 15), должны рав­ няться нулю. Составим это уравнение: Mq—QV -ZD= 0. Отсюда находим расстояние от центра изгиба до произвольно выбран­ ного полюса О, относительно которого вычислен момент М„,

(8)

ѵу

32θ

фиг. 10. 18), то при той же высоте Н удвоенная площадь ш умень­ шится и центр изгиба будет лежать ближе к стенке. В частном случае прямолинейной стенки он совпадает с ней (фиг. 10. 3,6).

Пример 2. Вывести формулу для определения центра изгиба швеллера в зависимости от его размеров h, Ь и t (фиг. 10. 19).

Центр изгиба лежит на горизонталь­ ной оси симметрии. Для его определения удобно момент Mq касательных усилий, вызванных вертикальной силой Q, вы­ числить относительно одной из угловых точек, например, относительно точки С. Тогда касательные силы Т2 и Т3 не вой­ дут в выражение момента Mq и он будет зависеть только от силы 7\, которая равна площади эпюры q, построенной для верх­ ней полки АВ швеллера (фиг. 10. 9,6). Уг­ ловая ордината этой эпюры равна

У в = — bt- h

Затем находим

-г _ чвиЯиЬ _ b'h 11 “ „ — 4

и вычисляем относительно точки С величину

Мч = = —

Подставляя найденную величину Mq в формулу (8), получаем

После подстановки и сокращения искомая формула имеет вид

ъ

zD =

2+

h_

3Ь

В частном случае для размеров, указанных на фиг. 10. 9,а, расстояние центра изгиба от вертикальной стенки равно

331