На основании изложенного нетрудно видеть, что положение центра изгиба не зависит от поперечной силы Q. Его координа­ ты относятся к числу геометрических характеристик сечения и зависят только от формы и размеров последнего.

2. Найти расстояние центра изгиба до вертикальной стенки сечения, изображенного на фиг. 10.8, сначала без учета площа­ ди сечения стенок, используя построенную эпюру q, а затем с учетом этой площади. Ответ: 1. ZD—6 см; 2. ZQ = 5,43 см.

§5. Изгиб замкнутых профилей

Но р м а л ь н ы е н а п р я ж е н и я . При изучении деформации кручения было принято допущение о том, что форма контура тонкостенных профилей остается все время неизменной; это обеспечивается постановкой достаточно часто расположенных поперечных диафрагм (гл. VII, § 4). Принятое допу­ щение в полной мере справедливо и для деформации изгиба. При кручении поперечные сечения поворачиваются относительно оси бруса и, вообще го­ воря, получают иногда значительную депланацию, переставая быть плоскими после деформации. Изгиб же замкнутых и открытых профилей в главной центральной плоскости нагрузкой, проходящей через центр изгиба, харак­

теризуется лишь поворотом поперечных сечений около центральной оси, перпендикулярной главной плоскости. Как было упомянуто выше, при изгибе сечения считаются плоскими и после деформации.

Ввиду того что деформация изгиба тонкостенных профилей не отли­ чается от соответствующей деформации балок сплошного сечения, то и рас­ пределение нормальных напряжений у них должно быть одинаковым. Если изгиб происходит в одной из главных центральных плоскостей балки, то нормальные напряжения определяются по формуле

Здесь ] — момент инерции относительно нейтральной оси, проходящей через центр тяжести сечения; М — изгибающий момент и у — расстояние от ней­ тральной оси до рассматриваемой точки сечения.

К а с а т е л ь н ы е н а п р я ж е н и я . В замкнутых тонкостенных профи­ лях распределение касательных напряжений или касательных усилий, кото­

рые в отличие от усилий q открытого профиля будем теперь обозначать q, связано с формой контура сечения и с положением центра изгиба. В сим­

метричном сечении распределение q будет симметричным при изгибе в пло­ скости симметрии. Например, при изгибе бруса в виде прямоугольной ко­ робки сосредоточенной силой Р (фиг. 10.20,а) совершенно очевидно, что в вер­

тикальных стенках произвольного сечения усилия q будут одинаковыми по

величине и по направлению. Если усилие q в вертикальных стенках на­ правлено вниз, то в нижней горизонтальной стенке оно будет направлено от краев к середине, а в верхней, наоборот, от середины к краям; на верти­

Данный профиль можно разрезать на две одинаковые части по верти­ кальной плоскости симметрии. Каждая половина получается в виде швел-

332

лера. Нагрузка, лежащая в плоскости симметрии, распределится поровну на обе половины, и они будут изгибаться совершенно одинаково. Распределение нормальных и касательных напряжений по сечению каждого швеллера сов­ падает с распределением напряжений на половине замкнутого прямоуголь­ ника. Вследствие симметрии распределения усилий по замкнутому сечению их равнодействующая проходит по оси симметрии, и центр изгиба (будем

Фиг. 10.20. Изгиб замкнутого профиля.

его обозначать в замкнутом профиле буквой К) обязательно лежит на этой оси (фиг. 10.20,6). В сечении с двумя осями симметрии центр К лежит на пересечении этих осей и совпадает с центром тяжести.

Так как заранее известно, что усилие q в данном профиле (фиг. 10.20, а) равно нулю в точке О на оси симметрии, то этот профиль можно рас-

——30см f-—30см

Фиг. 10.21. Открытый профиль, полученный из замкнутого.

а — разрез сделан через точку с нулевым_значением <7; б — профиль разрезан через точку со значением qі, отличным от нуля.

сматривать как открытый, полученный путем продольного разреза стенки через точку О на всю длину бруса (фиг. 10.21, а). Величину q замкнутого

Q

профиля в таком случае можно вычислить по формуле (4), q = - j- S , спра­

ведливой для открытого профиля, если это вычисление начинать от точ-

333

ки О с нулевым значением q. Пользуясь этим обстоятельством, при задан­ ных размерах находим для точки А

Здесь взят статический момент площади сечения стенки на участке от О до А. Добавляя статический момент площади от А до 1, на нейтральной оси находим

Для точки В имеем qg = qA· потому что добавочный статический момент площади участка' АВ относительно нейтральной оси равен нулю и т. д. 4 Не всегда можно заранее определить, в каком месте замкнутого контура касательное усилие равно нулю, особенно если сечение не имеет оси сим­ метрии. В таком случае, делая разрез замкнутого контура, в каком-нибудь месте, например, через точку 1 (фиг. 10.21,6), обнаруживаем в этом разрезе

усилие <7і, которое нужно добавлять к касательному усилию, вычисленному по формуле (4). Таким образом в общем случае формула касательных усилий замкнутого профиля принимает вид

Здесь q\ представляет собой погонное касательное усилие в той точке контура, от которой начинается вычисление статического момента площа­ ди сечения. В частных случаях оно может быть равно нулю, положим, если начать от точек О или Οχ, расположенных на оси симметрии. Каса­

Здесь на участке от точки 1 до точки В добавляется отрицательный ста­ тический момент. Точно так же для точки Οχ

<7о=75 (0,3-10-5+0,2-30-10) -7 - = 0,-

для точки С

~ξ0= 7 5 - γ - (0,3-10-5+0,2.60-10) - ^ - = - 6 0 - ^ -

и т. д, Знак минус указывает, что в правой половине сечения усилие q

чении (гл. VII, § 3), считается положительным усилие q, вращающее сече­ ние против часовой стрелки.

334

У р а в н е н и е з а м к н у т о с т и . В общем случае невозможно заранее

предугадать, в какой точке замкнутого контура усилие q равно нулю, или определить его хотя бы для одной какой-нибудь точки. Другими словами,

в замкнутом контуре нужно предварительно найти начальное усилие qi. Для этого воспользуемся тем условием, что контур является замкнутым и каса­ тельные усилия должны. распределяться по сечению таким образом, чтобы было удовлетворено уравнение замкнутости, полученное при рассмотрении, кручения профиля [гл. VII, § 4, формула (9)]:

2 qAs' =G9u>K.

К

При кручении в это уравнение входит погонное касательное усилие qKp·. имеющее постоянную величину для всего контура. При изгибе в уравнение

замкнутости нужно подставить переменное касательное усилие q\ оно зави­ сит от изменения статического момента S площади части сечения, и поэтому его нельзя выносить за знак суммы. Если плоскость изгибающих сил прохо­ дит через центр изгиба К замкнутого профиля, то закручивания балки нс будет, и погонный угол закручивания θ =0. Уравнение замкнутости в усло­ виях только одного изгиба без кручения принимает вид

2"?Да'=0. (П)

К

Подставим в него значения q по формуле (10):

Σ ( Д + < 7 ) As'=0.

к

Усилие q\ имеет вполне определенное значение и изменяется по сечению только величина q; поэтому, раскрыв скобки, мы отделим неизменную

часть и можем вынести qx за знак суммы:

тура (гл. VII, § 4).

Вводя это обозначение, получаем

К

откуда

К

( 12)

Чтобы определить касательное усилие замкнутого контура в какойлибо точке 1, принятой за начальную, прежде всего нужно вычислить переменные усилия q, считая контур открытым в этой точке, и построить эпюру q по типу эпюр, изображенных на фиг. 10.8—10.12. Если все ординаты этой эпюры разделить на соответствующие им толщины сте­

335

толщину #. Найденные таким образом значения суммируются по всем

мое начальное усилие q'i замкнутого контура. Окончательная эпюра q по­

лучается путем сложения эпюры q с постоянной величиной q\ по фор­ муле (10).

Заметим, что если бы речь шла об определении q от некоторой попе­ речной нагрузки, независимо от того, сопровождается ли вызываемый ею изгиб кручением или нет, то задача могла бы быть решена с помощью урав­ нений равновесия без использования условий замкнутости.

Пример 1. Определить касательные усилия в сечении пп тонкостенного замкнутого профиля квадратной формы от поперечной силы Q= 1000 кг,

Фиг. 10.22. Пример вычисления касательных усилий при изгибе замкнутого профиля.

336