Для определения жесткости на кручение замкнутого профиля вычисляем!

§ 5. Многоконтурный профиль

Р а с п р е д е л е н и е п о г о н н ы х к а с а т е л ь н ы х у с и л и й . Если в тонкостенном брусе с замкнутым контуром поставить внутри продольную стенку, соединяющую внешний контур, то его сечение будет составлять не один, а два замкнутых контура, объединенных в одно целое. Поставив две

лия, которые для каждого контура в отдельности имеют постоянные значения,

201

приложенные к ней, спроектируем на продольную ось х, подобно тому, как это было сделано при выводе зависимости по фиг. 7. 7. Из условия равнове­ сия легко убедиться, что касательные усилия qi по краям 1— 1 и 1'·—1' долж­ ны быть одинаковыми. По закону парности такие же усилия будут в попе­ речном сечении у точек 1 и V. Так как точки выбраны произвольно, то можно сказать, что погонное касательное усилие q± постоянно для всех точек пер­ вого контура, через которые можно провести разрез, не затрагивая других контуров.

#иг. 7. 19. Погонные касательные усилия постоянны в пределах каждого контура.

Точно так же, разрезая брус вдоль через второй контур сечением 2—2', •обнаружим постоянство усилия q» (фиг. 7. 19,в). Аналогично в стенках, при­ надлежащих только третьему контуру, будет постоянное усилие q3.

Если произвести разрез через два смежных контура, например, через второй и третий, то придется разрезать и промежуточную стенку. Касатель­ ное усилие вдоль ее грани q->3 (фиг. 7. 19,г) тоже будет постоянным. Состав­ ляя условие равновесия отрезанной части бруса в виде суммы проекции всех сил на ось X с учетом их направления (фиг. 7. 19,г), получаем

ности усилий в смежных контурах. Если изобразить их на многоконтурном сечении, то на всех промежуточных стенках положительные усилия смежных контуров будут направлены в разные стороны (фиг. 7.20,а).

На эпюре погонных касательных усилий (фиг. 7.20,6) отложены в виде ординат, перпендикулярных контуру, величины qi, q3 и q3 на участках, при­ надлежащих только соответствующему контуру. Положительные q, как было условлено (фиг. 7.9), откладываются снаружи. На промежуточных стенках,

202

принадлежащих двум контурам одновременно, ординаты эпюры равны раз­ ности усилий смежных контуров и отложены снаружи того из них, в котором больше положительное усилие q. Если усилия q во всех контурах окажутся одинаковыми, то касательных усилий во внутренних стенках не будет. На­ личие внутренних стенок в этом случае не внесет никаких изменений в рас­ пределение усилий, и многоконтурный профиль фактически станет однокон­ турным.

У р а в н е н и я з а м к н у т о с т и . Рассмотрим для примера тот же трех­ контурный профиль (фиг. 7. 18) и применим к каждому его контуру в от­ дельности уравнение замкнутости. Обходя любой контур, неизбежно будем возвращаться к исходной точке, и сумма приращений депланации (8), на­ копленной на замкнутом пути, всегда будет равна нулю, что и приводит

а)

Фиг. 7. 20. Распределение погонных касательных усилий в многоконтур- иом профиле.

а — направление усилий q\ б — эпюра q.

к уравнению (9). Прежде всего преобразуем уравнение (9), разделив обе сто части на постоянную для сечения величину Gft. Для любого замкнутого контура, который входит в состав профиля, уравнение замкнутости можно записать так:

профиля (фиг. 7.20,6). С введением понятия касательного усилия р уравне­ ние замкнутости принимает вид

К

Это выражение показывает, что сумма произведений единичных касательных усилий на соответствующие приведенные длины элементов контура, взятая по длине контура, должна равняться его удвоенной площади.

Чтобы составить эту сумму для первого контура, нужно принять во внимание, что на его стенки АВ, ВС и CD действует только положительное

203

Стоящую в скобках сумму приведенных длин стенок первого контура, равную

стенок. Сумма этих произведений составляет левую часть уравнения замкну­ тости. Правая его часть равна удвоенной площади ω2, ограниченной лишь вторым контуром. Запишем уравнение замкнутости второго контура, распо­ ложив по порядку усилия р:

Число таких уравнений во всяком многоконтурном профиле будет всегда равно числу его контуров. Это позволяет путем совместного решения раз­ вернутых уравнений замкнутости определить единичные касательные усилия

р всех контуров.

204

У г о л з а к р у ч и в а н и я . Зная величины р, легко перейти к каса­ тельным усилиям q=Gbp. Но предварительно нужно знать погонный угол закручивания θ. Чтобы его определить, воспользуемся условием равнове­ сия части бруса, отделенной поперечным разрезом (фиг. 7.23) Постоянное касательное усилие одного замкнутого контура из состава профиля созда­

моменты второго и третьего контуров будут M2—Gbp2u>2 и Af3=G8/)3ma. Условие равновесия отрезанной части бруса требует, чтобы

Μ·ι+Μ2+Μ 3 — М к—0.

Подставляя сюда полученные выше выражения моментов контуров, запишем условие равновесия так:

GO (pi<Dj+ ρ 3ω2-|-/?3ω3) = σ# 2 /» ω = Λ ίκ,

откуда получаем погонный угол закручивания многоконтурного профиля

Формулу погонного касательного усилия какого-нибудь контура полу­ чим, если в его выражение q=G%p подставим найденный угол закручива­ ния, а именно

Все время мы рассматривали в качестве примера трехконтурный про­ филь. Но совершенно очевидно, что высказанные до сих пор положения остаются справедливыми для любого сечения с произвольным числом зам­ кнутых контуров, образованных введением как угодно расположенных внут­ ренних стенок.

Ж е с т к о с т ь на к р у ч е н и е . Наибольшие касательные усилия мно­ гоконтурного профиля и его угол закручивания можно представить в общей форме, если обозначить

Первая величина представляет собой жесткость на кручение многокон­ турного профиля, а вторая — его момент сопротивления кручению. Их вы­ числение связано с предварительным определением величин р, которые мы представили как касательные усилия, соответствующиё ОЯ = 1.

Но из развернутых уравнений замкнутости легко убедиться, что вели­ чины р зависят только от размеров и конфигурации профиля, от длин стенок,

205

их толщин и удвоенных площадей контуров. Они характеризуют распределе­ ние касательных усилий по сечению и могут быть найдены совершенно не­ зависимо от нагрузки. Иногда величины р называются средними радиусами контуров. Определение их производится путем решения системы уравнений замкнутости, составление которых не представляет никаких трудностей [фор­ мулы (12)].

Для наглядности покажем, как записывается развернутое уравнение замкнутости какого-либо контура профиля, изображенного на фиг. 7.24. Сначала перенумеруем контуры и надпишем в них величины р. Тогда, предварительно вычислив приведенные длины всех стенок и удвоенные площади контуров, можно сразу написать уравнение замкнутости любого контура. Например, для второго контура по фиг. 7. 24 видим, что с ним

граничат контуры первый, третий и пятый.

Вычислив затем жесткость на кручение профиля (15), определяем касатель­ ные усилия любого контура и угол закручивания бруса по формулам

Наибольшие усилия будут в контуре с наибольшей величиной р. Из полученных результатов легко получить уже известные формулы для зам­ кнутого, одноконтурного профиля, рассматривая его как частный случай многоконтурного.

Введение величин р позволяет свести расчет на кручение многоконтурного профиля к общим формулам. Это особенно удобно, когда приходится иметь дело с различными случаями приложения нагрузки.

Пример 1. Построить эпюру погонных касательных усилий в тонкостен­ ном профиле крыльевого типа (фиг. 7.25) при нагружении его моментом

Фиг. 7.25. Пример расчета на кручение трехконтурного профиля.

Λί=800 кем и определить абсолютный угол закручивания, если длина бруса (размах крыла) 7=4,5 м. Толщина обшивки 7і=1 мм, толщина стенки перед­ него лонжерона 72=4 мм, заднего 7з=2 мм. Материал — дуралюмин.

206

Решая эти уравнения совместно, находим

р і= 1 , 7 3 с м 2 р2—2 , 5 9 с м 2; р3= 1 , 2 7 см2.

Теперь вычисляем величину

Λ = Σ ρ ω = 1 ,73-805+2,59-3360+1,27-1680=11 720 см*.

Затем находим погонные касательные усилия контуров

Мк 80 000

Эпюра касательных усилий изображена на фиг. 7.25,6. Наибольшие-; напряжения возникают в средней части обшивки

207'

Наконец, вычисляем абсолютный угол закручивания крыла

Мк/ 80 000-450

=0,011 радиан или

280 000-11 720

<р=0,011----=0,64°.

π

Задача 1. Прямоугольный профиль со сторонами 25X80 см и толщиной стенок /і = 1 мм разделен на два контура внутренней стенкой, поставленной параллельно короткой стороне на расстоянии 20 см от середины сечения.

Контрольные вопросы

1.В чем состоит отличие деформации кручения бруса некруглого сечения от деформации кручения круглого бруса?

2.Что называется депланацией сечения?

3.Где получается наибольший угол сдвига при кручении прямоугольного

бруса?

4.В каких точках прямоугольного сечения возникают наибольшие на­ пряжения от кручения? Какие точки не испытывают напряжений?

5.Как изменяются напряжения кручения вдоль длинной стороны сечения, имеющего вид вытянутого прямоугольника? Чему они равны в срединной

поверхности?

6.Что такое «открытый профиль»? Контур сечения? Почему открытый профиль можно рассчитывать как брус с узким прямоугольным сечением?

7.Как доказать, что погонное касательное усилие при кручении стержня

замкнутого профиля одинаково для всех точек контура?

8. Доказать, что момент внутренних усилий при кручении равен каса­ тельному усилию, умноженному на удвоенную площадь, ограниченную кон­ туром.

9. Показать, как построить эпюру касательных усилий замкнутого про­ филя.

10.В каких местах замкнутого профиля с различной толщиной стенок возникает наибольшее касательное напряжение?

11.Какие напряжения появляются при кручении в продольных сечениях тонкостенного бруса? Их величина? Возникают ли нормальные напряжения при кручении тонкостенного профиля и где?

12.Для чего ставятся нервюры и шпангоуты?

13.Какой профиль, открытый или замкнутый, обладает большей грузо­ подъемностью и почему?

14.Перечислите основные допущения, которые принимаются в теории тонкостенных стержней.

15.Чему равна приведенная длина дуги контура? Приведенный периметр контура?

16.Какие замкнутые сечения, кроме круглых, остаются плоскими при деформации кручения?

208

17. Какие допущения положены в основу теории кручения многоконтур­ ного профиля? Чем достигается неизменность формы его сечения?

18. Как распределяются касательные усилия в многоконтурном профиле?

19.Из какого условия выводится формула угла закручивания много­ контурного профиля?

20.В каком порядке производится расчет на кручение многоконтурного профиля?

14 Основы строительной механики