резанная пластинка показана в увеличенном масштабе. Она на­ ходится в условиях чистого сдвига.

Как было установлено ранее (гл. V, § 1, фиг. 5. 1,в), в таком случае в наклонных площадках возникают нормальные напря­ жения, имеющие при наклоне в 45° к граням элемента наиболь­ шую величину, равную касательным напряжениям. Квадратные пластинки, вырезанные площадками, повернутыми на 45°, будут в одном направлении сжиматься, а в другом растягиваться нор­ мальными напряжениями σ = τ. Последние стремятся разорвать вал по наклонной линии (фиг. 6. 12,а). Это подтверждается тем, что валы, изготовленные из хрупких материалов, плохо работаю­ щих на растяжение, например, из чугуна, разрушаются от раз­ рыва по сечениям, наклоненным на 45° к оси (фиг. 6. 11,6).

Таким образом крутящий момент вызывает в поперечных и продольных сечениях касательные напряжения, а в наклонных сечениях — нормальные. Максимальные напряжения при круче-, нии возникают у поверхности вала, где они равны крутящему мо­ менту, деленному на момент сопротивления.

Задачи. 1. При испытании на разрыв чугуна было установле­ но, что его предел прочности ат=2200 кг/см2. Определить кру­ тящий момент, при котором следует ожидать разрушение при кручении круглого чугунного стержня диаметром d= 4 см. При решении принять, что распределение напряжений остается неиз­ менным до разрушения.

Ответ: М = 264 кгм.

2. Труба с наружным диаметром D = 8 см и толщиной стен­ ки t = 0,8 см выполнена из двух полукруглых половинок, соеди­ ненных между собой продольными сварными швами. Найти мак­ симальные напряжения в швах трубы от крутящего момента М — = 7000 кгсм.

Ответ: т„оа=202 кг/см2.

3. К валу диаметром d=10 см приложен крутящий момент Λί=1000 кгм. Определить напряжение в точках поперечного се­ чения, расположенных на расстоянии 1,5 см от поверхности вала.

Ответ: τρ =356 кг!см2.

§ 5. Вычисление сумм

Настоящий параграф содержит вспомогательный материал, необходимый для вычисления таких величин, как полярный мо­ мент инерции, который представляет собой сумму произведений длины в квадрате и элементарной площадки. В дальнейшем нам часто придется встречаться с суммами вида

а

2 ΧηΔ χ = Χ"ΔΧ + Χ^ΔΧ + Χ^ΔΧ-^- . . .

о

154

Числовые значения х всегда можно представить в виде рас­ стояний, измеренных на прямой X—X от какой-нибудь точки О, принятой за начало отсчета (фиг. 6. 13,а). В одну сторону от на­ чала О (например, вправо) они считаются положительными, а в другую — отрицательными.

Множитель Ах представляет собой очень малую разность между любыми двумя смежными значениями х ; например, весь­ ма малый отрезок прямой X—X, заключенный между двумя смежными точками Р и Q, для которых расстояние х соответ­ ственно равно хР и Х д , т . е. Ах=хд—хР. Если это равенство пере-

а

Фиг. 6.13. К вычислению сумм ]£χ”Δχ.

о

а —значения х и Ах на числовой прямой; <5—отрезок ОА в виде суммы частиц Лх.

писать в таком виде; хР + Ах=хд, т о Ах можно рассматривать как приращение х при переходе от точки Р к точке Q.

Разность а х остается величиной неопределенной; единствен­ ное требование, которому она должна удовлетворять, состоит в том, что она должна быть малой, чтобы по сравнению со значе­ нием X величиной Ах можно было пренебрегать; например, рас­ стояние до начала отрезка Ах считать равным расстоянию до его середины или до его конца.

Если любую величину умножить на разность Ах, то полу­ ченное произведение будет также малым; например, перпендику­ ляр QN=y, умноженный на Ах, дает площадку AF=y Ах, ма­ лую сравнительно с площадью F=yx.

Верхний индекс а и нижний 0 у знака суммы показывают, что величина х должна иметь все промежуточные значения, на­ чиная от х=0 до х=а, или, как говорят, сумма вычисляется в пределах от 0 до а. Если пределы суммирования очевидны, то иногда индексы опускаются.

Мы будем рассматривать суммы, в которых показатель степе­ ни п равен нулю или целому числу, т. е. «=0, 1, 2, 3... Вычисле­ ние сумм начнем с простейшего случая, когда п= 0.

155

а

2 Δχ. Если в написанное вначале развернутое выражение

о

суммы подставим /і= 0, то, замечая, что любое число в нулевой степени равно 1, получим сумму разностей между всеми смеж­ ными значениями х. Совершенно очевидно, что сумма всех раз­ ностей Δχ в пределах от 0 до а, т. е. сумма всех очень малых частиц, на которые можно разбить отрезок ОА (фиг. 6. 13,6), бу­ дет равна а, что записывается в следующем виде:

оо

Число членов суммы зависит от величины Δχ; чем меньше lx , тем больше членов содержит сумма. Нужно помнить, что Δχ является малым приращением переменной величины х, все зна­ чения которой заключены в пределах от 0 до а.

Статический момент весомого отрезка относительно точки О, как

Разобьем отрезок ОА на большое число частиц длиной Δχ и, следовательно, весом 1 Δχ. Каждая частица будет давать отно­ сительно точки О элементарный статический момент 5= χΐΔ χ. Вследствие малости приращения Δχ расстояние до его начала можно считать равным расстоянию до его середины.

Сумма всех элементарных статических моментов от 0 до а даст величину статического момента весомого отрезка ОА:

а

S = £ χδχ .

о

Приравнивая полученные выражения статического момен­ та, можно написать, что

Может быть и другой подход к вычислению этой суммы. На­ пример, построим на прямой ОХ прямоугольный треугольник ОАВ, основание и высота которого Численно равны а (фиг. 6. 14). Тогда все значения х от 0 до а являются катетами подобных тре­ угольников OCD. Приращение Δχ представим в виде малого от­ резка, середина которого совпадает с текущей точкой С.

156

Произведение хАх будет равно малой площадке AF, а их сумма в пределах от 0 до а — площади треугольника ОАВ:

аа

^х:Лл: = ^ д F = F, которая в свою очередь равна произведе-

оо

разом снова получаем формулу (11)

а

О

а

Известно, что статический момент треугольника равен его площади, умноженной на расстояние от центра тяжести до оси:

Следовательно, искомая сумма будет

о

С другой стороны, ее можно представить как объем пирами­ ды, имеющей высоту ОА —а и квадратное основание ABCD со сторонами а (фиг. 6. 15; для более ясного представления сле­ дует взглянуть на нее справа). Объем пирамиды равен ее осно­ ванию, умноженному на одну треть высоты:

Чтобы выразить его в виде суммы, разрежем пирамиду пло­ скостями, параллельными основанию, на большое число очень тонких квадратных пластинок с толщиной Ах. Каждая пластин-

157

ка, взятая на расстоянии х от вершины, будет иметь площадь EFGH, равную х2, и объем \Ѵ = х 2Ах. Суммируя пластинки на всей длине ОА, получим объем пирамиды в виде суммы

^ х * \ х = V

а3 3

υ

Σ·*3Δλ. Эта сумма вычисляется как статический момент

о

объема четырехгранной пирамиды OABCD (фиг. 6.15) отно­ сительно оси ΟΖ, перпендикулярной плоскости ДОЛ#. Он равен объему пирамиды, умно­ женному на расстояние его центра тяжести до оси. Объем

Приравнивая статический момент пирамиды его выражению в виде суммы, находим, что

(13)

Таким образом вычислены следующие суммы г

аа

00

аа

158

Выявляется определенная закономерность в образовании этих сумм. Она состоит в том, что степень величины а в ответе на единицу выше степени переменной величины х и знаменатель от­ вета всегда равен показателю степени при а.

Распространяя эту закономерность на любую степень п, мож­ но сказать, что сумма переменных величин х в степени п, умно­ женных на их приращения \х , взятая в пределах от 0 до а. равна верхнему пределу а в степени л+1, деленному на л+1. Общая формула для таких сумм имеет вид

Хп£ьХ-

2 л+1

каждая из |них будет &F=y \ х = — х 2\х . Суммируя площад-

можно вынести за знак суммы как общего множителя, найдем

15ft