§ 6. Центр изгиба замкнутого профиля

Чтобы балка не закручивалась, плоскость нагрузки должна проходить через центр изгиба. Необходимо поэтому уметь определять его положение. Как было указано выше, через центр изгиба проходит равнодействующая

внутренних касательных усилий q, возникающих в данном сечении при из­ гибе. Исходя из этого, для нахождения центра изгиба достаточно составить уравнение суммы моментов касательных усилий и поперечной силы отно­ сительно какой-нибудь точки сечения.

Касательные усилия q (фиг. 10.23), возникающие от поперечной силы, дают относительно произвольной точки О момент, равный сумме произведе-

ний сил q \s на их расстояния г до точки О, измеренные по перпендикуляру к направ­ лению сил:

Полученные здесь формулы (13) и (14) для замкнутого профиля соот­ ветствуют формулам (5) и (8) для открытого профиля. При положительном значении z к центр изгиба действительно находится слева от выбранной точки О, как было предположено вначале. Если ζκ получится с минусом, то это предположение неверно и расстояние от точки О до центра изгиба нуж­ но измерять в обратном направлении. Если точку О выбрать в центре из­ гиба, то момент касательных усилий М , относительно нее будет равен нулю.

Поясним на примере профиля, изображенного на фиг. 10.22, порядок нахождения центра изгиба. Касательные усилия замкнутого профиля состоят

из постоянного усилия qt=qA и переменного усилия q открытого профиля.

Постоянное усилие qi создает относительно любой точки сечения момент, равный произведению этого усилия на удвоенную площадь, ограниченную контуром, как это было показано в главе VII (фиг. 7.8). Усилия q открытого профиля в каждой плоской стенке дают касательные силы Т, равные пло­ щади эпюры q на данном участке (фиг. 10.9). Выберем для составления уравнения моментов, например, точку Е в предположении, что центр изгиба находится слева от нее. Пользуясь фиг. 10.22, составляем сумму моментов относительно точки Е:

— <7ішк+ 7 іа + Т.,а — QzK=^0.

338

и подставляем их в уравнение моментов, причем вычисленное ранее уси­

Отмечаем, что положение центра изгиба, как и в открытом профиле, не зависит от поперечной силы, потому что она в уравнении сокращается. Подставляя сюда момент инерции ./=567 см*, окончательно находим рас­ стояние между центром изгиба К. и точкой Е:

Только в том случае, когда плоскость действия нагрузки проходит через точку К, брус будет изгибаться без закручивания. Если же нагрузка при­

пример, если силу Q перенести на стенку BD (пунктир на фиг. 10.22,6), то она создаст относительно центра изгиба момент MK=Q{a—ζ κ ). При дей­

ствии такой нагрузки в дополнение к переменным усилиям q, возникающим от изгиба, в сечении появятся погонные касательные усилия qK постоянной величины, определяемые в зависимости от крутящего момента по формуле (6)

лучить окончательную эпюру касательных усилий, возникающих в сечении при одновременном действии изгиба и кручения.

Пример 1. Несущая часть крыла образована из двух лонжеронов, кото­ рые состоят из вертикальных стенок, угольников и соединяющей лонжероны

Фиг. 10.24. К расчету замкнутого профиля на изгиб.

а — размеры сечения; 6 — эпюра нормальных напряжений.

обшивки. Схематически эту часть сечения крыла можно рассматривать как прямоугольник с сосредоточенными площадями в углах. Определить поло­ жение центра изгиба и вычислить нормальные и касательные напряжения, если изгибающий момент М=5000 кем и поперечная сила Q=2500 кг дей­ ствуют в вертикальной плоскости, проходящей через центр изгиба. Размеры сечения и сосредоточенные площади указаны на фиг. 10.24.

Вычисляем момент инерции. Пренебрегая моментами инерции угольников относительно их собственных центральных осей, можно считать, что вся пло­ щадь сечения каждого угольника сосредоточена в одной точке. Если рас­ стояние между центрами тяжести сосредоточенных площадей F равно

28 см, то

псд

J = 2 (80-0,1 · 15*+5· 142+3- 14s) + (0 ,3+0,2) — =7651 см*.

в о

М500000

σ~ j .Ушах— ' 7651 • 15=980 KtjcMг.

Вычисление касательных напряжений начнем с построения эпюры q от­ крытого профиля, полученного путем продольного разреза, например, η углу А. Тогда в верхней обшивке на правом конце, отделенном разрезом от лонжерона, будет усилие <7д= 0 , а на левом конце

<7Β=0,1·80·15— =120 —

По длине обшивки усилие q меняется по наклонной прямой (фиг. 10. 25,а). В вертикальной стенке касательные усилия резко возрастают вследствие вклю-

Фиг. 10. 25. Эпюра погонных касательных усилий.

а — в открытом профиле; б — эпюра начального усилия <?і; в — окон нательная эпюра, q в замкнутом профиле.

чения сосредоточенной площади Fi (фиг. 10.24,а). В верхней части стенки левого лонжерона

< 7в= (120+ 5 .14)-у -= 190 -у .

По середине стенки

Q

9 σ= (1 9 0 + 0 ,3 ·1 4 ·7 )· =219·4τ·

В верхней части стенки правого лонжерона у продольного разреза каса­ тельное усилие не равно нулю, потому что на конце вертикальной стенки имеется сосредоточенная площадь Fs. Учитывая ее, имеем

% =3.14

По середине правого лонжерона

q r = (4 2 + 0 ,2 -1 4 -7 ) - j - = 6 1 , 4 y .

На участке между сосредоточенными площадями угольников усилие q в вертикальных стенках изменяется по квадратной параболе. В нижней части

340

вбразуют общий поток. В каждой стенке усилия q дают равнодействующие касательные силы Т, равные площади эпюры q на длине соответствующего участка:

зультате чего получаем окончательную эпюру касательных усилий q зам­ кнутого профиля (фиг. 10.25,в). Вычислим касательные напряжения в точ­ ке В обшивки и в точках С н F лонжеронов крыла:

_ qB 61,2 2500

*в== t = 0,1 7651 =200 кг/ся2;

Для определения положения центра изгиба составим уравнение моментов хотя бы относительно точки Е:

QZ K — Т\Ь — Т зЛ+ 9і<»к=0.

Подставляя сюда ωκ=2α6=2·30·80=48θ0 смг, значения сил Т и момент инерции J, находим

4800-30+5868-80-58,8- 4800 2к —------------------—г.------------------- =43,3 см.

§ 7. Изгиб многоконтурного профиля

многозамкнутый контур. Внешние нагрузки (для крыла самолета они состоят из веса его элементов, сил инерции и аэродинамических сил) в общем случае вызывают кручение и изгиб конструкции крыла одновременно. Расчет на кру­ чение был рассмотрен в главе VII, § 5. Теперь следует рассмотреть изгиб без

341

кручения, предполагая, что плоскость изгибающих сил проходит через центры изгиба сечений. При этом будем исходить из тех же предположений, которіл были приняты в главе VII при изучении кручения тонкостенных профилей.

Нормальные напряжения при изгибе многоконтурного профиля попреж-

М

нему определяются по формуле σ= ~ У>потому что и здесь принимается гипо­

теза плоских сечений. Переходя к касательным напряжениям или к погонным

касательным усилиям q, нужно учесть, что превратить многоконтурный про­ филь в открытый можно, сделав не один, а несколько продольных разрезов, именно столько, сколько замкнутых контуров составляет данный профиль. В каждом таком разрезе обнаруживается вполне определенное и пока нам неизвестное погонное касательное усилие, которое распространяется на стенки только одного контура и добавляется к касательным усилиям открытого про­ филя, полученного из заданного. Рассмотрим, например, трехконтурный про­ филь (фиг. <0.26);· его необходимо разрезать в трех местах, чтобы открыть

Фиг. 10.26. Начальные касательные усилия в трехконтурном профиле.

все контуры. Тогда обнаруживаются три начальных значения касательного

усилия: <7і, <72 и qa в трех точках поперечного сечения, от которых начинается вычисление усилий q открытого профиля. Усилия q на фиг. 10.26 не показаны.

В стенках, принадлежащих только одному, положим, первому контуру, окончательное погонное касательное усилие q при изгибе состоит из по­ стоянного усилия <7 і этого контура, возникающего в точке разреза, и пе­

щей первый и второй контуры (фиг. 10.26), возникают два постоянных усилия q\ и q2, которые складываются с переменным усилием. Окончат тельное усилие промежуточной стенки равно q= qi—qz+q. Положительное для второго контура усилие q2 действует на первый контур в направле­

нии, обратном положительному усилию qi, и для первого контура усилие qt является отрицательным. Аналогичная картина получается и в других стенках.

У р а в н е н и я з а м к н у т о с т и . Величины постоянных касательных усилий, так же как и в одноконтурном профиле, определяются при помощи

Σ (яі+ Я) ДѴ = qlsi + 2 qbs’.

342

Так как встенке, разделяющей первый и второй контуры, возникает еще и усилие Цъ которое направлено на общей стенке противоположно усилию у,, то к написанной сумме нужно приписать сумму произведений —'q^As1, взятую только в пределах общей стенки. Обозначая приведенную длину стенки, общей первому и второму контуру, через получим доба­

вочную сумму—qr2s;2 . Окончательно уравнение замкнутости первого кон­ тура принимает вид

9ι *ί - ^ 1 2 + 2 ^ = 0 - 1

Анйлогично составляются уравнения замкнутости для остальных кон­ туров. Со вторым контуром граничат первый и третий контуры и на него

ко второй и на их общей стенке возникают усилия и —q%. Ра. полагая в порядке постоянных усилий, уравнения замкнутости второго и третьего контуров залижем в следующем виде:

— 9Ц'і2 + 92¾ - 93*23+

- 9 2 % + 9 > 3 - Σ ЯAs’ = 0 .

В каждом уравнении в сумму

включаются участки периметра только одного контура, для которого на­ писано уравнение замкнутости. Чіобы получить эти суммы, нѵжно сначала построить от заданной поперечной силы общую эпюру q открытого про­ филя, полученного из заданного многоконтурного профиля путем продоль­ ных разрезов; затем вычислить площади эпюры д, приходящиеся на каж­ дый участок с постоянной толщиной стенки t, и разделить эти площади на соответствующие им толщины. Полученные значения суммируются отдельно для каждого замкнутою контура.

Решение уравнений замкнутости содержит величины начальных усилий <7i, qt и q%. Складывая их с эпюрой q открытого профиля, получим оконча­ тельную эпюру q многоконтурного профиля при изгибе его без кручения.

Ц е н т р и з г и б а . После того как окончательная эпюра q будет по­ строена, можно определить положение центра изгиба, исходя из условия, что

усилия q должны уравновешивать собой силу Q, проходящую через центр из­ гиба К (фиг. 10.26). Условие равновесия следует составить в виде уравнения

моментов усилий q и силы Q относительно произвольно выбранной точки О, как это было сделано для одноконтурного профиля:

^,qrAs — QzK —M — — QzK= 0.

Я

Здесь сумма произведений сил q A s на их расстояния г до точки О рас­ пространяется на все поперечное сечение по всем его контурам. Принимая

во внимание, что усилие q состоит из начальных усилий и из усилий q откры­ того профиля, уравнение равновесия, например, для трехконтурного профиля

можно записать в следующем развернутом виде:

9 і “ і + 9 2 ¾ + 9зшз + " qfAs — QZ£=0.

343

Вычисление момента Мя= V qr^s касательных усилий q открытого про­

филя относительно выбранной точки сечения было показано на примерах пре­ дыдущего параграфа для одноконтурного профиля. Совершенно аналогично вычисляется эта сумма и для многоконтурного профиля. Сопоставляя расчет многоконтурного профиля на изгиб с его расчетом на кручение (глава VII, §5), отмечаем, что в основном оба расчета производятся одинаково. Разница со­ стоит лишь в том, что при расчете на изгиб в уравнение замкнутости рас­ сматриваемого контура входит площадь его эпюры τ, равная сумме

2 τΔί=2 qks',

распространенной по периметру только данного контура, а при расчете на кручение вместо площади эпюры τ входит удвоенная площадь этого кон­ тура ω. Кроме того, в уравнение моментов относительно произвольной точки сечения вместо внешнего крутящего момента входят при расчете на -изгиб моменты от касательных усилий q открытого профиля и от силы, приложенной в центре изгиба. Если это уравнение моментов составить относительно центра изгиба, то момент от силы Q будет равен нулю. Покажем порядок вычисле­ ния погонных касательных усилий при изгибе и порядок определения центра

Фиг. 10.27. К расчету касательных усилий изгиба в двухкон­ турном профиле.

а —размеры заданного сечения; б—открытый профиль, полученный из заданного.

касательные усилия в стенках профиля от силы Q= 1000 кг, вызывающей толь­ ко изгиб, и найти положение центра изгиба.

Для заданного профиля уравнений замкнутости два. При изгибе они имеют вид

Яі$і — 7 2 % + ^ <7Д«'=0,

Чтобы вычислить суммы, входящие в уравнение замкнутости, превра­ тим двухконтурный профиль в открытый, сделав продольные разрезы в углах А и В обоих контуров, и построим эпюру q для полученного открытого профиля (фиг. 10.27,6). Ординаты этой эпюры в угловых точках равны (фиг. 10,28, а):

На вертикальных стенках эпюра q изменяется по квадратной параболе, добавленной к прямоугольной эпюре. По середине высоты стенок орди­ наты будут:

^ , = (15+ 0,15 .10 -5)-^ -= 22,5 -^ -: ^ = (4 0 + 0 ,2 - 1 0 - 5 ) - у = 5 0 - у ;

О О

7 д л '= 0 ,1 · Ю-5 -у -= 5 у .

344

t= l

ііііГТГПТТТГШ1™ ^^>

Фиг. 10.28. Эпюры касательных усилий.

“ — касательные усилия в открытом профиле; б—эпю­ ра начальных усилий ді и дг· в— окончательная

эпюра д.

Разделив каждую силу Г на толщину соответствующей стенки и сложив их отдельно для первого и второго контуров с учетом знаков усилий, по-

34 5

Вычисляем приведенные длины (фиг. 10.27, а):

*1 -2 0,05+ 0 ,1 5 ^ , 2 ^ 14331

. 20

^=ОТ2=100;

80 20 20

ίέ " 2 0,05+ 0,2+ θΓΐ=350°·

Подставляем вычисленные величины в уравнения замкнутости:

1433<7, — 100^2+7000 ~ = 0 ;

— 100^1+3500^2+6800 — - =0.

Решая эти уравнения, находим ^ = - 6 ,2 5 - и ςτ2= — 19,62 — .

Т й - 1 і = ( - 1 9 ,6 2 + 6 ,2 5 )-^ -= -1 3 ,3 7 -^ -.

Складываем эпюру начальных усилий с эпюрой q открытого профиля и по­

лучаем окончательную эпюру ^двухконтурного профиля (фиг. 10.28.«). Вычисляем момент инерции сечения относительно центра тяжести

20*

J = (0,15+0,2+0,1) — +2 (30+ 80) 0,05-10*= 1400 ся*.

Чтобы получить истинные значения касательных усилий от силы Q, нужно все ординаты эпюры q умножить на

Q 1000

=0,714 кг/см*.

J 1400

Для определения центра изгиба составим уравнение моментов, напри­ мер, относительно точки В по типу уравнения (15):

346