Поперечная сила и изгибающий момент

части произвольно выбранным сечением тт, перпендикулярным ее оси, и отбросим одну ее часть, например, левую (фиг. 8 . 1 1 ,6 ). Чтобы уравновесить правую часть, необходимо заменить дей­ ствие отброшенной части соответствующими усилиями, прило­ женными в сечении. Этими усилиями будут, во-первых, так на­ зываемая поперечная сила Q, равная сумме вертикальных проек­ ций всех сил, приложенных к левой части балки (в данном слу­ чае, когда силы вертикальны, сумма проекций сил превращается в сумму сил):

<2=РХ+РЯ= 1 + 2 = 3 т.

Во-вторых, так называемый изгибающий момент М, равный сумме моментов всех сил, приложенных к левой части балки и

Фиг. 8.11. Поперечная сила и изгибающий момент.

а — балка нагружена уравновешенной нагрузкой; б — схема равно­ весия правой части; в — равновесие левой части; г — действие левой и правой отброшенных частей на выделенный из балки короткий элемент.

взятых относительно центральной оси сечения, перпендикулярной плоскости нагрузки,

M =P1x1+Ptxs= 1 · 4+2 · 1=6 тм.

Величины Q и М заменяют собой действие левых сил на правую оставшуюся часть балки. Другими словами, поперечная сила в данном сечении является проекцией на нормаль к оси балки системы сил, заменяющих действие отброшенной части на остающуюся, а момент этой системы сил относительно цен­ тральной оси поперечного сечения является изгибающим момен­ том в данном сечении. При этом неважно, какая часть балки бу­ дет отброшена, левая или правая: усилия Q и М уравновешивают нагрузку, приложенную к той части, на которую они действуют. В самом деле, заменим в сечении mm действие левой части уси­ лиями Q и М (фиг. 8 . 11,6) и составим сумму проекций всех сил

217

правой части на вертикаль и сумму моментов относительно цен­ тральной оси поперечного сечения тт:

1)Q—P*+Рі = 3—7,5+4,5=0;

2)M + Paxs—Р4х4= 6 + 7,5 · 1—4,5 · 3= 0.

Условия равновесия правой части балки удовлетворяются. Из первого уравнения следует, что поперечная сила Q в данном сечении равна сумме проекций правых сил, взятых со знаком, обратным знаку левых сил, Q =P 3—Р4. Если при подсчете по­ перечной силы слева нагрузка, направленная вверх, входит со знаком плюс, то при подсчете справа такая нагрузка входит со знаком минус. То же можно сказать и об изгибающем моменте М.

из двух равных и противоположных сил, а изгибающий мо­ мент — из двух равных и противоположных моментов, действую­ щих одновременно на торцевые сечения по обе стороны от раз­ реза (фиг. 8 . 1 1 , 6 и в).

Это иллюстрируется также равновесием тонкого поперечного слоя (фиг. 8. 11,г), вырезанного из балки. Действие отброшен­ ных левой и правой частей заменяется в обоих торцевых сече­ ниях поперечными силами и изгибающими моментами, направ­ ленными навстречу друг другу.

П р а в и л о з н а к о в . Условимся считать положительной по­ перечную силу, если она действует на правую часть вверх, а на левую — вниз (фиг. 8 . 12). Поперечную силу противоположного направления будем считать отрицательной. Точно так же изги­ бающий момент условимся считать положительным, если он дей­ ствует на правую часть по часовой стрелке, а на левую — против часовой стрелки (фиг. 8. 12). При наличии поперечной силы одно поперечное сечение стремится сдвинуться по вертикали относи­ тельно другого. При положительной поперечной силе сечение слева стремится сдвинуться вверх, а сечение справа — вниз, и весь элемент, выделенный этими сечениями, как бы стремится повернуться по часовой стрелке (фиг. 8 . 11,г). Сдвигу соответ­ ствуют касательные напряжения т; они тем больше, чем больше поперечная сила Q. При действии изгибающего момента смеж-

218

ные сечения стремятся повернуться одно относительно другого. При положительном изгибающем моменте в верхних волокнах возникает сжатие, а в нижних — растяжение, и балка изгибается выпуклостью вниз (фиг. 8. 1 2 ). При этом в поперечных сечениях балки возникают нормальные напряжения а , величина которых зависит от величины изгибающего момента М.

Все внешние силы, перпендикулярные оси балки и лежащие с одной стороны от какого-нибудь сечения, всегда можно заме­ нить двумя величинами в данном сечении — поперечной силой Q и изгибающим моментом М. Нужно уметь их вычислять в любом сечении и от любой нагрузки. При вычислении исходят из уста­ новленного выше положения, что поперечная сила в данном се­ чении равна алгебраической сумме проекций на нормаль к оси балки всех сил, расположенных по одну сторону от сечения, а изгибающий момент в данном сечении равен алгебраической сумме моментов относительно центральной оси сечения всех сил, расположенных по одну сторону от него.

§ 4. Эпюры поперечных сил и изгибающих моментов

Перерезывающая сила Q и изгибающий момент М, а следо­ вательно, и напряжения т и σ изменяются при переходе от одно­ го сечения к другому, так как при этом может изменяться и ко­ личество сил, расположенных с одной стороны, и их расстояния до рассматриваемого сечения.

β тех случаях, для которых Q или М равны нулю, касатель­ ные или соответственно нормальные напряжения будут отсут­ ствовать. Наоборот, в сечениях, где Q или Л4 имеют наибольшую величину, соответствующие им напряжения будут также наи­ большими (подразумевается брус постоянного сечения). Таким образом определение опасных сечений сводится к определению сечений с максимальными значениями усилий Q и М. Чтобы найти опасные сечения, необходимо знать, как изменяются Q и М от сечения к сечению по длине балки. Для этого служат так называемые эпюры поперечных сил и изгибающих моментов.

Если в каждом сечении отложить перпендикулярно оси балки отрезки, изображающие в каком-нибудь произвольно выбранном масштабе величины поперечных сил или изгибающих моментов в этих сечениях, то получим график или эпюру Q или соответ­ ственно эпюру М, которые и показывают изменение этих величин по длине балки. Умение строить эпюры Q и М важно не только для определения опасных сечений и вычисления наибольших на­ пряжений. Это важно и для определения деформаций балки. Построение эпюр обычно производится отдельно на оси, прове­ денной параллельно оси балки. Положительные ординаты эпюр, т. е. отрезки, равные положительным величинам Q или М, откла­ дываются от этой оси вверх, в положительную сторону оси у, согласно принятому в балке направлению осей (фиг. 8.5). При

219