§6. Система уравнений перемещений

Вслучае многократно статически неопределимой балки или рамы приходится составлять систему 'уравнений перемещений Пусть, например, требуется рассчитать раму произвольного очер­ тания (фиг. 12. 16). Один конец рамы жестко заделан, другой—

Фиг. 12. 16. К составлению системы уравнений перемещений.

системы, вызываемые отдельно внешней нагрузкой и каждой из лиш­ них неизвестных; е и ж— перемещения от единичных сил.

шарнирно оперт. Такая система дважды статически неопреде лима. В самом деле, отбросив шарнирную опору, мы отбрасываем две связи, причем система превращается в статически определи мую — консоль.

Обозначим вертикальную и горизонтальную составляющие реакции шарнирной опоры В через Х1и Х2и примем их за лишние, неизвестные. Отбросив опору В, приложим внешние силы Хг и Л'-», равные неизвестным реакциям опоры В (фиг. 12. 16,6). Полу

412

мим систему, эквивалентную заданной, так как хотя опора и от­ брошена, но ее действие заменено силами Х\ и Х2. Поэтому систе­ ма, показанная на фиг. 12 . 16,6, деформируется так же, как и ілданная система (фиг. 12. 16,а). Точка В останется попрежнему неподвижной.

Рассмотрим отдельно действие нагрузки (Р„ Р2 и Р3) и лиш­ них неизвестных (Хг и Х2). Пусть под действием внешней на­ грузки (Р„ Р2 и Ps) система, лишенная опоры В (наша основная система), деформируется, как показано на фиг. 12. 16,в. Точ­ ка В при этом перемещается в положение В'. Обозначим состав­ ляющую перемещения точки В, соответствующую направлению силы Хг, через Д1Р,а составляющую, соответствующую направ­ лению Х2, через Д2Р. В этих обозначениях попрежнему первый индекс показывает направление перемещения. Цифра 1 указы­ вает, что данная составляющая перемещения совпадает по на­ правлению с силой Хг, т. е. в рассматриваемом случае верти­ кальна; цифра 2 означает перемещение, совпадающее по направ­ лению с силой X,, в рассматриваемом случае — горизонтальное. Ііторой индекс·— Р. как и ранее, выражает причину перемеще­ ний, т. е. внешнюю нагрузку — в данном случае совокупность Ри І>, и Р,.

Теперь рассмотрим действие сил Хг и Х2. Пусть под влиянием силы Хг наша основная система деформируется, как показано на фиг. 12. 16 ,2, а под влиянием только силы X, — как изображе­ но на фиг. 12. 16,6. Соответствующие перемещения точки В по­ казаны на рисунках в принятых обозначениях; так Д.,2 означает перемещение по направлению силы Xt (т. е. вертикальное) от си­ лы Х2; Дц означает перемещение в направлении силы Хг от са­ мой же силы Хг и т. п.

При совместном действии внешней нагрузки (Р„ Р2 и Р3) и лишних неизвестных Хг и X, перемещение точки В, как мы от­ метили выше, равно нулю как по направлению Хи так и по на­ правлению Х2, т. е.

Хр "ТДц~Ь ^12 = О И Дгр + Δ21 + Δ22

Обозначим через За , 321, о12 и δ22 перемещения от единич­ ных сил, соответствующих силам Хх и Х 2, как показано на фиг. 12.16, е и ж. Тогда будет

и уравнения перемещений (7) запишутся в таком виде:

Уравнения (8) называются каноническими уравнениями. Коэф­ фициенты уравнений δη, δ12, δ21 и δ22, а также свободные члены Дір и 2Р представляют собой, как мы видели, перемещения и могут быть вычислены по формуле (ІО) предыдущей главы при помощи правила Верещагина [см. там же формулу (15)].

413

мент в основной системе от силы Х ъ равной единице. Чтобы вычислить значение δη по Верещагину, нужно построить

^E J

новной системе от Х, = 1. Коэффициенты 8И и δ22 с одинако­ выми индексами называются главными. Они всегда положи­ тельны.

Коэффициенты с неодинаковыми индексами называются побочными. Они вычисляются путем „перемножения* двух различных эпюр и могут быть как положительными, так и отрицательными (и, следовательно, равными нулю) в зависи­ мости от знаков „перемножаемых" эпюр. Так, чтобы вычис­

енту 821, так как определяется „произведением* тех же эпюр. Таким образом делаем важное заключение: коэффициенты с одинаковыми, но переставленными индексами равны между собойК

Свободные члены ΔίΡ и Δ2ρ канонических уравнений выра­ жаются так:

ной внешней нагрузки. Чтобы вычислить, например, ιρ, нужно „перемножить* эпюры Жх и Мр.

Зная коэффициенты S,,, S12, S21) S22 и свободные члены Δ1Ρ и д2Р канонических уравнений (8), можем определить из них не­ известные Хг и X.·. Этим самым, как говорят, раскрывается ста­ тическая неопределимость. Теперь возможно при помощи урав­ нений статики найти реакции левой опоры и также определить изгибающий момент, поперечную силу и продольную силу в каж­ дом сечении рамы. При этом удобно воспользоваться результа­ тами, уже полученными в процессе решения. Так, пользуясь принципом сложения, как это мы делали и раньше, мы можем выразить полный изгибающий момент в сечении рамы как сумму изгибающих моментов отдельно от заданной нагрузки и от лиш­ них неизвестных А", и Х.г. Получим такую формулу [аналогичную формуле (6)]:

1 Это положение носит название теоремы взаимности перемещений.

414

Далее на примере показано построение эпюры изгибающих мо­ ментов для дважды статически неопределимой рамы.

В случае трижды статически неопределимой системы состав­ ляются таким же путем три канонических уравнения:

■Л’іОц + + е д , -f- Διρ = 0;

^1^31 + -^2^32 + ^3°33 + ДзΡ = 0.

В случае четырежды статически неопределимой системы состав­ ляются четыре уравнения и т. д.

§ 7. Примеры расчета многократно статически неопределимых систем

Пример 1. Построим эпюру изгибающих моментов для замк­ нутой рамы (фиг. 12. 17) постоянного сечения, имеющей вид рав­ ностороннего треугольника, как выше в примере 3 § 5. Но тогда

Фиг. 12. 17. Симметричная треугольная рама. Ирн симметричной нагрузке дважды статически неопределима; за лишние неизвестные принимаем распор и изгибающий момент в узле С.

узел С предполагался шарнирным, и для решения задачи при симметричной нагрузке достаточно было составить одно уравне­ ние перемещений. В данном случае в узле С, кроме распора, имеется изгибающий момент. Разрезая раму попрежнему по оси симметрии — в узле С (фиг. 12. 17,6), мы должны для получе-

4№

«ия состояния, эквивалентного действительному, приложить распор Хг и изгибающий момент Х2.

Поперечная сила в этом сечении вследствие симметрии равна нулю, и таким образом данная замкнутая рама (система, содер­ жащая три лишних связи — см. § 1) является в данном случае ■симметричной нагрузки только дважды статически неопредели­ мой '.

в систему канонических уравнений (8), получим такие два уравнения:

■416

Решая эту систему уравнений относительно X, и Х2, найдем

Эпюру моментов получим на основании формулы (9). Пред-

гарительно построим эпюры М1Х1 и М2Х2 (см. фиг. 12. 17,ей ж), пользуясь найденными значениями Хг и Х2. Необходимо учесть при этом, что Х2 имеет отрицательный знак. Затем сложим эти эпюры с эпюрой Мр. Чтобы выполнить это сложение графически наиболее просто, следует сперва отложить наиболее простую

эпюру, например, М2Х2, далее пристроить к ней (с учетом знаков)

эпюру М1Х1 (прямолинейную) и, наконец, добавить в последнюю очередь криволинейную эпюру М г. Полученная суммарная эпю­ ра М, которую и требовалось построить, показана на фиг. 12. 17,з.

Пример 2. Рассмотрим более сложный пример. Пусть требует­ ся построить эпюру изгибающих моментов для замкнутой квад-

г) хг-і

ι^τΐΤΤίΤΐΐ

Μ.

ратной рамы при несимметричной нагрузке (фиг. 12. 18,а). На­ грузка, действующая на раму в виде пяти сосредоточенных сил, уравновешивает себя сама. Поэтому опоры рамы не показаны или они вообще отсутствуют. Длина каждой стороны рамы рав­ на а=1 м. Момент инерции сечения нижнего горизонтального стержня рамы вдвое превышает моменты инерции сечений осталь­ ных стержней рамы.

Система трижды статически неопределима. Решение сокра­ щенно показано на фиг. 12. 18. Разрезая раму, например, так, как изображено на фиг. 12. 18,6, получим статически определи­ мую основную систему. Прилагая в разрезе неизвестные — про­ дольную силу Хи поперечную силу Х% и изгибающий момент Хи будем иметь систему, эквивалентную заданной. Неизвестные Х\, Хг и Хз определяются из системы канонических уравнений 10. па фиг. 12. 18,в, г, ди е изображены соответственно эпюры изгибаю­ щих моментов от единичных нагрузок X = l, Х2—\, Хз=1 и от заданной внешней нагрузки для основной системы, при помощи которых могут быть найдены по правилу Верещагина коэффи­ циенты и свободные члены канонических уравнений 10.

можем построить искомую эпюру изгибающих моментов, скла­ дывая, как всегда, эпюру Мр от заданной внешней нагрузки

= 1430 кг/смг пренебрежимо мало превышает допускаемое, проч­ ность обеспечена.

§8. Пространственное нагружение плоской рамы

Впредыдущих параграфах настоящей главы мы рассматри­ вали плоские рамы, нагруженные и, следовательно, деформирую­ щиеся только в своей плоскости. Обратимся к случаю, когда на­ правление действия нагрузки не лежит в плоскости оси рамы.

На фиг. 12.20 показана плоская рама, нагруженная силой R. Составляющие 5 и Г этой силы лежат в плоскости рамы, расчет рамы на такие силы, лежащие в плоскости рамы, и рассматривал­ ся выше. Третья составляющая силы R, обозначенная буквой Р,

418

перпендикулярна к плоскости рамы. В настоящем параграфе рассмотрим расчет плоской рамы на нагрузку, перпендикуляр­ ную к плоскости рамы. По отношению к этой плоскости такая нагрузка является обратно симметричной; следовательно, она не вызывает изгиба стержней рамы в плоскости рамы, а вызывает изгиб их только в направлении, перпендикулярном к плоскости рамы; кроме того, может вызывать­ ся закручивание стержней^амы. ·

Наличие крутящих моментов должно быть учтено при вычислении коэффициентов и свободных членов уравнений перемещений. Пренебре­ гая попрежнему влиянием попереч­ ных сил, вместо формулы (10) гла­ вы XI для вычисления перемещений в данном случае будем иметь такую формулу:

V ММА х ~ у Л*кАМ;с . .

жесткость стержня при кручении. Мк и Мк— соответственно крутя­ щие моменты, вызываемые приложенной нагрузкой и единичной силой.

Первое слагаемое в формуле (11) учитывает попрежнему из­ гибающие моменты, которые в данном случае направлены пер­ пендикулярно к плоскости рамы (соответственно произведение EJ есть жесткость стержня рамы при изгибе его в направлении, перпендикулярном к плоскости рамы).

Второе слагаемое формулы (11) может быть вычислено по правилу Верещагина так же, как и первое.

Порядок расчета рамы на пространственную нагрузку пояс­ ним на примере. Пусть дана горизонтальная рама постоянного круглого сечения, заделанная двумя концами (фиг. 12. 21,а) и нагруженная вертикальной силой Р в плоскости симметрии рамы. Требуется построить эпюры изгибающих и крутящих моментов

рамы. Отношение модулей -^-=0,4.

Разрежем раму по середине, как показано на фиг. 12.21,6. Получим статически определимую основную систему. Теперь приложим в разрезе моменты Хѵ заменяющие внутренние усилия в данном сечении, имевшиеся там до разрезания. Моменты Хг

Фиг. 12.21. Пример расчета плоской рамы на пространственную нагрузку.

эпюры изгибающих и крутящих моментов от единичной на­ грузки; ж и з — окончательные эпюры изгибающих и крутя­ щих моментов.

420

представляют собой изгибающий момент. Крутящий момент и поперечная сила в данном сечении вследствие симметрии отсут­ ствуют. Продольные силы при данной нагрузке, направленной перпендикулярно к плоскости рамы, отсутствуют в каждом се­ чении рамы.

Таким образом изгибающий момент X, в среднем сечении ра­ мы является единственной лишней неизвестной, т, е. данная ра­ ма при данной нагрузке и выбрадной основной системе однажды статически неопределима и требует, следовательно, для раскры­ тия ее статической неопределимости решения одного уравнения

Эпюры Mp, Mj. Μρκ и Λίικ показаны на фиг. 12.21,6—-еe. Эпю­ ры изгибающих моментов МРи Мг отложены, как всегда, на сто­

роне сжатых волокон. Эпюры крутящих моментов МРк и М1к рас­ положены произвольно, но на эпюрах проставлены знаки момен­ тов в соответствии с правилом знаков, принятым в главе VI.

лы (12), «перемножить» эпюру МР с эпюрой М, и эпюру МрХ с эпюрой Ми . Получим

Учитывая, что Jp = 2J (см. гл. IX, § 4), a G= Q,4E и, следова­ тельно, GJp = 0,8EJ, окончательно значения ιρ и 8U будем иметь в таком виде:

Из уравнения перемещений получим X t :

* д= - ^ = 0,389Ра. διι

421

Теперь можем построить искомые эпюры М и Λίκ. Эпюру изгибающих моментов М построим, как всегда, суммируя

эпюры Мр и М хХ х·.

Эпюра М показана на фиг. 12.14, ж.

Эпюру крутящих моментов Мк аналогично найдем, как сумму М рк и Ми Х 1:

Мк = МРк + М1кХ 1.

Эпюра Л4Кизображена на фиг. 12.21, з.

Поверка прочности бруса, испытывающего одновременно из­ гиб и кручение, рассматривается далее, в главе XIII, где даны примеры расчета коленчатого вала, стойки шасси и др. '

§ 9. Статически неопределимые фермы

Если количество стержней в ферме превышает необходимое, то ферма является статически неопределимой. Необходимое ко­ личество стержней в ферме нами было установлено в главе II, где мы получили формулы [см. формулы (1) и (2) в § 2], выра­ жающие количество необходимых стержней в зависимости от числа узлов для свободной ц прикрепленной плоской фермы.

Так, для прикрепленной фермы мы получили зависимость s= = 2 п, где s — количество стержней, а п — количество узлов. Для каждого узла плоской фермы можно составить, как мы знаем, два уравнения статики, следовательно, всего для прикреплен­ ной плоской фермы можно составить 2п уравнений равновесия, из которых определяются все s —2n усилий в стержнях фермы. Если же прикрепленная ферма содержит больше чем 2п стерж­ ней, то уравнений статики нехватает для определения усилий в стержнях — ферма является статически неопределимой.

Степень статической неопределимости равна количеству лиш­ них стержней. Так, прикрепленная ферма, содержащая 2га+1 стержней, однажды статически неопределима.

Свободная плоская ферма, содержащая 2п — 2 стержней, также однажды статически неопределима, так как необходимое количество стержней свободной фермы равно 2п—3.

Изложенный в настоящей главе метод расчета статически неопределимых балок и рам применим и к расчету статически неопределимых ферм, с той разницей, что коэффициенты и сво­ бодные члены уравнений перемещений должны вычисляться по формуле для ферм — см. формулу (21) в § 7 главы XI. В слуг чае если все стержни фермы сделаны из одного и того же ма­ териала, вычисление ведется по формуле (22).

Покажем пример расчета однажды статически неопредели­ мой фермы.

422

f

Пример. Требуется определить усилия в стержнях фермы, изображенной на фиг. 12. 22,а. Длины I стержней могут быть из­ мерены на чертеже, значения их приведены во второй колонке табл. 11. Площади F поперечных сечений стержней даны в третьей колонке таблицы. Материал всех стержней один и тот же.

Предложенная ферма однажды статически неопределима. В самом деле, количество необходимых стержней равно s=2n — = 2-4= 8 . Данная же ферма содержит девять стержней.

ѳ

Фиг. 12.22. Пример расчёта статически неопределимой фермы.

N р в стержнях основной системы от заданной нагрузки; в — усилия N

в стержнях основной системы от единичной силы (диаграмма усилий N дана на фиг. г).

В качестве лишней неизвестной Х1 примем усилие в какомлибо из стержней, например, в стержне AF. Разрежем этот стер­ жень, приложим в разрезе силы Хг и выразим условие отсутствия взаимного смещения сечений в разрезе, как всегда, в виде урав­ нения перемещений

423

Выше, в главе II (§ 7), в задаче было предложено определить усилия в стержнях такой фермы при той же нагрузке. Если эти усилия определить, например, путем построения диаграммы усилий, то получим значения усилий, приведенные в четвертой

вызываемые ими усилия в стержнях основной системы.) Начиная с правого конца фермы,, без затруднений построим диаграмму усилий для всей системы, она показана на фиг. 12. 22,г, где при­ веден и масштаб сил. Жирными линиями в диаграмме показаны

стержня и их суммы —см. шестую и седьмую колонки табл. 11.

Мы нашли усилие в стержне AF. Усилия во всех остальных стержнях заданной фермы могут быть найдены как суммы

усилий Np (фиг. 12.22,6) и усилий N (фиг. 12.22, в), умно­ женных на X t (так как усилия N определялись при 2^ = 1):

N = N P + N X 1.

Эта формула аналогична формуле (6) (§ 4), применявшей ся для вычисления изгибающего момента в статически неопре­ делимых балках и рамах.

В последних двух столбцах табл. 11 проведено вычисление окончательных усилий N в стержнях фермы.

424

Полученные значения усилий N выписаны на фиг. 12. 22,а. Задача. Решить эту же задачу, разрезая не стержень AF

а какой-нибудь другой, например, ВС.

Контрольные вопросы

1.Какие конструкции называются статически неопредели­ мыми?

2.Зависит ли степень статической неопределимости кон­ струкции от характера распределения нагрузки?

3.Перечислите особенности статически неопределимых си­

стем.

4.Что называется основной системой?

5.В чем смысл уравнения перемещений (какое условие де­ формации системы оно выражает)?

6.Как вычисляются коэффициенты и свободные члены уравнений перемещений?

7.Как понимается знак плюс (или минус) у значений неиз­ вестных, определяемых из уравнений перемещений?

8.Как строится окончательная эпюра изгибающих моментов балки или рамы после определения лишних неизвестных?

9.Изложите порядок расчета статически неопределимой фермьц

Глава XIII

СЛОЖНОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ

§1. Общие положения

Впредыдущих главах мы исследовали различные виды де­

щими в плоскостях, перпендикулярных к оси стержня, и 4) из­ гиб парами или силами, лежащими в главной плоскости стерж­ ня, т. е. в плоскости, проходящей через главные центральные оси инерции сечений стержня (у призматического стержня та­ ких плоскостей, как известно, д,ве). Перечисленные случаи де­ формации стержня будем называть простыми случаями дефор­ мации и соответствующие нагрузки — простыми нагрузками. Всякое совместное действие двух или нескольких простых на­ грузок будем называть случаем сложной деформации или, как говорят, сложного сопротивления стержня.

Сложное сопротивление часто имеет место в практике, чаще, чем простые случаи деформации. Так, стержни, из которых со­ ставлены фермы фюзеляжа или крыла, работающие на растя­ жение или сжатие, всегда в какой-то мере изгибаются вслед­ ствие жесткого их присоединения к узлам. Валы, работающие на кручение, также терпят изгиб, вызываемый неизбежными поперечными нагрузками — собственным весом, весом шкивов, силами натяжения ремней, силами инерции и т. п. Крыло и фю­ зеляж самолета работают на изгиб и кручение.

На фиг. 13. 1 ,а показана рукоять и часть оси ворота. Оче­ видно, рукоять ВС и вал работают на изгиб и кручение. Ко­ стыль, нагруженный внеосевой силой (фиг. 13. 1,6), будет ра­ ботать не только на сжатие, но и на изгиб. На фиг. 13. 1,в изо­ бражен коленчатый вал. Стрелками показаны силы, действую­ щие на вал в некоторый момент его работы. Как видим, шейка и щеки вала, а также сам вал одновременно изгибаются и скру­ чиваются и также работают на сдвиг. На фиг. 13. 1,г представ­ лена консольная часть крыла самолета. Крыло в полете пре­ терпевает одновременно изгиб в двух направлениях (от дей-

426

ствия лобового сопротивления воздуха и подъемной силы) и кручение, так как равнодействующая внешних сил, действующих на отсеченную часть крыла, как правило, не проходит через центр изгиба сечения. Таким образом два последних случая более слож­ ны, чем два предыдущие, ибо представляют собой совместное дей­ ствие не двух, а трех простых нагрузок.

Примеров сложного сопротивления можно было бы привести очень много. Расчет на сложное сопротивление основан на принципе независимости действия сил, называемом иначе прин­ ципом сложения или наложения и уже неоднократно применяв-

Фиг. 13.1. Примеры сложного сопротивления.

а — вал ворота работает одновременно на изгиб и кручение; б — стой­

лета воспринимает изгибающие нагрузки и крутящий момент.

шемся нами: если на некоторую упругую систему (балку, вал) действует несколько внешних нагрузок, сил или пар, и нас инте­ ресует эффект действия этих сил, выражающийся в деформа­ ции системы и сопровождающих ее напряжениях в материале, то полное перемещение какой-нибудь точки системы равно сум­ ме перемещений ее, вызываемых каждой из внешних сил или пар в отдельности, и полное напряжение в какой-нибудь точке системы равно сумме напряжений, вызываемых каждой из сил в отдельности. Суммарный эффект (перемещение или напряже­ ние), вызываемый данной группой сил, не зависит от порядка приложения этих сил к системе. Так, например, прикладывая одновременно несколько сил к балке, мы деформируем ее точно так же, как если бы мы приложили эти силы последовательно одна за другой в произвольном порядке. Отметим еще раз, что принцип сложения справедлив лишь в пределах малых упру­ гих деформаций.

427