§ 4. Деформация тонкостенного стержня

отношении достигнуты проф. В. 3. Власовым, проф. А. А. Уманским и их сотрудниками *.

Основы созданной ими теории излагаются ниже. Принятое в предыдущем параграфе предположение, что при деформации обеспечена неизменяемость формы контура и очертания сечений остаются одинаковыми, сохраняется и в дальнейшем. Как уже указывалось, последнее достигается постановкой поперечных диафрагм, нервюр или шпангоутов, которые не деформируются в своей плоскости и этим придают контуру неизменную форму. Однако эти диафрагмы не оказывают никакого сопротивления перемещениям из их плоскости, т. е. из плоскости поперечных сечений; деформация в продольном направлении происходит совершенно свободно. Поперечные сечения поворачи­ ваются друг относительно друга как диски, не меняющие формы своего кон­ тура: круг остается кругом, прямоугольник — прямоугольником, но в то же время депланация сечения может возникать без всяких препятствий. Рас­ сматриваются только призматические стержни. Продольные перемещения точек наружной поверхности стенки стержня отличаются от перемещений то­ чек сечения по ее средней линии на пренебрежимо малую величину. Депла­ нация сечения определяется как депланация контура (средней линии) сече­ ния, и по толщине стенки продольные смещения считаются одинаковыми. Крыло самолета или фюзеляж представляют собой конструкции, которые полностью соответствуют принятым условиям. Правда, эти конструкции не являются призматическими, но в первом приближении их можно разбить на участки и рассматривать каждый участок как призматический.

При закручивании стержней с замкнутым профилем в поперечных се­ чениях обязательно возникают касательные усилия q по средней линии стенки (фиг. 7.8). В стержнях с открытым профилем эти усилия отсутствуют (фиг. 7.5). Деформация тонкостенных стержней круглого замкнутого сече­ ния такая же, как и бруса сплошного круглого сечения (фиг. 6.3): сечения остаются плоскими и после закручивания. Несколько иначе происходит де­ формация тонкостенных стержней некруглого сечения. Если закручивать, по­ ложим, коробчатый стержень с прямоугольным контуром и с одинаковой тол­ щиной стенок t (фиг. 7. 13,а), то каждая его прямоугольная грань превра­ щается в параллелограмм (фиг. 7. 13,6). Поперечные сечения не остаются плоскими, а депланируют. В отличие от стержня сплошного прямоугольного сечения в тонкостенном коробчатом стержне изменение прямых углов между продольными и поперечными линиями происходит одинаково по всей ширине каждой грани (ср. фиг. 7.1).

Таким образом кручение тонкостенных стержней с любым очертанием контура сопровождается, во-первых, поворотом сечений, а во-вторых, депланацией сечений. Прямые углы между продольными и поперечными линиями изменяются на угол, равный относительному сдвигу γ. Он связан с касатель­ ными усилиями зависимостью [гл. V, формула (2)]

τq

ТG Gt '

Так как q= const, то для профилей с постоянной толщиной t угол сдвига тоже постоянный. Вследствие депланации сечений точки, расположенные на контуре, выходят из своей плоскости и наклон получают не только про­ дольные, но и поперечные линии (фиг. 7. 13,6). Это оказывает существенное влияние на величину угла сдвига, которое нельзя не учитывать при опреде­

194

речными линиями до деформации стержня (фиг. 7.14), и тот же элемент после деформации (А\ВхС0{). Вследствие наклона продольных линий в за­ висимости от угла закручивания получается угол

ААі

7і= Αχ

Вследствие наклона поперечных линий получается угол

DD, AW

As As

Точка D смещается в продольном направлении на величину DDi=AW,

Фиг. 7.14. Перемещения точек сечения при закручивании.

сдвига, находим зависимость между касательными усилиями, углом закру­

Эта зависимость дает широкие возможности для изучения деформаций тонкостенных профилей Прежде всего составим выражение для прира­ щения депланации, перенеся гЬ в правую часть и умножив полученную зависимость на As,

о As

A W = -~ ------ -H r As. G t

190

Величина Ms=4o> нам уже встречалась. Она является удвоенной пло­ щадью малого сектора (фиг. 7.8,б). Для сокращения записи приведем действительную длину As, измеренную по средней линии сечения с пере­ менной толщиной стенок, к длине As' другого, эквивалентного профиля с постоянной толщиной, равной 1. Иначе говоря, условимся длину, отне-

В стержнях с замкнутым профилем при некоторых соотношениях раз-

q

меров сечения, при которых -j^-As'=8A<i>, величина AW получается равной

нулю и депланация отсутствует. Например, известно, что сечение круглой трубы остается плоским при кручении. Но в стержнях с открытым про­ филем кручение всегда вызывает депланацию сечения.

Пример 1. Установить соотношение размеров прямоугольного замкнутого профиля со стенками различной толщины (фиг. 7.9,а), при котором сечение останется плоским (не депланирует) при кручении.

участков сечения любого очертания. В прямоугольнике это возможно,

При постоянной толщине стенок, например, квадратное сечение и во­ обще всякое сечение в виде правильного многоугольника не депланирует, потому что нормаль г, проведенная из центра на направление любой стороны, будет для всего контура иметь одну и ту же величину. Но если Н не является

разующей (фиг. 7.16,а), превратив его таким образом в открытый. Кручение разрезанного профиля вызовет продольное смещение соприкасающихся се­ чений PoQ« и PQ (фиг. 7. 1б,б). Наглядное представление об этой деформа­ ции легко получить на модели тонкостенного открытого профиля, выполнен­ ной из прямоугольного листа дуралюмина или даже просто из листа плотной

197

бумаги, свернутого в трубку. При закручивании такой модели края будут скользить друг по другу в продольном направлении, и точки плоского сече­ ния выйдут из своей плоскости (фиг. 7. 16,6). Разница между продольными перемещениями совпадающих точек Ро и Р представляет собой депланацию W открытого профиля, которая равна сумме приращений Δ117 всего контура,

кк

Угол θ имеет постоянное значение, является углом закручивания от­ крытого профиля и вычисляется по формуле (4). Он резко отличается по величине от угла закручивания замкнутого профиля. Величина

Σ Δω= ωκ

к

здесь представляет собой удвоенную площадь контура, потому что точки Р0 и* Р совпадают, и подвижный конец радиуса р должен обойти весь контур. '

а — стержень с замкнутым сечением разрезан по обра­ зующей; б — депланация открытого профиля; в — погонные касательные усилия q устраняют депланацию.

Приложим теперь по краям PoQo и PQ погонное касательное усилие q, направленное вдоль разреза в сторону, противоположную смещению краев. По закону парности оно вызовет в поперечных сечениях такое же по вели­ чине усилие q и, кроме того, оно уменьшит депланацию краев открытого профиля. Если подобрать q так, чтобы qu>K= M K, где М к— момент, вызываю­ щий депланацию Wp открытого профиля, то расхождение точек у разреза должно исчезнуть и открытый профиль вновь станет замкнутым (фиг. 7. 16,в). При этом угол закручивания стержня значительно уменьшится.

При деплаиации в замкнутом профиле одни точки контура получают смещение в положительном, другие в отрицательном направлении оси х, но между продольными смещениями смежных точек не должно быть разницы W.

198

Так как G и 9 являются постоянными величинами, вынесем их из-под знака суммы, умножим уравнение на G и перенесем его второй член впра­ во. Принимая во внимание, что J Δω=ωκ, окончательно находим

К

V<7AS'=G&COk. (9)

К

Эта зависимость называется уравнением замкнутости. В этом уравнении q может быть величиной изменяемой. Уравнение (9) показывает, что сумма касательных усилий, распределенных на приведенном периметре, подсчитан­ ная по длине контура, должна равняться удвоенной площади контура, умно­ женной на G9.

К

приведенных длин, которая называется приведенным периметром, контура

sΣ Δϊ' = "V —

/■

к

При кручении замкнутого профиля уравнение замкнутости получается

в виде

<7ό·'κ=Οθωκ.

Учитывая значение q по формуле (6), находим угол закручивания

характеризует жесткость сечения на кручение. Таким образом в замкну­

поперечных сечений обоих профилей.

Пример 2. Брус, изготовленный из стального листа толщиной /=1 мм, имеет сечение, изображенное на фиг. 7. 10,6. При закручивании его крайние точки Ло и А у продольной щели сместились вдоль оси бруса на 18 мм. Определить касательное усилие q, которое необходимо приложить по краям листа, чтобы уничтожить продольное расхождение крайних точек.

Мы не можем здесь воспользоваться условием замкнутости и подста­ вить в него заданную для соприкасающихся точек депланацию открытого профиля WA= — 0шк= 1 ,8 см, потому что соответствующий ей крутящий момент вызывает различные углы закручивания в замкнутом и открытом профилях. Поэтому, вычислив удвоенную площадь контура

199

Затем определим соответствующий ему крутящий момент по формуле (4)

Жесткость замкнутого профиля, как уже отмечалось, значительно пре­ восходит жесткость открытого.

Пример 3. Вычислить погонный угол закручивания крыла, сечение ко­ торого показано на фиг. 7.12, если крутящий момент Мк =60 000 кг/см и модуль сдвига 0 =280 000 кгісм2. Толщина стенок лонжеронов /ЛОн= 3 лея и толщина обшивки ί06= 1,5 мм. Носок и хвостик имеют вырезы и являются открытыми частями профиля, обладающими ничтожной жесткостью. Таким образом крутящий момент воспринимается главным образом средней, зам­ кнутой частью сечения крыла. Угольники, соединяющие лонжероны с об­ шивкой, не влияют на жесткость при кручении. Удвоенная площадь контура средней части крыла

200