Сумма, стоящая в числителе, в развернутом виде выра­ жается так:

(ffyXy + / 2/Т*2 + / з<Т*8+···)·

Постоянные величины t и γ, входящие во все слагаемые,, можно вынести за скобку. Тогда сумма принимает вид

t'[ (fiXi + / 2-^2 + / 3-½ + · · ·)

или

Значение хс не зависит от t и γ, а только от площади пласти­ ны. Но это справедливо только для пластины постоянной толщины

называется статическим моментом площади относительно оси у по аналогии со статическим моментом силы. Из формулы (9) имеем

т. е. статический момент площади равен произведению всей пло­ щади на расстояние центра тяжести ее от оси моментов (в дан­ ном случае от оси у). Отсюда, если ось проходит через центр тя­ жести, то статический момент равен нулю.

Статический момент площади будем обозначать через S с индексом X или у, показывающим ось моментов. В данном случае имеем 2/x=Sj,. Применив это обозначение, окончательно запи­ шем формулу для абсциссы центра тяжести хстак:

Здесь определена только абсцисса центра тяжести С. Этого обыч­ но бывает достаточно при решении практических задач. Если нужно определить также ординату ус (фиг. 1.8), то, рассуждая тем же путем, легко получить формулу

§ 6. Равновесие тел

Если равнодействующая всех приложенных к телу сил и мо­ мент их относительно любой оси равны нулю, то тело находится, как говорят, в состоянии статического равновесия, т. е. покоя или

25

равномерного прямолинейного движения. И, наоборот, если тело находится в состоянии равновесия, то равнодействующая и мо­ мент всех сил, действующих на тело, относительно любой оси, равны нулю.

Рассмотрим подробнее эти условия. Если равнодействую­ щая R равна нулю, то и каждая из трех ее проекций Rz, Ru и Rг равна нулю. Но проекция равнодействующей на всякую ось рав­ на сумме проекций составляющих. Следовательно, первое условие равновесия приводит к следующим трем уравнениям:

RX= 1 P X= О, Д ,= 2 Р ,= 0 , RZ= 1 P Z = 0.

Здесь ΣΡΧ, ΣΡν и Σ-Ρζ— суммы проекций всех сил, приложенных к телу, соответственно на оси х, у и г. При этом заметим, что оси X, μ и ζ не обязательно должны быть перпендикулярны друг другу и проходить через одну и ту же точку. Они лишь не должны быть параллельны друг другу. Написанные равенства носят на­

Здесь ΧΛίχ, XMj, и Х-М*— суммы моментов всех сил, приложен­ ных к телу, относительно трех осей — х, у и ζ.

Уравнения равновесия (10) и (11) имеют широчайшее при­ менение в строительной механике. Сформулируем их словесно:

если система сил, расположенных как угодно в пространстве, является уравновешенной, то суммы проекций всех этих сил на три оси, не параллельные друг другу, и суммы моментов их от­ носительно трех осей равны нулю. Проекции сил и моменты по­ нимаются алгебраически, т. е. с учетом их знаков.

Если все силы системы пересекаются в одной точке, то, взяв оси X, у и ζ проходящими через эту точку, получим, что плечи всех сил относительно осей х, у и ζ равны нулю, и, следователь­ но, моменты всех сил равны нулю независимо от величин сил (как говорят, тождественно), т. е. уравнения (11) отпадают. Для сил, пересекающихся в одной точке, возможно составить

жат в одной плоскости, то условия их равновесия выражаются следующими тремя уравнениями:

26

Первые два из них—'уравнения проекций. Одно уравнение проекций из общей системы уравнений (10) в данном случае отпадает, так как сумма проекций сил, лежащих в одной пло­ скости, на ось, перпендикулярную к этой плоскости, тожде­ ственно равна нулю.

Последнее уравнение из системы уравнений (12) есть урав­ нение моментов относительно любой оси, перпендикулярной к плоскости сил или, что то же, относительно любой точки, взятой в плоскости сил. Остальные два уравнения моментов из общей системы уравнений (11) в данном случае отпадают.

Сформулируем окончательно условия равновесия сил, лежа­

относительно произвольно взятой точки равны нулю і. Применение уравнений (10) и (11) иллюстрируется во мно­

гих главах книги и особенно в главе XV. Уравнения (12) исполь­ зуются в каждой главе. В следующем параграфе показано при­ менение уравнений равновесия для определения реакций опор.

§ 7. Реакции опор

Во многих технических задачах нагрузки, действующие на систему, лежат в одной плоскости, в которой расположена и сама система. В этих случаях опорные устройства рассматри­ ваются также с точки зрения обеспечения неподвижности си­ стемы в плоскости. Для ознакомления с опорными устройствами и определением опорных реакций в настоящем параграфе рас­ сматривается именно закрепление бруса в плоскости. Опорные устройства, обеспечивающие неподвижность системы в про­ странстве, будут рассмотрены в дальнейшем.

Для того чтобы прикрепить брус, нужны те или иные опоры. Различают три основные типа опор: 1) подвижная опора, 2) не­ подвижная опора и 3) защемление или заделка. На следующих

(в плоскости чертежа). Определим усилия в тягах. Точка прило­ жения нагрузки Р расположена на равных расстояниях от точек подвеса А я В. Поэтому на точки А и В передаются одинаковые

силы р : 500 кг. В точке В передаваемая сила уравновеши­

2

вается усилием одной тяги, следовательно, усилие этой тяги также равно 500 кг. В точке А сила 500 кг воспринимается двумя

i Каждое уравнение проекций может быть по желанию заменено урав­ нением моментов относительно некоторой новой точки.

27

тягами (фиг. 1.9,6). Чтобы определить усилия N этих тяг, используем условия равновесия. Так как сила 500 кг уравнове­ шивается двумя силами N, сумма проекций всех трех сил на любую ось должна быть равна нулю. Возьмем сумму проекций на ось у. 5)У=—500+2 · N cos 35°=О. Проекция силы 500 кг

Фиг. 1. 9. Реакции опор.

а—брус имеет неподвижную опору А, состоящую из двух стержней, и подвижную опору В, состоящую из одного стержня; реакции N опорных стержней уравновешивают приходящуюся на них нагрузку; в—случай, когда опорные стержни работают на сжатие; г—реакции опорных стер­

жней.

взята со знаком минус, так как направление ее противоположно принятому направлению оси у. Учитывая, что cos 35°=0,819 (по табл. 2 в § 3), находим

28

CD соединяет тело / и тело II друг с другом (фиг. 1. 10,а), при­ чем в точках С и D имеются идеальные цилиндрические шар­ ниры. Идеальным шарниром называется соединение двух или нескольких конструктивных элементов, допускающее взаимный поворот их относительно оси шарнира без трения. Изобразим стержень CD отдельно (фиг. 1. 10,6) и покажем силы, которые могут действовать на него со стороны тел I и II. Так как в шар­ нирах отсутствует трение, то моменты на наш стержень переда­ ваться не могут. Могут передаваться только силы, причем, оче­ видно, взаимно противоположные и равные друг другу (фиг. 1. 10,6 или 1. 10,в), так как ни при ка- 'Кой другой нагрузке (например, фиг. 1. 10,г) стержень в равнове­ сии не будет.

Равнодействующая системы сил, представляющих действие опоры на сооружение, называет­ ся реакцией опоры. Реакция опо­ ры В, образованной одним стержнем (фиг. 1.9), в соответ­ ствии с вышесказанным всегда направлена по оси этого стерж­ ня. Реакция опоры А, составлен­ ной из двух стержней, равна сум­ ме усилий этих стержней. Таким образом при определении реак­ ций опор в случае одностержне­ вой опоры будем иметь одну не­ известную величину, а в случае двухстержневой — две.

Опоры А и В, показанные на фиг. 1.9,в, изобразим отдельно от бруса (фиг. 1.11,а). Одно­ стержневая опора является по­ движной опорой: точка В, при­ крепленная одним стержнем, те­ ряет возможность перемещаться

в направлении стержня, но имеет возможность двигаться в на­ правлении, перпендикулярном оси стержня. Двухстержневая опора, наоборот, является неподвижной: точка А тела, прикреп­ ленная двумя стержнями, перемещаться не может ни вправо, ни влево, ни вверх, ни вниз.

Неподвижность точки можно обеспечить стержнями любого направления, необходимо лишь, чтобы угол между ними был отличен от нуля и 180°. На фиг. 1. 11,6 показана неподвижная опора, состоящая из горизонтального и вертикального стержней.

29

Неподвижная и подвижная опоры балки иногда могут быть представлены также в виде призмы и валика (фиг. 1. II,в). Приз­ ма при наличии в балке соответствующего надреза осуществляет неподвижную опору, т. е. будет препятствовать и вертикальному и горизонтальному смещениям балки. Валик может кататься и, следовательно, горизонтальному перемещению балки препят­ ствовать не будет. Его сопротивление (реакция) всегда перпен­ дикулярно к поверхности катания. Шарнирные опоры называют также цилиндрическими. Иногда подвижную опору изобра­ жают в виде призмы, положенной на два (или три) валика (фиг. 1. 11,г и д).

Действительные опоры не всегда совпадают с указанными идеальными схемами и приводятся к ним только приблизительно.'

Защемлением или заделкой

называют такое закрепление конца бруса, при котором заде­ ланный конец не может ни пере­ мещаться поступательно, ни по­ ворачиваться. На фиг. 1. 12,а по­ казана заделка бруса в пло­ скости чертежа тремя стержня­ ми, присоединенными шарнирно.

В самом деле, прикрепляя точку

Ддвумя стержнями, мы остав­ ляем свободу поворота бруса от­ носительно точки А. Прикрепляя

две силы и момент. Балку, заделанную одним концом, иногда

Определение опорных реакций производится обычно следую­ щим образом. Опоры отбрасываются и заменяются соответствую­

лием или, что то же, двумя усилиями по произвольно выбран­ ным, обычно взаимно перпендикулярным, направлениям; задел­ к а — двумя усилиями, как и шарнирная опора, и парой.

Величины усилий определяются из условий равновесия си­ стемы.

30

Отсюда

М0= Ρ ιθ ι+ Μχ+Р2а>—Р3а3= 3 · 1+ 8—4 · 3—1 · 4= —5 тм.

Момент заделки, называемый также опорным моментом консо-

.ли, равен алгебраической сумме моментов всех сил нагрузки от­ носительно опорного сечения. Силы Л и Я не вошли в уравнение, так как они проходят через точку Л и не дают момента.

Реакция Л получилась со знаком плюс, следовательно, она имеет именно то направление, которое мы предположили. Но •опорный момент получился отрицательным — его действительное направление противоположно выбранному.

Пример 2. Определить реакции опор балки, изображенной на фиг. 1. 13,в.

Освобождаемся от опор, заменяя их действие реактивными силами А, В и Н, направление которых выбираем произвольно (фиг. 1. 13,г). Расстояние каждой силы до левой опоры обозна­ чаем а, до правой — Ь с соответствующим индексом. Составляем уравнения равновесия. При определении составляющих реакций, перпендикулярных оси балки, обычно используют уравнения моментов, что позволяет находить реакции левой и правой опор независимо и таким образом уменьшает вероятность ошибки. В данном случае сперва составляем сумму моментов относитель­ но правого опорного шарнира В, принимая во внимание, что ре­ дакции В и Я не дают моментѣ относительно него;

ΣΜΒ= Л / - Р А - Р Л + Р3Йз= 0.

•Отсюда находим

Затем составляем сумму моментов относительно левого •опорного шарнира А:

%МЛ= Ρ 1α1+ Ρ 2α2—P3aa—Bl=0.

В это уравнение не вошли силы Л и Я, так как они проходят через точку Л и не дают момента относительно нее. Из уравне­ ния получаем

Обе реакции получились со знаком плюс, это означает, что направление их выбрано правильно. Если бы какая-нибудь из реакций получилась со знаком минус, то это указывало бы, что ее действительное направление обратно выбранному.

32