Площадь, ограниченная вогнутой параболой 2-й степени, равна одной трети основания а, умноженного на высоту Ь.

Подставляем его и площадь F в формулу для центра тяже •сти и находим:

На фиг. 6. 16 обведена площадь F' выпуклого параболическо­ го треугольника с такими же основанием а и высотой Ь\ она до­ полняет площадь F до прямоугольника, и поэтому площадь, огра­ ниченная выпуклой параболой 2-й степени, равна двум третям основания, умноженного на высоту:

F' = — ab.

3

Расстояние центра тяжести х'с найдем, исходя из того, что статический момент площади прямоугольника равен сумме ста­ тических моментов площадей F и F' относительно того же на­ чала:

a b - j = F x c+ F x c’.

Отсюда

§ 6. Полярный момент инерции

Теперь можно вывести формулу полярного момента инерции, приведенную нами в § 3 без доказательства. Полярным момен­ том инерции мы назвали сумму произведений элементарных пло­ щадок на квадраты их расстояний до центра [формула (2)]:

Jp= lP*bF.

Чтобы вычислить эту сумму, разобьем круглое сечение вала на большое число тонких концентрических колец с очень малой

160

шириной Лр, измеряемой в направлении радиуса, и выделим в пределах одного такого кольца двумя радиальными сечениями элементарную площадку F (фиг. 6. 17,а). Затем просуммируем произведения ρ2Δ F сначала в пределах одной кольцевой площад­ ки радиуса р, а потом сложим полученные величины для всех кольцевых площадок, на которые можно разделить сечение.

Все площадки, расположенные на кольце, находятся на одинаковом расстоянии от центра, следовательно, для них радиус р является постоянным множителем и его можно вы­ нести за знак суммы; при суммировании только по площади кольца можно написать, что Хр2д/7= р*у^Р = ргГк.

Фиг. 6.17. К вычислению полярного момента инерции:

а— сплошного круглого сечения; б— сечения полого вала; в — сечения тонкостенной трубы.

Вследствие незначительной ширины кольца его площадь, оче­ видно, можно вычислить как площадь узкой полоски, длина ко­ торой равна длине окружности с радиусом р, ширина равна при­ ращению радиуса ρ , т. е. / 7к = 2 т г р Л р.

Таким образом сумма в пределах одной кольцевой площадки получается в следующем виде:

Σρ2Δ/Γ=2πρ8Δρ.

Она равна полярному моменту инерции тонкого кольца.

Складывая эти величины для всего сечения, т. е. распростра­ няя сумму на все значения переменного радиуса от 0 до г и при­ меняя формулу (13), получаем

Это и есть полярный момент инерции площади круга

В технике чаще приходится иметь дело с диаметром, а не с радиусом, поэтому и полярный момент инерции желательно

выразить через диаметр d —2r. Подставляя ■— в последней

формуле вместо радиуса г, получаем формулу (4)

j _red4

Ρ=ΖΈ '

Чтобы вычислить полярный момент инерции сечения полого вала (фиг. 6. 17,6), нужно распространить сумму произведений P2kF только на те кольца, которые заключены между наружным R и внутренним г радиусами, т. е. из общей суммы в пределах от О до R нужно исключить часть слагаемых, которые содержат значения р в пределах от 0 до г. Другими слевами, полярный мо­ мент инерции полого вала равен

π (R* — л1)

- 1 > Ρ»Δρ

7 ; = 2о 2πρ3Δρ

Выражая его через диаметры D и d и вводя обозначение а = — , получаем ранее приведенную формулу (5)

Р32 Ѵ

Для тонкостенной трубы, у которой отношение среднего диаметра d к толщине стенки t (фиг. 6.17, в) больше пяти,"4 полярный момент инерции можно вычислять по приближенной

-— ^■5 погрешность вычисления Jp по приближенной формуле

не превосходит 5°/0 по сравнению с вычислением по точной формуле.

Задачи. 1. Вычислить полярный момент инерции и момент со­ противления полого вала с диаметрами D = 8 см и d= 6 см.

Ответ: J'p—225 см*; Ц7'р=68,7 см3.

2. Площадь сечения сплошного вала равна площади сечени полого вала, данного в предыдущей задаче. Определить / р и Wp.

Ответ: ]р—77 см*; Ψρ=2§ см3.

162

новившемся, равномерном вращении действие мотора уравнове­ шивается сопротивлением агрегатов и сумма всех моментов, при­ ложенных к валу, равна нулю:

М —М2+М3+М^=0.

Вспоминаем, что крутящий момент в любом поперечном се­ чении равен сумме моментов относительно оси бруса всех сил, лежащих по одну сторону от сечения. На разных участках вала он имеет различную величину. В сечении тт он уравновешивает слева только момент Ми и на этом участке МК=М1. На участке между шкивами 2 и 3 в любом сечении пп крутящий момент, уравновешивающий левую отсеченную часть (фиг. 6. 18,в), равен

М № = М1—М2.

Отбрасывая левую часть, из равновесия правой части уста­ навливаем, что его величина Л1<кпр>= Λ ί 3+ Λ ί 4. Крутящий момент

может быть представлен в виде двух равных и противоположно направленных моментов, представляющих соответственно дей­ ствие левой части вала на правую и правой на левую. Эти мо­ менты в сумме, после соединения левой и правой части, равны нулю:

ЛКлев) + Λί("Ρ> = Мх— Мг-f Мъ+ УИ4 = О,

т

что полностью соответствует условию равновесия вала.

Изменение крутящего момента по длине можно представить графически. Для этого под чертежом вала (фиг. 6. 19,а) прово-

дим ось, параллельную оси вала, и перпендикулярно к ней от­ кладываем отрезки (ординаты), изображающие величину крутя­ щего момента в соответствующих сечениях. Условимся крутящий момент, действующий на сечение против часовой стрелки, если

164

смотреть со стороны разреза, считать положительным и откла­ дывать его величину вверх от оси, а действующий по «часовой стрелке (как на фиг. 6. 18,в) считать отрицательным и отклады­ вать его величину вниз от оси. Построенная таким образом диа­ грамма называется эпюрой крутящих моментов.

Пусть к рассматриваемому валу приложены моменты: Мх= =40 кем; Λί2 = —90 кем; М3= + 3 0 кем и Λί4= + 2 0 кем.

На фиг. 6. 19,а силы Т, направленные перпендикулярно чер­ тежу, изображены кружочками; кружок с крестиком означает, что сила направлена от нас, а кружок с точкой указывает силу,

1

Фиг. 6.20. Эпюра крутящих моментов при расположении агрегатов с одной стороны от ведущего шкива.

нии mm сумма моментов левых сил равна Мх, который действует на сечение против часовой стрелки; поэтому здесь Αίκ=40 кем и отложен вверх (фиг. 6. 19,6). На втором участке, в сечении пп сумма моментов левых сил равна Мх—Λί2=40—90= —50 кем и действует на сечение по часовой стрелке, в сторону большего мо­ мента. На этом участке крутящий момент отрицателен и отложен вниз. В эпюре Мк под шкивом 2 получается скачок на величину момента М2, под шкивом 3 — на величину М3 и т. д.

Момент М2 распределяется между участками вала; одна его часть идет на преодоление сопротивления агрегата 1 и закручи­ вает левый участок, а другая — на преодоление сопротивления агрегатов 3 и 4 и действует на правый участок, но нет ни одного сечения вала, в котором крутящий момент был бы равен вели­ чине М„. Максимальные напряжения будут возникать на участке 2—3. Соответственно наибольшему крутящему моменту Л4К= - —50 кем и сечения этого участка являются наиболее опасны­ ми. Эпюра М* необходима в первую очередь для отыскания опас­ ных сечений.

Если расположить все агрегаты с одной стороны от ведущего шкива 2 (фиг. 6. 20), соединенного с мотором, то момент Λί2 будет

165

действовать весь целиком на участке до ближайшего агрегата, я напряжения в опасном сечении будут значительно превосходить напряженья предыдущего случая. Рациональным расположением крутящей нагрузки можно уменьшить напряжения и получить су­ щественную экономию в материале, не нарушая прочности кон­ струкции.

Крутящая нагрузка иногда передается на брус в виде момен­ тов, расположенных сплошь по длине. Такую нагрузку можно представить себе, если, например, на валу (фиг. 6. 20) вместо трех расположить много шкивов, вращающихся в одну сторону, насадив их вплотную друг к другу.

В качестве другого примера сплошного распределения мо­ ментов рассмотрим нагрузку на трубчатый лонжерон элерона

Фиг. 6.21. Образование сплошной крутящей на­ грузки (шарнирные закрепления лонжерона в точ ках А а В заменены реакциями).

(фиг. 6. 21). Давление воздуха распределено сплошь по всей пло­ щади ABCD элерона. Равнодействующую давления, приходяще­ гося на полоску abed, вытянутую по хорде и имеющую размер, равный единице по длине элерона, обозначим р — интенсивность давления на единицу длины элерона. Она имеет размерность кг/см. Все равнодействующие р других таких полосок распреде­ лены по некоторой линии вдоль элерона (фиг. 6.21). Через нер­ вюры они передаются на лонжерон АВ и, в частности, вызывают закручивание его. На единицу длины лонжерона приходится мо­ мент т=рг, который называется интенсивностью крутящей на­ грузки и им&ет размерность кгсм/см. Здесь через г обозначено плечо силы р- до оси лонжерона.

Построим эпюру крутящих моментов для бруса АВ, нагру­ женного сплошной крутящей нагрузкой, с постоянной интенсив­ ностью т (фиг. 6.22). В сечении на расстоянии х от свободного конца крутящий момент равен сумме моментов всех сил, распо­ ложенных слева от разреза; на единицу длины приходится мо­ мент т, а на всем участке х сумма моментов равна тх, следова­ тельно, Мю=тх.

166

Крутящий момент изменяется вдоль оси бруса пропорцио­ нально X, т. е. по наклонной прямой; в сечении А, при л:=0, по­ лучаем Л4кд=0, в сечении В, при х=1, крутящий момент наиболь­ ший Мкв=тІ (фиг. 6.22).

нее обычно предписывается расчетными техническими нормами в зависимости от материала, характера работы конструкции и других условий.

Зная наибольший крутящий момент и допускаемое напря­ жение, легко найти необходимый момент сопротивления

W . > - - к Р ^ Ггі

и по нему определить диаметр вала.

Например, подставляя сюда Wp по формуле (9), найдем тре­ буемый диаметр сплошного вала

или после извлечения кубического корня из —

Точно так же наружный диаметр полого вала должен быть

167

Пример Ί. Подобрать полый вал судовой паровой машины. Допускаемое напряжение [τ] =600 кгісм*, отношение — =0,8.

Внутренний диаметр будет

d = a.D= 0,8-10,9 = 8,72 см.

Если вал сделать сплошным, то его диаметр был бы

Этот диаметр меньше диаметра полого вала на небольшую вели­ чину, потому что при кручении материал вблизи центра сечения напряжен слабо и незначительно влияет на прочность.

Пример 2. Вал сплошного сечения выдерживает крутящий момент Afcn=500 кгм при [τ]=600 кг/см2. Определить крутящий момент, который можно приложить к полому валу, имеющему отношение а=0,6, чтобы напряжения и веса обоих валов были одинаковыми.

Сплошной вал имеет диаметр

Площади поперечных сечений сплошного и полого валов для равенства их весов должны быть равны:

Отсюда находим для полого вала сначала наружный диаметр:

а затем момент сопротивления:

По условию прочности к нему можно приложить крутящий мо­ мент МПол=и7'р[х]= 158 · 600=94 800 кгсм, почти в два раза боль­ ше Men.

168

Полый вал всегда экономичнее сплошного, потому что в нем материал расположен более рационально, а именно, в той части сечения, которая является более напряженной.

§8. Зависимость крутящего момента от числа оборотов

имощности

Часто приходится рассчитывать трансмиссионные валы, валы моторов и машин, для которых известна передаваемая ими мощ­ ность N в лошадиных силах и число оборотов в минуту п. В этих случаях диаметр вала определяется также на основании условия прочности (14), но крутящий момент должен быть выражен в зависимости от мощности и числа оборотов.

Установим эту зависимость. Для этого исполь­ зуем условие, что работа, совершаемая крутя­ щим моментом в единицу времени, должна равняться мощности, передаваемой на вал за счет действия этого момента.

Работа, производимая парой сил Р, рав­ на сумме работ, совершаемых каждой силой на пройденном ею пути (фиг. 6.23). При повороте на угол φ каждая сила пройдет

но, /1 = Αίφ, т. е. работа пары сил при повороте ее на угол φ рав­ на произведению момента пары на угол поворота в радианах.

мя, т. е. за одну секунду, работа, передаваемая на вал при мощности в N лошадиных сил, будет 75N кгм/сек — = 7500 кгсм/сек, так как одна лошадиная сила равна 75 кгм)сек.

Приравнивая работу крутящего момента работе, переда­ ваемой на вал,

М— = 7500УѴ,

к60

169

Крутящий момент здесь получается в килограммо-сантимет- рах, мощность N подставляется в лошадиных силах, а п — число оборотов в минуту.

Пример 1. Проверить прочность трансмиссионного вала диа­ метром //=6,5 см, передающего мощность JV=860 лошадиных сил при //=1800 оборотов в минуту, если допускаемое напряже­ ние [т] = 600 кг/см2.

Крутящий момент находим по формуле (15):

Мк= 71 620 — = 71 620 — => 34 200 кгсм.

п1800

Пример 2. Мотор работает на двух режимах: на одном режи­ ме его мощность /Ѵ,=90 л. с. при /1,= 120 об/мин, а на втором М = 800 л. с. и //,=2000 об/мин. Установить размеры полого ва­ ла, передающего мощность мотора, считая заданными: допускае­ мое напряжение [х]=400 кг/см2 и наружный диаметр /)=9,6 см.

N

Крутящий момент зависит от отношения — и будет больше

п

при работе мотора на малом режиме, который в нашем случае является более опасным для вала. Именно

Λίj = 71 620 — = 71 620 — = 53 700 кгсм.

1 120

Необходимый момент сопротивления по условию прочности должен быть

М400

Сдругой стороны, он равен WK==0,2D3(1—а4), откуда, зная наружный диаметр, найдем отношение

170