§ 5. Определение усилий в стержнях ферм методом вырезания узлов

Н у л е в ы е с т е р ж н и . Предварительно сделаем несколько замечаний о стержнях, в которых усилия равны нулю, ь ряде случаев эти стержни легко выявить сразу же, что может облег­

Фиг. 2.19. Случаи, когда усилия в стержнях заведомо равны нулю.

а —лвухстержневой узел не негет нагрузки — усилия в стержнях равны нулю; б - убеждаем­ ся в этом, составляя уравнения равновесия; в—частный случай: угол между стержнями равен 180°-усилия в стержнях могут быть не равны нулю; г - двухстержневой узел нагружен в направлении одного из стержней-другой стержень .нулевой*; й -д ва стержня трех­ стержневого узла образуют одну прямую. Уси­

лие в третьем стержне равно нулю.

вырежем узел (фиг. 2. 19,6) и составим уравнение проекций на ось X, перпендикулярную к направлению первого стержня. Сум­ ма проекций будет равна нулю только в том случае, если усилие N2 равно нулю. Точно также, взяв сумму проекций на ось, пер­ пендикулярную ко второму стержню, найдем, что Л^= 0. Приве­ денное положение нельзя применить к случаю, когда угол меж­ ду стержнями составляет 180° (фиг. 2. 19,в). В этом случае в стержнях могут быть одинаковые усилия Nt=N2, величину кото­ рых из условий равновесия узла найти нельзя. Напомним, что такое присоединение узла не обеспечивает его неподвижности.

Таким образом, если узел, образованный двумя не лежащими на одной прямой стержнями, не нагружен, то усилия в стерж­ нях, его образующих, равны нулю.

С л у ч а й о т д е л - ь но с т о я щ е г о с т е р ж н я . Если сила, действующая на узел, состоящий из двух стержней, направлена вдоль одного из этих стержней (фиг. 2. 19,а), то она восприни­ мается этим стержнем, а усилие в другом стержне равно нулю. Последний стержень называется отдельно стоящим.

Аналогично, если узел, в котором сходятся три стержня и два из них (2 и 3) расположены на одной прямой (фиг. 2. 19,5), не нагружен (или нагружен в направлении этой прямой), то уси­ лие в третьем, отдельно стоящем, стержне 1 равно нулю. Чтобы убедиться в этом, составим уравнение проекций на ось у, пер­ пендикулярную к направлению стержней 2 и 3. Сумма проекций на ось у не может равняться нулю, если усилие в стержне /_ не будет равно нулю. Следовательно, Л^= 0.

Определив неработающие стержни, переходят к определению усилий в остальных стержнях. Основным методом решения этой задачи является метод сечений. Отрезается та или иная часть фермы, действие остальной части системы на отсеченную заме­ няется силами, определяемыми из условий равновесия отсечен­ ной части. В зависимости от того, какая часть фермы отсекается, различают целый ряд способов расчета ферм.

Наиболее часто применяется способ вырезания узлов, заклю­ чающийся в том, что последовательно отрезаются узлы фермы, действие фермы на узел заменяется силами, величины которых определяются из уравнений равновесия узлов. Для большей простоты решения узлы нужно отсекать в определенной после­ довательности, а именно так, чтобы в каждом из них иметь не бо-

На нижеследующих примерах показан расчет ферм способом

= 1000 кг. Углы, образуемые направлениями стержней с осью х, параллельной нижнему поясу БЕ фермы, равны: а1=20°, а2 = 50°, а3=45°. Требуется определить усилия в стержнях фермы.

Выясним нулевые стержни. Узел Е содержит два стержня, не лежащие на одной прямой, и нагрузки не несет. Следователь­ но, усилия в обоих стержнях равны нулю. Стойки GD и СН в узлах G и С являются отдельно стоящими стержнями. Так как к этим узлам внешних сил не приложено, усилия в стойках равны нулю.

Обратимся к определению усилий в других стержнях. Рас­ смотрим узел F. На него действуют внешняя сила Р2 и уси­ лия стержней FD и FG. Усилие стержня FE равно нулю. Узел F показан отдельно на фиг. 2. 20,6—усилия Ыѵа и N Fn предположены, как всегда, положительными (растягивающими). Составим для вырезанного узла два уравнения проекций. Взяв сумму проекций на ось х, будем иметь

— NFGCOS <XJ — N FD cos α3 = 0.

52

Сумма проекций на ось у

sin α, — NFD sin α3—P2 —0.

Фиг. 2.20. Пример определения усилий в стержнях фермы способом вырезания узлов.

а —заданная система; б, в и д—схемы равновесия узлов F, D

=7 ^ - = 780 кг. Подставив полученное значение NFC в какое-

1>282

53

2 Y=NfiASina1 —УѴявsin аг — /Ѵядэіп a2 —N HO sin a1 — P1 = 0

или после подстановки числовых значений

— N HA · 0,940 — N HB · 0,643 = — 1357, N HA ·0 ,342 - N HB · 0,766 = 3010,

откуда N H B = — 2510 кг и N HA = 3160 кг.

Изложенный метод определения усилий удобен, когда при рассмотрении каждого вырезанного узла в нем имеется не более двух неизвестных усилий, так как для узла можно составить только два уравнения равновесия. Первым следует вырезать узел, содержащий не более двух стержней.

При решении простейшей фермы порядок вырезания ооратен порядку оордзоватшя. Так при расчете фермы, представленной на фиг. 2.5,6, следовало бы сперва вырезать Узел G (который при образовании фермы

содержащего только два стержня, с которого можно начать ре­ шение. Ферму, показанную на фиг. 2.21, также нерационально решать способом вырезания узлов; вырезав узлы А и D, мы бы­ стро определили бы усилия стержней АВ, АЕ, DC и DF, но в каждом из остальных узлов было бы не менее трех стержней с неизвестными усилиями.

54

Но иногда и сложные фермы просто решаются способом по­ следовательного вырезания узлов. На фиг. 2. 22,а изображена ферма, состоящая из двух простейших ферм ACD и BDE, соеди­ ненных друг с другом шарниром D и стержнем АВ. В узле F при­

Это усилие вызывает сжатие стержня DE и растяжение стержня DF. Далее переходим к узлу Е, из рассмотрения которого уста­ навливаем, что стержень BE сжат, а стержень EF растянут. На­ конец, взяв в узле В сумму проекций на горизонталь, находим, что стержень FB сжат, учитывая, что знак усилия NAB уже известен из предыдущего.

Второе уравнение для узла В — уравнение проекций на вертикаль и два уравнения рав­ новесия узла F — должны автоматически удовлетвориться, что и может быть исполь­ зовано для контроля решения.

Задачи. 1. Определить по приведенному плану усилия в стержнях рассмотренной фермы, взяв ^=1000 кг и отношение высоты

фермы к ее пролету равным-^- (фиг. 2. 22).

2. Определить усилия в стержнях фер­ мы, изображенной на фиг. 2. 23,а.

Указание. Предварительно следует най­ ти реакции опор. Ответ: Nt= —707 кг,

55