Чтобы получить момент сопротивления открытого профиля, нужно ве­

личину 7* разделить на наибольшую толщину, Wk= Jk_

^max

Таким образом в общем случае открытого профиля с различной тол­ щиной стенок формулы для наибольших напряжений и угла закручивания имеют вид

В частном случае, когда все стенки профиля имеют одинаковую тол­ щину /, из этих формул получаются формулы (3).

Пример 1. Определить напряжения и угол закручивания дуралюминового швеллера (фиг. 7.5) длиной /= 2 м от крутящего момента Мк—

=200 кг см.

Для заданного профиля

Л = " Т (2-3.0,43+5-0,33)=0,173 см*.

О

Наибольшие напряжения возникают в горизонтальных полках:

Абсолютный угол закручивания, принимая для дуралюмина G=280 000 кг/см*. равен

При сравнительно небольших напряжениях угол закручивания полу­ чается очень большой. Это показывает, чго жесткость на кручение откры­ того профиля чрезвычайно мала.

Задачи. 1. Определить допускаемый крутящий момент дуралюмино-

§3. Напряжения в замкнутом профиле

То н к о с т е н н а я т р у б а . Полый вал, у которого отношение внутрен­ него диаметра к наружному достаточно велико и приближается к единице, представляет собой трубу с тонкой стенкой. Ее можно получить из тонкого

плоского листа, если его свернуть и края соединить, положим, при помощи заклепок или сварки. Труба может быть и цельнотянутой. Сечение такой трубы представляет собой тонкостенный замкнутый профиль (фиг. 7.6).

187

Напряжения по толщине его стенки при кручении распределяются по тра­ пеции [формула (6) гл. VI], как в полом валу:

Разница между напряжениями у наружной и внутренней поверхности (фиг. 7.6) тем меньше, чем тоньше стенки профиля, и практически можно считать, что в тонкостенном замкнутом

-профиле касательные напряжения распре­ деляются равномерно по толщине стенок.

Их величина равна напряжению, возникаю­ щему в точках средней линии сечения стенки:

, _ 'н+тв _МК dc

2 Jp 2 ' где dc— диаметр средней линии.

При расчете тонкостенных профилей часто приходится пользоваться не величи­ ной напряжений, а равнодействующей ка­ сательных напряжений, приходящихся на единицу длины контура сечения. Такая рав­ нодействующая напряжений называется по­ гонным касательным усилием

Как было установлено в гл. VI, § 2, напряжения в точках окружности круглой трубы одинаковы, следовательно,, и погонное касательное усилие имеет

постоянное значение для всего контура трубы.

сечения произвольного очертания, причем такие, у которых все поперечные сечения одинаковы. Подобный стержень представляет собой цилиндр с про­ извольным основанием и с постоянной толщиной стенки вдоль его образую­ щей. В поперечном сечении толщина стенки может быть различной для

188

отдельных участков контура (фиг. 7.7). Будем предполагать, что форма контура все время остается неизменной и поперечные сечения поворачи­ ваются при кручении, как диски, жесткие в своей плоскости. В действитель­ ных конструкциях это обеспечивается введением в конструкцию диафрагм. Примером такой конструкции является крыло самолета или фюзеляж, у ко­ торых для придания неизменности формы их поперечных сечений служат соответственно нервюры и шпангоуты. При закручивании в таком стержне, как и в круглой трубе, возникают касательные напряжения, которые можно считать распределенными равномерно по толщине стопок. Касательные на­ пряжения на длине контура, равной единице, образуют погонное касательное усилие q, направленное по касательной к контуру сечения. Оказывается, что усилия q имеют постоянное значение во всех точках контура не только для круглого профиля, но и для всякого другого замкнутого тонкостенного про­ филя.

Для доказательства выделим из стержня двумя поперечными и двумя продольными сечениями (фиг. 7. 7, а) часть стенки MNPQ с ирбизвольной длиной s по контуру. От оставшейся части стержня на боковые грани выделенной стенки передаются силы взаимодействия в виде погонных касательных усилий q=xt (фиг. 7.7.6). Так как касательные напряжения от момента М к во всех поперечных сечениях одинаковые, т. е. в точках М и Р касательные усилия равны, то по закону парности для всех точек продольной грани РМ касательное усилие имеет постоянное значение

Ч'м= —Я м ~~ Яр и Дает равнодействующую силу Я'мх - На основании этих же соображений и в любой другой продольной грани QN усилие q‘N ——q#

имеет постоянное значение и дает равнодействующую q'Nx, направлен­

ную противоположно силе Я'мх - Составляя условие равновесия элемента

MNPQ в виде проекции всех его сил на ось х, параллельной образующей получаем

Ч 'м х - ? > = 0·

Отсюда находим, что ям =Яц, а принимая во внимание закон парно­

внешних и внутренних сил. Составим это условие. Так как в поперечном сечении на единицу длины s контура действует усилие q, то на малый эле­ мент длиной Δ»· будет действовать малая сила q \s (фиг. 7. 8, а). Она создает относительно произвольной оси Ох момент &M =q\sr. Здесь г — плечо силы — является перпендикуляром, опущенным из полюса О (точки пере­ сечения оси с плоскостью сечения) на направление касательной к конту­ ру, так как именно по этому направлению действует малая сила qSs.

Сумму моментов всех этих сил нужно распространить на все попереч­ ное сечение по замкнутому контуру. Она дает величину момента внутрен­

189

Принимая во внимание, что усилие q является постоянной вели­ чиной, оно вынесено за знак суммы как общий множитель.

Оставшееся под знаком суммы произведение rAs=A<a равно удвоен­ ной площади малого треугольника с основанием As и высотой г (фиг. 7. 8, б). Такие треугольники являются секторами, которые образуются подвижным переменным радиусом р, когда один его конец перемещается по контуру, а второй все время совпадает с выбранным центром О. Сумма произве­ дений rAs, равная сумме удвоенных площадей малых треугольников, пред­ ставляет собой удвоенную площадь, ометаемую подвижным радиусом. При

7 Δε

Фиг. 7.8. Напряжения в замкнутом профиле.

а — отсеченная часть стержня; б — площадь контура, ометаемая подвижным радиусом р.

обходе всего контура она равна удвоенной площади ωκ, ограниченной средней линией сечения (фиг. 7.8,6), ·

Σ ιΆε*=Σ Аа>=а>к.

кк

Таким образом внутренние касательные'усилия в замкнутом контуре создают момент

Σ AM — q<aK.

К

С противоположной стороны действует внешний момент, равный кру­ тящему моменту Λίκ и вращающий этот же профиль по часовой стрелке. Условие равновесия сил, приложенных к отсеченной части тонкостенного цилиндра, получает вид

Σ AM — Λίκ=<?ωκ — Мк= 0.

К

Отсюда окончательно находим

М,

(6)

ω

Погонное касательное усилие равно крутящему моменту, деленному на удвоенную площадь, ограниченную контуром. Условимся считать положи­ тельным касательное усилие, если оно действует в направлении обхода сечения против часовой стрелки. Его величины, отложенные в виде ординат перпендикулярно касательной к контуру, определяют эпюру погонных ка­ сательных усилий q. Положительные ординаты этой эпюры будем отклады­ вать снаружи контура. Тогда стрелки, изображающие величину q в пло­ скости сечения, повернутые на 90° по часовой стрелке, будут совпадать с ор­ динатами эпюры.

Для примера возьмем тонкостенный брус с замкнутым прямоугольным сечением (фиг. 7.9,а). При действии крутящего момента Мк в сечениях

190

Касательные напряжения при кручении замкнутого профиля с произ­ вольным контуром равны

τ==~Γ=^i о)|^ Г? (7)

По этим же формулам следует определять касательные усилия и на­ пряжения в сечениях тонкостенной круглой трубы, которая является част­ ным случаем замкнутого профиля. В сечениях вдоль образующей тонкостен­ ного цилиндра, нормальных к его контуру, также возникают касательные·

<7

напряжения х= -~- (фиг. 7.7); на основании закона парности они равны

напряжениям в поперечном сечении, вычисляемым по формуле (7).

Фиг. 7.9. Распределение усилий в замкнутом профиле.

а — тонкостенный стержень с прямоугольным контуром; б — эпюра по­ гонных касательных усилий; в — пластинка, выделенная из тонкостен­ ного бруса, находится в условиях чистого сдвига.

Всякий прямоугольный элемент ABCD, вырезанный из тонкостенного бруса продольными и поперечными сечениями, представляет собой пластин­ ку, нагруженную по граням только касательными усилиями q (фиг. 7.9,в). Она находится в условиях чистого сдвига (гл. V, § 1). В этом случае в пло­ щадках, наклоненных на 45° к продольному или поперечному сечению, воз­

Фиг. 7. 10. Сопротивление кручению зам­ кнутого и открытого профилей.

а — замкнутый профиль выдерживает большую крутящую нагрузку; б — открытый профиль нѳ может работать на кручение.

Сжимающие напряжения при некотором значении нагрузки вызывают волнообразование обшивки. Вычисление нагрузки, при которой волнообра­ зование может произойти, а также случаи, когда оно допустимо и когда не допустимо, рассматриваются ниже в гл. X, § 8.

Необходимо отметить, что тонкостенный замкнутый профиль с неизмен­ ной формой сечения сопротивляется закручиванию значительно сильнее, чем

191

-открытый с тем же очертанием контура. При одинаковых допускаемых на­

-st

грузоподъемности превосходит открытый с той же площадью поперечного сечения во столько раз, во сколько удвоенная площадь, ограниченная

то напряжения в ней пришлось бы вычислять как в открытом профиле по формуле (3). Для сравнения определим эти напряжения. Длина периметра

держит. В этом случае обшивка получает значительные деформации и выходит из работы. Для передачи крутящей нагрузки необходимо преду­ смотреть другие элементы конструкции.

192