Глава XI

ДЕФОРМАЦИЯ ПРИ ИЗГИБЕ

В настоящей главе рассматривается плоская деформация из­ гиба балки или рамы. Это означает, во-первых, что ось балки или рамы целиком находится в одной плоскости, причем с этой плоскостью всегда совпадает одна из главных осей инерции каж­ дого из поперечных сечений и в этой же плоскости лежат цент­ ры изгиба всех сечений. Во-вторых, нагрузки также действуют только в этой плоскости. Другие, более сложные случаи балок и нагрузок рассматриваются в главе XIII. В конце главы рас­ сматривается деформация фермы.

§ 1. Примеры деформации балок и рам

Всякая балка при нагружении изменяет свою форму, как го­ ворят, деформируется. Если деформация исчезает после снятия нагрузки, то она называется упругой деформацией. Если не вся деформация исчезает после снятия нагрузки, то остающаяся де­ формация называется остаточной или пластической деформацией. Деформация балки при изгибе выражается в искривлении ее оси. Так, мы знаем, что первоначально прямая балка, опертая по концам, прогибается под действием нагрузки выпуклостью в ту сторону, куда направлена нагрузка. На фиг. 11. 1,а сплошной ли­ нией показана первоначальная ось балки, а пунктиром — ось де­ формировавшейся балки. Эта кривая ось деформированной балки называется упругой линией балки (если деформация упруга). Деформация балки, показанная на фиг. 11. 1 ,а, изображена в уве­ личенном масштабе. Действительная деформация балок настоль­ ко невелика, как это видно и из примеров, приведенных далее, что на чертеже малого масштаба в подавляющем большинстве случаев изображена быть не может.

В случае нагрузки, симметричной относительно среднего се­ чения балки (фиг. 11. 1,6 и 11. 1,в), упругая линия балки также симметрична относительно этого сечения и наибольший прогиб

354

(фиг. 11. 1,α и 11.1,г ) — прогиб по середине балки не будет наибольшим, но, как показывают расчеты, он мало отличается от наибольшего прогиба и может быть принят равным последне­ му; это замечание относится к нагрузкам, действующим в одну сторону, и несправедливо для нагрузок, действующих в различ­ ные стороны (фиг. 11. 1,(9). В случае так называемой обратно симметричной нагрузки (фиг. 11. 1,е и 11. 1,ж) упругая линия балки также обратно симметрична: прогиб по середине балки равен нулю, а обе ветви упругой линии — правая и левая — одинаковы, но взаимно противоположно направлены.

Фиг. 11.1. Деформация балки при изгибе.

нагружена двумя равными парами; участок АВ не изгибается, так как здесь изгибающий момент равен нулю (фиг. м).

Консоль (фиг. 11.1,3) под нагрузкой, направленной в одну сторону, изгибается выпуклостью, направленной в сторону, про­ тивоположную направлению нагрузки. При этом первоначаль­ ная ось балки (прямая) есть касательная к упругой линии в точке защемления, если защемление полное и не позволяет по­ ворачиваться опорному сечению. Балка с консолью (фиг. 11. 1,«), нагруженная силой на конце консоли, изгибается выпуклостью в сторону, противоположную направлению нагрузки. Балка, за­ деланная обоими концами (фиг. 11.1,к), изгибается в средней части выпуклостью вниз, а вблизи заделок — выпуклостью кверху.

О п р е д е л е н и е х а р а к т е р а у п р у г о й л и н и и по ■ні ю р е и з г и б а ю щ и х м о м е н т о в . Не всегда возможно сразу установить характер упругой линии. В таких случаях сле-

дует воспользоваться эпюрой изгибающих моментов. Эпюра из­ гибающих моментов, если она построена с соблюдением приня­ тых нами правил знаков и откладывания эпюр, всегда распола­ гается со стороны сжатых волокон, следовательно, с вогнутой стороны балки (выпуклая сторона при изгибе соответствует рас­ тянутым волокнам). Таким образом по эпюре моментов можно видеть, какой участок балки изгибается и в какую сторону. Так, например, консоль, нагруженная, как изображено на фиг. 11. 1 ,л, двумя сосредоточенными равными парами, на участке АВ не из­

щение и вращательное. Поясним это на примере (фиг. 11.2). Возьмем произвольное поперечное сече­ ние тт. После нагружения балки поперечной нагрузкой (фиг. 11.2,6), вызывающей ее изгиб, сечение тт переместится поступательно вниз и повернется. Эти перемещения, как указано выше, обычно очень малы.

Поступательное перемещение называется прогибом балки в данной точке (подразумевается точка на оси балки, совпадаю­ щая с центром тяжести данного сечения). Угол, на который от­ клоняется плоскость сечения от первоначального ее положения, называется углом поворота данного сечения. На фиг. 11. 2,в по­ казана только ось балки. Пусть до нагружения балки ось ее прямая (пунктир). Ось балки после нагружения, т. е. ее упру­ гая линия, изображена сплошной линией. Там же показаны про­ гиб— у и угол поворота— 6 для некоторого произвольно вы­ бранного сечения т. Угол поворота сечения равен углу между касательной к упругой линии в данном месте и первоначальной осью стержня, так как эти углы имеют взаимно перпендикуляр­ ные стороны. Очевидно, в сечениях над опорами прогиб равен

356

нулю. При симметричной нагрузке (фиг. 11. 1,6, 11. 1,в и 11. 1,к) угол поворота по середине балки также равен нулю. У защемле­ ния (фиг. 11. 1,з и 11.1,/с) и прогиб и угол поворота равны нулю.

Если бы мы имели способ определения перемещений проги­ ба у и угла поворота Ѳ для любого сечения балки, то мы могли бы постепенно определить деформацию всей балки полностью. Способов определения перемещений существует несколько. Один

грузки. Чем больше нагрузка, тем больше и деформация. В пре­ делах упругости деформация пропорциональна нагрузке. Вместе с тем очевидно, что деформация зависит и от материала и от размеров балки. Чем больше модуль упругости Е материала балки и чем больше момент инерции / ее поперечного сечения, тем меньше деформируется балка при данной нагрузке. Произ­ ведение EJ называется жесткостью балки. Как мы увидим да­

Фиг. 11.3. Деформация рамы при изгибе.

деформации плоских рам в простейших случаях. На фиг. 11.3,а изображен ломаный брус, один конец которого защемлен, а дру;ой свободен и нагружен сосредоточенной силой. Деформа­ ция бруса показана пунктиром. Сечение А у защемления не по­ лучает перемещений. Узел В получает линейное перемещение в

357

горизонтальном направлении и поворачивается. Перемещение точки В в вертикальном направлении очень мало сравнительно с горизонтальным и его можно считать равным нулю. Конец С бруса получает линейные перемещения в горизонтальном и в вертикальном направлениях и поворачивается. Таким образом здесь мы встречаемся уже с тремя составляющими перемещения сечения: двумя составляющими поступательного перемещения (вертикальной и горизонтальной) и вращательным перемеще­ нием. В балках горизонтальные перемещения обычно пренебре­ жимо малы.

На фиг. 11.3,6 показана та же рама, но закрепленная ина­ че. Один конец ее А закреплен шарнирно неподвижно, другой— на подвижной опоре. При горизонтальной нагрузке слева, как показано, все точки оси рамы, кроме точки А, получат горизон­ тальные смещения вправо. Сечение А поступательного переме­ щения не имеет, но поворачивается. Все сечения элемента ВС рамы получают, кроме горизонтальных, также вертикальные пе­ ремещения, за исключением крайних сечений В и С, которые вертикальных перемещений не имеют. Кроме того, все сечения рамы будут поворачиваться, за исключением одного сечения на участке ВС, соответствующего месту наибольшего вертикально­ го перемещения.

На фиг. 11.3,в, 11.3,г и 11.3,6 показана П-образная рама, загруженная сосредоточенной силой по середине при различ­ ном устройстве опор. На фгц\ 11.3,а одна опора подвижная, а другая неподвижная. Вследствие изгиба горизонтального эле­ мента ВС рамы узлы В и С поворачиваются и расстояние между точками А и D увеличивается. В случае неподвижных опор (фиг. 11.3,г) такое расхождение стоек рамы невозможно. Го­ ризонтальные реакции опор А и D, стесняющих эту деформа­ цию, изгибают при этом стойки рамы. Упругая линия горизон­ тального участка ВС имеет по середине выпуклость книзу, а вблизи узлов — кверху (деформация на рисунке сильно увели­ чена). В случае защемления концов (фиг. 11.3,6) упругая ли­ ния стойки на нижнем участке (вблизи защемления) обращена своей выпуклостью внутрь рамы, а на верхнем участке — нару­ жу (точка на упругой линии, разделяющая эти участки, назы­ вается точкой перегиба).

На фиг. 11.3,е изображена замкнутая рама. При данной сим­ метричной нагрузке все узлы рамы поворачиваются одинаково. Деформация рамы показана пунктиром. Упругие линии стоек со­ держат по две точки перегиба.

§ 2. Определение перемещений

П о т е н ц и а л ь н а я э н е р г и я д е ф о р м а ц и и изги- б а. Сила, деформирующая балку, раму или другую конструк­ цию, производит при этом работу. Пусть на балку (фиг. 11.4)

358

действует сила Pt. Соответствующий прогиб равен у\. Выше, в главе III, определялась работа внешней силы на соответствую­ щем упругом перемещении. Она равняется половине произве­ дения силы на перемещение. Следовательно, в нашем случае

работа, произведенная силой Ри равна ^ Ргуі- В этом помогают

убедиться также следующие примитивные соображения. Работа силы вычисляется в механике, как произведение силы на путь, пройден­ ный силой. Если бы в нашем случае

сила Рj была постоянной на всем протяжении ее пути у г, то работа ее равнялась бы Р^уг. Но сила Рг изме­ няется в процессе нагружения и де­ формации балки от нуля до полного ее значения Р1г так как нагружение происходит не мгновенно, а в течение некоторого времени (с возрастанием силы деформация возрастает пропор­

ционально ей). Средняя величина силы, действующей на пути у,,

Применим закон сохранения энергии: произведенная ра­ бота А: Р\У\ не исчезла, она перешла в другой вид энер­

гии— потенциальную1 энергию упруго деформированной балки. Обозначая потенциальную энергию через U, будем иметь ра­ венство

Нели бы внешних сил было несколько, то потенциальная энер­ гия выразилась бы следующей суммой:

Теперь определим потенциальную энергию нашей упругой системы другим путем.

Рассмотрим деформацию элемента балки, выделенного мы­ сленно двумя поперечными сечениями / и // (фиг. 11.4), от­ стоящими друг от друга на малом расстоянии !±х. На фиг. 11.5 показан этот элемент после деформации балки. Под влиянием

i В пределах упругих деформаций переход работы в потенциальную энергию деформированной системы есть процесс обратимый. Так, например, пружина часов возвращает работу, затраченную на завод ее.

359

изгибающего момента М размеры элемента изменились і. Часть его, расположенная в сжатой зоне балки, т. е. выше нейтраль­ ного слоя, укоротилась, а нижняя часть, находящаяся в растя­ нутой зоне, удлинилась. Только средние волокна (в нейтраль­ ном слое) сохранили свою прежнюю длину Их. Вследствие это­ го сечение I наклонилось по отношению к сечению II. Угол, образуемый плоскостями сечений, весьма мал (так как длина элемента Δχ весьма мала), обозначим его через дО.

Выразим работу, выполненную изгибающим моментом М при повороте сечения / относительно сечения II на угол ДѲ. Эта ра­ бота также весьма мала, обозначим ее че­ рез А А. Так как мы рассматриваем поворот сечения / относительно сечения II, последнее будем полагать неподвижным (фиг. 11.5).

Работа момента определяется произведением

Работа, затраченная на упругую деформацию элемента, цели­ ком переходит в потенциальную энергию. Обозначая потенци­

суммировав энергию всех элементов, составляющих балку:

* Деформацией сдвига, как указано далее, пренебрегаем.

360

Полученная сумма выражает потенциальную энергию только деформации изгиба балки (вызываемой изгибающим момен­ том). Потенциальную энергию деформации сдвига (вызываемой поперечной силой) мы здесь не учитывали. Расчеты показывают, что деформация балок и рам почти полностью определяется дей­ ствием изгибающих моментов, влияние же поперечных сил, а также и продольных весьма незначительно и им можно пренеб­ речь. Если бы мы учли влияние поперечных и продольных сил, то получили бы два дополнительных слагаемых. Вместо выражения (4) для потенциальной энергии бруса мы име­ ли бы

Р, но их может быть сколько угодно.

Требуется определить прогиб у балки в некотором заданном сече­ нии С. Обозначим, как всегда, через М изгибающий момент в те­ кущем сечении балки. Тогда потенциальная энергия деформа­

361

Теперь рассмотрим состояние балки, показанное на фиг. 11.6,6. Балка нагружена силой, равной единице, в точке С. Такое состояние балки в действительности не существует, оно является вспомогательным при расчете и называется фиктивным или единичным состоянием Т Обозначим изгибающий момент и произвольном сечении балки в рассматриваемом единичном со­

стоянии через М. Тогда потенциальная энергия запишется так:

77 _ V 1λϊ’δχ

2EJ

и работа внешней силы (равной единице):

где у — прогиб, вызываемый силой, равной единице в точке С. Поскольку U — A, будем иметь

грузка Р и фиктивная сила, равная единице. Обозначим изгибаю­ щий момент в произвольном сечении балки в этом состоянии че­

рез М. Очевидно, М — М+М. Потенциальная энергия выражает­ ся так:

(j (М+М)*\х

'2EJ

Раскрывая скобки, получим

Работу внешних сил выразим, предполагая, что сначала прило­ жена сила, равная единице, а затем нагрузка Р. Деформация бал­

силой Р равен ур. При этом производится дополнительная работа:

i Сила, равная единице, называется также единичной силой

362

F

Последнее слагаемое не содержит в знаменателе 2, так как нея единичная сила проходит весь дополнительный путь у не изменяясь (являясь, так сказать, „пассажиром”). Таким обра­ зом полная работа внешних сил в рассматриваемом состоянии

Подчеркиваем правило знаков. Очевидно, что если направле­ ние перемещения у совпадает с направлением единичной силы, то результат вычисления по формуле (8) будет иметь положи­ тельный знак. И, обратно, отрицательный результат означает, что направление искомого перемещения противоположно приня­ тому направлению единичной силы.

В случае балки постоянного сечения постоянный знамена­ тель EJ может быть вынесен за знак суммы и формула (8) по­ лучает вид

EJ

Пользуясь формулами (8) или (9), можно найти перемещение любого сечения балки, причем не только линейное, а также и угловое. В последнем случае нужно лишь вместо силы, равной единице прикладывать момент, равный единице (см. далее § 8). Примем общее обозначение δ для перемещения как линейного, гак и углового; тогда формула (8) запишется так:

малую величину и обозначают ее через dx. Знак суммы заменяется симво­ лом S- Самая сумма называется интегралом. Применяя эти обозначения, будем

363