Если бы мы для выражения потенциальной энергии пользова­ лись не сокращенной формулой (4), а полной формулой (5), то для перемещения S мы получили бы вместо формулы (10) такую формулу:

при единичной нагрузке.

В следующих параграфах рассмотрим применение получен­ ных формул в практических расчетах.

§ 3. Правило Верещагина

Вычисление перемещений по формулам (8) —(10) удобно про­

изводить при помощи эпюр изгибающих моментов М и М на основании правила Верещаги­ на. Выведем это правило. Пусть эпюра М для некоторого бру­ са постоянного сечения изобра­ жается произвольной кривой

Рассмотрим каждую из двух полученных сумм. Произве­ дение М а х представляет собой площадь заштрихованного на фиг. 11.7 прямоугольника (обозначим ее через ΔΩ). Следова­ тельно, сумма = взятая на всей длине I, равна площади Ω всей эпюры М. Таким образом ^MAx — Q. Вторую* сумму запишем так:

ΣχΜΑχ = ΣχΔ2.

364

Она представляет собой статический момент площади Ω [см. гл. I, § 5, формула (9а)] относительно вертикали, проходящей через точку С, от которой отсчитываются значения х. Этот статический момент равен нулю, так как точка С по условию есть центр тя­ жести площади Ω. Следовательно, последнее слагаемое в выражении(П) отпадает, и окончательно формула для перемещения у получает вид

^ММАх Qm

(12)

Итак, перемещение у по Верещагину равно произведению пло­ щади Ω эпюры изгибающих моментов М от заданной нагрузки (эта эпюра может быть произвольного вида) на ординату т

эпюры М — от единичной силы (эта эпюра предполагается обя­ зательно прямолинейной), соответствующую центру тяжести пло­ щади эпюры М (см. фиг. 11.7), деленному на жесткость EJ балки.

Пример 1. Рассмотрим пример применения правила Вереща­ гина. Пусть требуется определить максимальный прогиб консо­ ли (фиг. 11. 8,а) при загружении ее равномерно распределенной нагрузкой заданной интенсивности q.

а — определение максимального прогиба консоли под действием равномерно распределенной нагрузки; б — определение прогиба по середине простой балки,

нагруженной моментом на конце.

Построим эпюру изгибающих моментов М. Она предста­ вится квадратной параболой (см. фиг. 11.8). Наибольшая орди­

ната этой параболы (узащемления) равна —■. Площадь такой

эпюры равна одной трети произведения основания на высоту: 2 = - у I (см. гл. VI, § 5, пример 1). Центр тяжести С

365

площади эпюры находится на расстоянии — как показано

4

на фигуре.

Искомый максимальный прогиб у тіх, очевидно, имеет место на конце консоли. Следовательно, здесь и приложим силу, равную единице. Эпюра моментов от этой силы прямолинейна

(см. эпюру М на фиг. 11.8,а). Ордината (т) этой эпюры, со­

ответствующая центру тяжести С эпюры М, равна как

это нетрудно установить из подобия треугольников. Таким образом искомый прогиб

чЦ З _ 1

Возьмем некоторые числовые данные:длина консоли / = 1,2 м = = 120 см, поперечное сечение консоли круглое d = 2 см, материал — сталь (модуль упругости /: = 2-106 кг)см%, интен­

эпюр. Процесс вычисления перемещения по формуле Вереща­

гина требует, как видим, построения двух эпюр: М и М. Затем площадь первой эпюры умножается на соответствующую орди­ нату второй (прямолинейной).

Эта операция часто называется «перемножением» эпюр. Заме­ тим, что порядок «перемножения» можно менять на обратный, в тех случаях когда эпюра М также прямолинейна. В этих слу­

чаях можно площадь Q взять из эпюры М и соответствующую ей ординату т из эпюры М, так как М и М в сумме ^ММЬ.х взаи­

мозаменяемы (произведение ММ не изменяется от перестановки сомножителей).

Пример 2. Пусть, например, требуется определить прогиб по середине балки, загруженной сосредоточенной парой МА у опоры А (фиг. 11.8,6). В данном случае удобно применить именно обратный порядок „перемножения*. Эпюра моментов М от заданной нагрузки в данном случае прямолинейна, а эпю­

ра М от единичной силы ломаная. Возьмем площадь Q из

366

эпюры М, а ординату т — из эпюры М. Получим 2 = — / — =

2 4

Искомый прогиб

п МА

От _ 8 2 _ ЛУ»

Другие примеры применения правила Верещагина даны ниже. С л у ч а й э п ю р ы в в и д е л о м а н о й . Если ни одна из эпюр М или М не является прямолинейной на всей длине бруса,

а М

эпюры являются прямолинейными (на протяжении каждого из участков), то порядок «перемножения» произволен.

но одна из них изображается ломаной, линией, то «перемноже­ ние» таких эпюр также можно произвести по правилу Вереща­ гина, применяя его к каждому прямолинейному участку в отдель­

ности. Пусть, например, эпюры М и М имеют вид, показанный

на фиг. 11.9,а. Через точки а и b перелома эпюры М проведем вертикали, разделяя ими площадь эпюры М на части Qlt S 2 и Q3. Находим центры тяжести Clt С2 и С3 этих частей и соответ­

ствующие им ординаты т3, т„ и ms из эпюры М. К каждому из трех участков можем применить формулу Верещагина. Получим

или при любом числе участков

У0т

(13)

EJ

36Т

Если эпюра М прямолинейна или ломаная, то можно, как

это было указано выше, площади 2 Ь 2 3, 23... взять из эпюры М, а ординаты Ші, т2, т3— из эпюры М. Наконец, на каждом из участков может быть принят свой порядок перемножения, неза­ висимо от других участков. Так, например, на первом участке

•наоборот, из эпюры М и ординату т2— из эпюры М. Необходи­ мо только, чтобы ордината т была взята из эпюры, прямолиней­ ной на данном участке.

Иногда вычисление площадей .2,, 2 2, Ω3... и нахождение их центров тяжести Сг, С2, С„ затруднительны. Одним из приемов, упрощающих вычисления, является дальнейшая разбивка пло­ щадей 2 Х, Ω2, 2„... на составляющие, как это показано на при­ мере 5 в следующем параграфе. При невозможности применить указанный прием пользуются приближенным решением, изло­ женным далее в § 5.

§ 4. Примеры определения перемещений

П р о г и б б а л к и . Пример 1. Определить максимальный прогиб консоли (фиг. 11. 10,а) длиной /, нагруженной сосредо­

точенным моментом на конце М.

а — определение максимального прогиба консоли, нагруженной момен­ том на конце; б — определение прогиба по середине той же консоли; в и г — определение прогиба простой балки при действии сосредото­ ченной и равномерно распределенной нагрузки.

Построим эпюру изгибающих моментов от заданной нагруз­ ки— она имеет вид прямоугольника (см. эпюру М). Площадь

этой эпюры 2 = —Ml. Центр тяжести ее находится по середине. Теперь рассмотрим «единичное» состояние балки. Искомый ма­ ксимальный прогиб, очевидно, будет иметь место у свободного конца балки; следовательно, здесь и должна быть приложена -единичная сила. Построив эпюру изгибающих моментов от

368

Положительный знак найденного результата означает, что направление прогиба совпадает с принятым направлением еди­ ничной силы. Пунктиром показан характер упругой линии балки.

Пример 2. Для консоли, рассмотренной в предыдущем при­ мере, определить прогиб по середине. В данном случае эпюра

М имеет прежний вид, но эпюра М иная; единичную силу на этот раз прикладываем посередине балки (фиг. 11.10,6); полу­

чаем эпюру М, состоящую из двух участков — ab и Ьс. Участок ab представляется наклонной прямой, а на участке Ьс все орди­ наты эпюры равны нулю. Применим правило Верещагина для каждого из участков в отдельности [см. формулу (13)]:

Σ

У-

EJ EJ

Как видим, прогиб по середине в четыре раза меньше, чем про­ гиб на конце (см. предыдущий пример).

Пример 3. Определить максимальный прогиб сосновой доски (фиг. 11. 10,в) поперечным сечением 20X4 см при нагружении ее по середине сосредоточенной силой Р, равной 100 кг. Модуль упругости материала равен 100 000 кг/см2.

Максимальный прогиб в данном случае имеет место по се­ редине балки. Здесь и приложим силу, равную единице. Эпюры

Для второй половины получим то же. Таким образом иско­ мый прогиб

Подставим сюда числовые значения: /3 = 100 кг, / = 200 см,,

Пример 4. Определить прогиб той же доски, в том случае если нагрузка 100 кг будет равномерно распределена по всей длине доски.

Эпюра изгибающих моментов М от заданной нагрузки изо­ бразится в данном случае квадратной параболой (см. фиг. 8. 19 и фиг. 11.10,г). Максимальная ордината этой эпюры равна

~ , где q —интенсивность сплошной нагрузки ^в нашем слу­

чае ^ = - ^ = 50 кг/м = 0,5 кг/см'j. Площадь эпюры, представ­

ляемая сегментом параболы, равна двум третям произведения основания сегмента на его высоту (см. гл. VI, § 5, пример 1):

2_ ^ді* _ діз

3 8 ~ 12 ‘

Эпюра моментов М от единичной силы (на фиг. И. 10,г вни­ зу) такая же, как и в предыдущем примере. Снова применим правило Верещагина для одной половины балки. Площадь по­ лусегмента параболы

о _ 1 <і&_ у/3

центр тяжести находится на расстоянии — а от края (см. фиг.

6. 14), как показано на фигуре, где а —длина полухорды. Соответствующая ордината эпюры М равна /га=— — = —

В данном случае, как и следовало ожидать, прогиб значи­ тельно меньше, чем в случае сосредоточенной силы.

Пример 5. Обратимся к более сложному случаю; рассмотрим снова балку постоянного сечения с равномерно распределенной нагрузкой, но пусть теперь требуется определить прогиб ус балки в некоторой произвольно взятой точке С.

Эпюры М и М показаны на фиг. 11. 11,а. Разбиваем эпюру М на два участка так, чтобы каждому участку соответствовал пря­

молинейный участок эпюры М. Искомый прогиб будет

(14j

CJ

370

Но вычисление площадей Ωχ и Ω2 и нахождение их центров тяжести затруднительно. Разобьем площади І2Хи Ω2 на более простые части. В нашем случае эпюра N1, как уже известно, является квадратной параболой. Разбивая площадь Ωχ на две

Ω*! и 2і, как показано на фиг. 11.11 внизу, будем иметь Й! =

Ответ: у тіХ M l- 1,08 см. Упругая линия показана на

6£7

фиг. 11. 12,а пунктиром.

3. Балка длиной I постоянного сечения лежит на двух опо­ рах А и В, как показано на фиг. 11. 12,6, и нагружена сосредо­

точенными парами М по концам. Определить прогиб ус конца

женной равномерно распределенной нагрузкой на протяжении

прикладывать не силу, равную единице, а пару с моментом, рав­ ным единице. Поясним порядок расчета на примерах.

Пример 6. Определить угол поворота конца консоли, загру­ женной равномерно распределенной нагрузкой (см. пример I

в § 3). На фиг. 11. 13,а показаны эпюры М и М. Эпюра М имеет,

конечно, прежний вид (см. фиг. 11. 8,а), a эпюра М иная, так как в данном случае приложен момент, равный единице. Иско­ мый угол поворота

н а ^ — 0,0234-57,3°* = —1,34°= —1°20'24". Отрицательный знак

* Один радиан равен 57,3°.

372

результата показывает, что направление поворота рассматри­ ваемого конца балки противоположно принятому направле­ нию единичного момента, что соответствует действительности.

Задача. Определить угол поворота конца этой же балки при нагрузке, изображенной на фиг. 11.10,г (пример 4). Ответ.·.

Предлагается читателю определить также углы поворота се­ чений балок, изображенных на фиг. 11. 10.

Фиг. 11.13. Определение углов поворота.

а — на конце консоли, несущей равномерно распределенную нагрузку, и б — на конце простой балки, нагруженной сосре­ доточенной силой посередине.

В единичном состоянии вместо силы, равной единице, при­ кладывается пара с моментом, равным единице.

О п р е д е л е н и е п е р е м е щ е н и й в р а м а х . Определе­ ние перемещений для бруса с осью не прямой, а представляю­ щей некоторую ломаную линию, также можно производить по формулам (8) — (10), так как вывод их можно повторить для любой упругой системы. Ниже на примерах показано вычисле­ ние перемещений сечений рам постоянного сечения при помощи правила Верещагина.

Пример 8. Дана П-образная рама, один конец которой за­ щемлен, а другой свободен. Определить вертикальную состав­ ляющую перемещения сечения А, взятого по середине горизон­ тального участка рамы при нагрузке, показанной на фиг. 11. 14,а.

Построим эпюру изгибающих моментов М от заданной на­ грузки. Полученная эпюра, отложенная со стороны сжатых во­ локон бруса, показана на фиг. 11.14,6. Силу, равную единице, нужно приложить по направлению искомого перемещения в точ­

ке А, т. е. вертикально. Соответствующая эпюра моментов М

373

изображена на фиг. 11. 14,в. Теперь остается произвести «пере­ множение» эпюр по правилу Верещагина. Применим его после­ довательно для каждого из участков СВ, BA, AD и DE рамы.

На первых двух участках момент М равен нулю и, следователь­ но, произведение по Верещагину также будет равно нулю. На

ветствующая ей ордината т1 (из эпюры М ) равна — . Следо­

вательно,

На участке DE площадь (й,2) возьмем из эпюры М и соответ­ ствующую ей ординату — из эпюры М (обе «перемножаемые»

Фиг. 11.14. К определению перемещений в рамах.

а — заданная рама и нагрузка; б —соответствующая эпюра изгибающих моментов; в — «единичная» эпюра для вычис­ ления вертикального перемещения точки Л рамы; а — «еди­ ничная» эпюра для вычисления горизонтального переме­ щения точки Л; д— определение полного перемещения точки Л; е — «единичная» эпюра для вычисления угла

поворота узла В.

эпюры прямолинейны и, следовательно, можно применить и об

стойки. Соответствующая ей ордината т2 из эпюры М, как ви­

374

что точка А перемещается вверх (по направлению единичной силы).

Пример 9. Определить горизонтальную составляющую пе­ ремещения точки А в предыдущем примере. Направляя в дан­ ном случае единичную силу горизонтально, будем иметь эпюру

М, показанную на фиг. 11. 14,г. Чтобы перемножить эту эпюру с эпюрой_М (фиг. 11.14,6) по Верещагину, определим площадь

эпюры М и найдем соответствующую ей ординату из эпюры М и перемножим эти величины. При этом учтем, что пере­ множаемые площадь и ордината (т 2) имеют, как видно из рисунков, различные знаки и, следовательно, результат будет отрицательным. Получим

ремещения точки А направлена не влево, как была направле­ на единичная сила, а вправо.

Объединяя результаты обоих примеров, можно найти пол­

Направление перемещения показано стрелкой.

Пример 10. Найти угол поворота узла В той же рамы. При­ ложим в точке В момент, равный единице, и построим соответ­

ствующую эпюру М (фиг. 11. 14,е). Эпюра М остается прежней

(фиг. 11.14,6). Применяя к эпюрам М и М правило Вереща­ гина, получим для участка DE, так же как и в первом примере,

знак результата показывает, что по­ ворот узла В происходит в принятом направлении действия еди­

ничного момента, т. е. против часовой стрелки.

Задача. Определить угол поворота конца А рамы в поло­

жении ее, показанном на фиг. 11. 15, когда сила Р лежит в пло-

р а ъ

скости рамы. Ответ: 4,33—- .

375