§ 11. Изгиб за пределом пропорциональности

С увеличением нагрузки очертание эпюры приближается к состоящему из двух прямоугольников. Это происходит потому, что напряжения внутренних волокон, постепенно достигая предела текучести, перестают расти и останав­ ливаются на величине στ. Если диаграмма зависимости между напряжениями и деформациями для данного материала одинаковая при растяжении и сжа­ тии, то и эпюра напряжений при изгибе за пределом пропорциональности имеет одинаковое очертание в растянутой и сжатой зонах сечения. Когда

Фиг. 9.42. Наибольшие напряжения при изгибе

впределах пропорциональности.

а— прямоугольное сечение балки; б — напряже­ ния крайних волокон достигли предела текучести;

эпюра напряжений состоит из двух треугольников,

напряжения по всему сечению достигнут предела текучести στ и эпюра на­ пряжений примет вид двух прямоугольников в сжатой и растянутой поло­ винах балки (фиг. 9.43,6), дальнейшее увеличение нагрузки станет невоз­ можным. Это состояние балди являемся предельным и наибольший изгибаю-

Фиг. 9.43. Напряженные состояния при изгибе за пределом про­ порциональности.

ние — по всему сечению напряжения достигли предела текучести.

щий момент М пр, соответствующий этому состоянию, выражает предельную грузоподъемность балки по разрушающим нагрузкам. Дальнейшая деформа­ ция балки будет происходить без увеличения нагрузки и в опасном сечении образуется так называемый пластический шарнир: смежные поперечные сече­ ния будут поворачиваться друг относительно друга за счет текучести про­ дольных волокон.

Для определения разрушающего изгибающего момента Мпо рассмотрим предельное напряженное состояние, возникающее в опасном сечении (фиг. 9.43,6). На площадку ΔΕ, взятую на расстоянии у от нейтрального слоя (фиг. 9. 42, а), действует продольная сила σΊ\Ρ'. Ее момент около ней­ тральной оси равен στΔΕρ. Складывая моменты всех этих сил, приложен-

308

ных по всему сечению, получаем величину Λίπρ. Для симметричного отно­ сительно нейтральной оси сечения достаточно вычислить сумму моментов сил верхней или нижней половины сечения и удвоить результат:

ЛЛ

Λίπρ= 2 1 °-ry^= 2 ;Tyy ± F = 2 a TS.

оо

Напряжение στ постоянно для всех точек сечения и вынесено за знак суммы, которая теперь представляет собой статический момент площади

£

2

половины сечения около нейтральной оси, S=E_yA/\ Оставляя коэффи-

о

циент запаса п одинаковым с установленным при расчете по допускаемым напряжениям и подставляя <тт= л [о], получаем предельный изгибающий момент по разрушающим нагрузкам в виде

нрочности [§ 9 настоящей главы, формула (21)]. равно отношению удвоен­

стоянии нейтральная линия разделит площадь сечения на две равные

сечения балки и для каждого вида сечения получается различным. Напри­

8 bh2

Грузоподъемность балки прямоугольного сечения при переходе к расчету по разрушающим нагрузкам увеличивается на 50°/о.

309

Для круглого сплошного сечения имеем статический момент полусе-

чения [формула (19)]

сР

12

а момент сопротивления (12)

TtrfB

W*.= —32 .

В этом случае коэффициент

2S 2rfs 32

k~ W~ 12 π3 - 1 ’ ‘

При изгибе за пределом пропорциональности материал используется пол­ ностью как на краях сечения, так и вблизи нейтрального слоя (фиг. 9.43,6), тогда как в пределах пропорциональности используется материал тольк· у краев сечения. Менее рациональные формы сечений, с большим количе­ ством неиспользуемого материала, дают большее увеличение грузоподъем­ ности при переходе к расчету по разрушающим нагрузкам. Вот почему для круглого сечения грузоподъемность увеличивается больше, чем для прямо­ угольного. Чем рациональнее форма, чем полнее используется материал бал­ ки в пределах пропорциональности, тем меньше разница между расчетами по допускаемым напряжениям и по разрушающим нагрузкам. Например, для двутавровой балки, изображенной на фиг. 9.30 (пример 2, § 8 настоящей главы), имеем S=135 см3, 1У=237 смг и коэффициент

Увеличение грузоподъемности составляет 14°/о. В случае равномерного распределения напряжений по всей площади сечения, как, например, при растяжении или сжатии в статически определимых системах (гл. Ill, § 6), расчеты по допускаемым напряжениям и по разрушающим нагрузкам при­ водят к одним и тем же результатам. Переход к расчету по разрушающим нагрузкам требует более тщательного исследования запаса прочности протия других возможных видов разрушения и возможен лишь в случаях неизмен­ ной по времени нагрузки.

Контрольные вопросы

1.Какая деформация называется чистым изгибом?

2.Какие деформации испытывают при изгибе продольные волокна балки? В чем состоит гипотеза плоских сечений?

3.Какие напряжения вызывает изгибающий момент и как они изменяются по высоте сечения балки?

4.Какой слой балки называется нейтральным? Где он про­ ходит и на основании какого условия определяется его поло­ жение?

5.Что такое «кривизна» балки и чему она равна? Что на­ зывается жесткостью балки на изгиб?

6.Какие уравнения равновесия нужно составить, чтобы по­

лучить формулу нормальных напряжений при изгибе? В каких случаях изгиба ее можно применять и почему?

7.Какие свойства балки характеризуют момент инерции н момент сопротивления? В каких единицах они измеряются?

8.Какие оси являются главными? Для каких сечений любая центральная ось является главной?

310