скостью, и каждая ось симметрии сечения является главной осью. В заключение отмечаем, что для определения нормальных напряжений в какой-либо точке сечения балки необходимо, вопервых, знать изгибающий момент, величину которого можно найти в опасном сечении при помощи построения эпюры М\ вовторых, нужно определить центр тяжести сечения и вычислить момент инерции относительно его главной центральной оси, пер­ пендикулярной плоскости нагрузки.

§ 4. Осевые моменты инерции и моменты сопротивления простых фигур

Для всякого сечения, имеющего произвольную форму, мо­ мент инерции относительно какой-либо оси Jz= ^ y 2^F можно вычислить путем непосредственного подсчета суммы. Для этого

Фиг. 9.9. К выводу формул для осевых моментов инерции сечений.

а — прямоугольник; б — квадрат; в — параллелограмм.

нужно все сечение разбить на ряд площадок, например, как показано на фиг. 9. 9,а, умножить каждую площадку на квадрат ее расстояния до оси и сложить полученные произведения. К со­ жалению, такое вычисление не всегда может быть точным. Точ­ ность будет достаточной лишь тогда, когда сечение разбивается на большое число малых площадок. Но в этом случае сам про­ цесс вычисления становится громоздким и длительным. Этот об­ щий способ применяется, если сечение или состоит из небольшого числа сравнительно мелких площадок, достаточно удаленных от оси z, или имеет столь сложное очертание, что не позволяет произвести подсчет другим способом. Для некоторых форм сече­ ния удается вывести формулы, позволяющие сразу определить момент инерции в зависимости от размеров сечения. Покажем это на примерах.

П р я м о у г о л ь н и к . Возьмем, прямоугольное сечение, наиболее часто встречающееся в практике, с высотой h и ши­ риной b и разобьем его на тонкие полоски, параллельные центральной оси z, относительно которой вычисляется момент инерции (фиг. 9.9,а). Толщину полоски примем равной при-

261

ращению Ay. Все площадки одной полоски имеют одинако­ вые расстояния у до оси z, и момент инерции каждой такой полоски длиной b и площадью AF=bSy равен y*AF= у^ЬАу. Складывая их для всего сечения, находим момент инерции

всегда положительная величина. Так как верхняя и нижняя половины сечения одинаковы, то достаточно вычислить сумму

В частном случае, когда высота и ширина прямоугольника одинаковы, h=b=a, имеем квадратное сечение (фиг. 9.9,6), момедт инерции которого относительно центральной оси равен

В прямоугольнике расстояния от центральной оси до верх­ них и нижних крайних точек сечения одинаковы и равны

h

Ушах— — · Момент сопротивления согласно обозначению (δ)

для прямоугольника и соответственно для квадрата будет

ОО

Если нужно вычислить момент инерции прямоугольника отно­ сительно центральной оси у, то сечение делится на вертикальные полоски и суммирование производится по ширине Ь. Очевидно, в этом случае получим

2о2

Аналогично вычисляется момент инерции параллелограмма высотой h и шириной b (фиг. 9.9, в). Относительно централь-

ной оси z он равен Уг= — , потому что сумма произведении

y 2AF не изменяется. Все полоски площадью AF=bAy в па­ раллелограмме получаются лишь сдвинутыми по отношению к равновеликому прямоугольнику с той же высотой b и ши­ риной Ь, но они остаются на прежнем уровне.

Круг . Помимо общего приема, иногда можно вычислить осе­ вой момент инерции, пользуясь уже известными величинами. Так, например, осевой момент инерции площади круга удобно вычислить исходя из полярного момента

в выражение полярного момента инерции и принимая во внимание обозначения сумм по уравнениям (2) и (10), находим

/„= V (y2 + z2)AF= V y2iF-F V * A F=J,+ J,.

Сумма двух осевых моментов инерции относительно взаимно перпендикулярных осей равна полярному моменту инерции, взятому относительно точки пересечения

осей. В круглом сечении диаметром d моменты инерции относи­ тельно центральных осей у я z одинаковы вследствие симметрии, следовательно, каждый из них равен половине полярного момен­

сопротивления изгибу круглого сечения, согласно формуле (5), получается тоже в два раза меньше момента сопротивления кручению, а именно

Для сечения круглой трубы с отношением внутреннего

диаметра к наружному равным а = — , подобно формулам (5)

263

и (9') главы VI, получаем осевой момент инерции и момент сопротивления изгибу в виде

Вычисленные по этим формулам величины Л и Wz относи­ тельно центральных осей сечения круглой трубы для некоторых употребляемых в самолетостроении размеров приведены и табл. 7.

Приведенные результаты позволяют вычислять моменты инерции сечений, образованных из прямоугольников и кругов, исходя из того, что всякую сумму, распространенную на все се­ чения, можно составить из отдельных сумм, распространенных на составные части сечения. Рассмотрим некоторые примеры.

Пример 1. Прямоугольный брус высотой h= 6 см и шириной 6= 3 см имеет посередине высоты два продольных утолщения.

Фиг. 9. II. Пример вычисления нормальных на­ пряжений при изгибе бруса прямоугольного сечения с полукруглыми утолщениями.

очерченные по дуге полуокружности диаметром d = 4 см, и из­ гибается в вертикальной плоскости моментом Λί=150 кем (фиг. 9. 11). Определить нормальные напряжения в крайних точках полукруга и прямоугольника.

Подсчитаем момент инерции сечения относительно ней­ тральной оси. Разбиваем все сечение на прямоугольник и два полукруга. Их центры тяжести лежат на горизонтальной оси по середине высоты. Эта ось является нейтральной. Момент инерции относительно нее состоит из момента инерции пло-

264

Таблица 7

Круглые трубы

265

распространенной на площадь сечения нервюры и на площадь внутреннего прямоугольника abed. Момент инерции последне­ го относительно оси г вычисляется по той же формуле, по-

М і тому что и его центр тяжести лежит на этой оси, У2 = — —.

266

Разность между Л и У2 равна моменту инерции сечения относительно нейтральной оси:

гbh3 bxh\ 7-203 6-123

------=3810 см*.

По формуле (5) находим момент сопротивления

= — = 381 см3.

Углах Ю

Фиг. 9. 12. Сравнение нормальных напряжений нервюры.

а — изгиб в плоскости, проходящей через ось у·, 6 — в плоскости, проходящей через ось г.

Наибольшие напряжения возникают в крайних точках (фигу­ ра 9.12, а)

Для остальных точек по высоте сечения они изменяются по прямой, проходящей через центр тяжести.

2) Точно так же находим относительно оси у момент инерции

и момент сопротивления

W = —I*—= — = 102 см3.

Напряжения крайних точек при изгибе в плоскости, прохо­ дящей через ось г (фиг. 9.12,6), равны

267