ся балка. Чем больше ее кривизна, тем больше наклоняются се­ чения и тем меньше радиус кривизны. Но для каждого отдельно­ го сечения радиус кривизны остается постоянным при вычисле­ нии удлинения любого волокна. Удлинение волокон по высоте сечения изменяется пропорционально только расстоянию у от нейтрального слоя, и все волокна одного слоя, параллельного нейтральному, удлиняются од каково. Умножая ε на модуль упругости Е, получаем нормальное напряжение при изгибе балки:

Р

Из уравнения (1) следует, что нормальное напряжение σ изменяется по высоте сечения также пропорционально у (т. е.

б)

Фиг. 9.6. Нормальные напряжения при изгибе.

а—распределение нормальны* напряжений по поперечному сечению; б— эпюра нормальных напряжений.

(фиг. 9.6,а). В нижней части сечения, на выпуклой стороне бал­ ки, напряжения растягивающие; при переходе в верхнюю, вогну­ тую часть расстояние у меняет знак на обратный, а напряжения становятся сжимающими. В нейтральном слое (при у = 0) нор­ мальные напряжения равны нулю. Закон изменения σ по высоте сечения балки изображается при помощи эпюры нормальных на-

не дает еще возможности определить величину нормальных на­ пряжений. Необходимо, во-первых, найти положение нейтраль-

255

ного слоя, от которого измеряется расстояние у, во-вторых, опре­ делить радиус кривизны оси балки. Это возможно сделать, вос­

та М, а с другой — нормальные напряжения σ, вызванные этой

(фиг. 8.5), направим вдоль оси балки ось х, вверх — ось у, а по нейтральной линии — ось ζ. На фиг. 9. 7 изображена балка пря-

Фиг. 9.7. Отсеченная часть балки прямоугольного сече­ ния. Составление условий равновесия для определения положения нейтральной линии и кривизны балки.

моугольного сечения. Еообще говоря, сечение может быть лю­ бым, имеющим ось симметрии в плоскости изгиба.

В произвольном слое, взятом на расстоянии у параллельно

нейтральному, возникают одинаковые нормальные напряжения

β

а = — у. На очень малую площадку сечения, которую обозна-

Р

чим A F, приходится малая продольная сила c A f . Напишем уравнение проекций на ось х всех сил, действующих на рассмат­ риваемую часть балки. Момент М дает проекцию, равную нулю, а силы a AF проектируются на ось х в натуральную величину. Чтобы получить сумму этих проекций, нужно сложить все силы, приходящиеся на элементарные площадки всего данного сече­ ния Г Х= У с \F= 0. Отсюда следует, что сумма сжимающих сил должна равняться сумме растягивающих сил. Подставляя в уравнение равновесия вместо нормальных напряжений о их зна­ чения по формуле (1), получаем

У - ^ / - = - y w = o .

р

как множитель__для изогнутой балки не равен нулю, то должна

Р

равняться нулю сумма произведений элементарных площадок

256

всего сечения на их расстояния до нейтральной линии, ^г/Д/^О. Полученная сумма представляет собой статический момент пло­ щади сечения относительно нейтральной линии. Известно, что статический момент площади равняется нулю только относительно той оси, которая проходит через центр тяжести [см. формулу (96), гл. I, § 5]. <Следовательно, нейтральная линия проходит через центр тяжести сечения. Только в этом случае равнодей­ ствующая сжимающих напряжет у расположенных выше ней­ трального слоя, будет равна равнодействующей растягиваю­ щих напряжений. Нейтральный слой делит балку на две равно­ весные части и совпадает с осью балки. Таким образом поло­ жение нейтральной линии найдено. Она проходит через центр тяжести сечения перпендикулярно к плоскости симметрии балки. Расстояние у нужно измерять от центра тяжести сечения (фиг. 9.7). Нейтральную линию, проходящую через центр тя­

сложим моменты сил σΔ/7, распределенных по всему сечению Σί/οΔ/7 (фиг. 9. 6,а). Момент сил, заменяющих действие отбро­ шенной части на остающуюся, взятый относительно централь­ ной оси, является изгибающим моментом в данном сечении; он здесь действует против часовой стрелки. Внешний момент М дей­ ствует по часовой стрелке. Условие равновесия требует, чтобы алгебраическая сумма моментов внешних и внутренних сил, приложенных к любой части балки, равнялась нулю, т. е.

ΣΜζ=Μ —'Σρ а ДК=О,

M = 'Zy — ybF = — Zy*bF.

рР

Сумма произведений элементарных площадок hF на квадра­ ты их расстояний до какой-либо оси z, взятая для всего сечения, называется осевым моментом инерции площади относительно этой оси:

мации (фиг. 9.5): Δχ = ρΔΘ. Учитывая формулу (3), отсюда получаем угол поворота двух смежных сечений балки друг относительно друга вследствие изгиба

РEJZ

Величина— .обратная радиусу кривизны, называется кривиз-

р

ной балки. Она пропорциональна изгибающему моменту М и обратно пропорциональна произведению модуля упругости Е на момент инерции J~. В балке с большим значением £7* кривиз­ на получается маленькой, а радиус кривизны большой: попереч ные сечения наклоняются друг к другу на малый угол 0. Изо­ гнуть такую балку трудно: она является жесткой. Наоборот,

вбалке с малым значением EJZ кривизна получается большой; балка легко гнется. Произведение EJ- называется жесткостью на изгиб. Чем оно больше, тем жестче балка. Осевой момент инер­ ции, как видно из обозначения (2), измеряется в единицах длины

вчетвертой степени: длина н квадрате умножается на площадь. Он зависит от размеров и от формы сечения, ьеличина момента инерции характеризует способность балки сопротивляться ис­ кривлению в зависимости от размеров и формы поперечного сече­ ния. Модуль упругости Е характеризует ту же способность в за­ висимости только от материала.

Н о р м а л ь н ы е н а п р я ж е н и я . Выяснив зависимость кривизны балки от изгибающего момента и от ее жесткости, мы теперь можем вернуться к нормальным напряжениям и написать окончательную формулу для их вычисления. Из выражения (3)

следует, что— = — . Подставляя это значение в найденную ранее

РJz

зависимость (1), получаем окончательную формулу нормальных напряжений

Нормальное напряжение в точке сечения на расстоянии у от нейтральной линии равно изгибающему моменту, умноженному на у и деленному на момент инерции сечения относительно ней­ тральной оси. Наибольшие нормальные напряжения в данном сечении возникают в точках, которые наиболее удалены от ней­

У max

Отношение осевого момента инерции к расстоянию до край­ них точек называется моментом сопротивления сечения изгибу и

обозначается

ѴУг= -У*~. (5)

Ушах

258

Окончательно максимальные нормальные напряжения, воз­ никающие в крайних точках сечения, равны

М

(6)

Момент сопротивления W~ характеризует способность балки сопротивляться изгибу. Чем он больше, тем меньше напряжения при данной нагрузке и тем большую нагрузку выдерживает бал­ ка. Момент сопротивления имеет размерность см3 и зависит от размеров и формы сечения.

Воспользовавшись двумя уравнения-л равновесия ΣΧ=0 и ΣΜζ—0, мы нашли положение нейтральной линии и получили формулу нормальных напряжений при чистом изгибе балки си­ лами, действующими в плоскости симметрии. Так как нормаль­ ные напряжения возникают только в связи с возникновением из­ гибающего момента и не зависят от поперечной силы, то фор­ мулу (4) можно применять и к тем случаям, когда в балке, помимо изгибающего момента, имеется еще и поперечная сила Q (вызывающая только касательные напряжения). Кроме того, тре­ бование, чтобы нагрузка была расположена в плоскости симмет­ рии, тоже не является обязательным. Формулу (4) можно при­ менять и к таким балкам, которые вообще не имеют ни одной оси симметрии сечения, если при этом соблюдаются некоторые определенные условия расположения нагрузки. Рассмотрим эти условия.

сительно вертикальной оси у всех сил, приложенных к этой части, внешняя нагрузка, расположенная в плоскости симметрии хОу, никаких моментов относительно оси у не создает. Но каждая внутренняя сила e±F дает момент, равный z a \F . Складываем их для всего сечения и составляем относительно оси у уравнение моментов всех сил: ΣΜυ= Τ.ζα ΔΓ=0. Отсюда получается, что нормальные напряжения, распределенные по левой половине се­ чения, в сумме должны давать такой же по величине момент, как и напряжения правой половины, но направление этих момен­ тов должно быть взаимно противоположным. Подставим в урав­ нение моментов величину σ по формуле (1):

ЕЕ

Р

Полученная таким путем сумма произведений элементарных площадок / 7 на их расстояния до осей у и ζ, взятая для всего сечения, называется центробежным моментом инерции площади сечения относительно осей у и ζ:

Для равновесия балки необходимо, чтобы равнялся нулю центробежный момент инерции относительно осей у и z, из кото­ рых одна совпадает с плоскостью нагрузки. В симметричной бал­ ке, нагруженной в плоскости симметрии, это условие соблюдается всегда, потому что для каждой площадки LF, расположенной слева от оси симметрии у (фиг. 9. 8,а), обязательно имеется сим­ метрично расположенная площадка той же величины справа от оси у. Расстояния у от оси z для этих площадок одинаковы по величине и по знаку, но расстояния z от оси симметрии одина­ ковы только по величине и всегда обратны по знаку. В выраже­

ся, что центробежный момент инерции может равняться нулю не только для симметричных сечений. Вообще для всякого попереч­ ного сечения можно найти такие оси у и z, относительно кото­ рых Jy~ обратится в нуль, например, оси у и z для сечения, изо­ браженного на фиг. 9. 8,6.

Взаимно перпендикулярные оси, относительно которых цен­ тробежный момент инерции равен нулю, называются главными осями инерции сечения. Если плоскость нагрузки совпадает с одной из главных осей, например, с осью у (фиг. 9. 8,6), то вто­ рая главная ось, перпендикулярная первой и проходящая через центр тяжести, совпадает с нейтральной 'осью сечения. В этом случае соблюдаются все три условия равновесия; и к балке та­ кого сечения можно применять формулу нормальных напряже­ ний (4), измеряя расстояния у перпендикулярно нейтральной линии (фиг. 9.8,6). Взаимно перпендикулярные плоскости, в ко­ торых лежат главные оси инерции всех сечений, называются главными плоскостями балки. Требование относительно симмет­ ричности расположения нагрузки можно теперь заменить требо: ванием, чтобы нагрузка была приложена в одной из главных плоскостей. Всякая плоскость симметрии является главной пло-

260