Задачи. 1. Определить наибольший крутящий момент, кото­ рый можно безопасно приложить к пароходному валу диамет­ ром d= 12 см, если допускаемое напряжение [х]=500 кг/см2.

Ответ: Л4К=339 кгсм.

2. Подобрать диаметр вала машины при [т] = 800 кг/см-, если он делает: 1) ^ = 6 0 об/мин при мощности Nt= 70 л. с. и 2) я2=

служит не только для определения опасного сечения: при ее по­ мощи легко вычислить угол поворота одного сечения отно­ сительно другого. Как нами было выведено в § 3 [формула (3)] относительный угол закручивания на единицу длины вала равен

Если вал скручивается одним моментом, то эпюра Λίκ посто­ янная по всей его длине / и абсолютный угол закручивания будет

Втех случаях, когда к валу приложено несколько моментов

иэпюра Л4к имеет различные значения в отдельных участках (фиг. 6. 19 и 6.20), угол закручивания определяется как сумма

углов закручивания каждого участка. Например, для вала, изо­ браженного на фиг. 6. 20, абсолютный угол закручивания между крайними шкивами равен

Здесь жесткость всех участков одинаковая. Числитель этой суммы представляет собой площадь эпюры М*. Таким образом

абсолютный угол закручивания между двумя сечениями равен площади эпюры крутящих моментов, заключенной между этими сечениями, деленной на жесткость.

При действии на вал нескольких крутящих моментов в раз­ ные стороны эпюра имеет положительные и отрицательные ор­ динаты (фиг. 6. 19). Площадь ее должна быть определена с уче­ том знаков: положительные площади входят в сумму со знаком плюс (складываются), а отрицательные — со знаком минус (вы­ читаются).

Если вал имеет различный диаметр в отдельных участках, то предварительно нужно разделить все ординаты эпюры крутящих

171

моментов на соответствующие им жесткости, и тогда угол закру­ чивания вычисляется как площадь новой эпюры, полученной из эпюры Мк путем деления ее ординат на жесткость.

У с л о в и е ж е с т к о с т и . В некоторых конструкциях, ко­ торые по условиям работы должны быть достаточно жесткими и не должны иметь значительных деформаций, необходимо, что­ бы угол закручивания не превосходил определенной, допускае­ мой величины. Например, в некоторых случаях допускае-

1 мыи угол закручивания принимают равным— градуса на метр

длины вала.

Чтобы составить условие жесткости, нужно угол закручива­ ния, вычисленный по формуле (16), при длине I, равной 1 м = = 100 см, и измеряемый в радианах, сначала перевести в гра­ дусы и затем сравнить с допускаемым. Так как угол в 360°, измеряемый дугой, равной длине окружности, составляет 2тг ра-

диан, то 1 радиан равен — = — градусов. Чтобы угол в радианах

2π π

180

перевести в градусы, нужно число радиан умножить на — =

π

=57,3°. Следовательно, условие жесткости получает вид

АѴ 180 -<[<?] = — градуса на метр.

GJP π

Отсюда находим необходимый момент инерции

и по нему вычисляем диаметр вала, удовлетворяющий усло­ вию жесткости,

32-180ЛѴ

Для полого вала соответствующая формула при [φ] =

градуса на метр будет

D > 22

УG ( l - a i )

172

Может оказаться, что вал, подобранный по условию жест­ кости, не удовлетворяет условию прочности (или наоборот); тог­ да его диаметр следует увеличить, и он будет иметь излишний запас жесткости (или соответственно прочности). С этим прихо­ дится мириться, если необходимо удовлетворить обоим требова­ ниям одновременно.

Пример 1. Определить угол поворота шкива 4 относительно шкива 1 трансмиссионного вала, изображенного на фиг. 6. 19, если вал изготовлен из стали с модулем упругости G= = 800 000 кг/см2 и имеет диаметр </=4 см.

Полярный момент инерции равен

В градусах φ°= — 0,0124 — = —0,71° или 42'36". Знак минус

Л

указывает, что шкив 4 повернется относительно шкива 1 в отрицательную сторону, т. е. по часовой стрелке (фиг. 6. 18).

Пример 2. Рассчитаем на прочность и на жесткость сталь­ ной трансмиссионный вал, изображенный на фиг. 6.20. Пусть

[τ] = 450 кг/см* и [φ] = — градуса на метр.

Опасный участок заключен между шкивами 4 и 2 (фиг. 6.20). Подбор сечения нужно производить в этом участке. По усло­

173

Диаметр вала нужно принять не менее 7,17 см, чтобы он был достаточно жестким. В этом случае максимальные напряжения участка 4 — 2 будут

Ѵр ~ 0,2(7,17)3

Вдругих участках они будут еще меньше.

С т а т и ч е с к и н е о п р е д е л и м ы е з а д а ч и . Определе­ ние угла закручивания необходимо не только в расчете на же­ сткость, но также и в решении статически неопределимых задач при кручении, потому что, помимо уравнений равновесия, для статически неопределимой системы приходится дополнительно составлять еще и уравнения деформаций.

Рассмотрим вал (фиг. 6. 24,а), у которого оба конца А и В

закреплены и не могут поворачиваться. От нагрузки вала момен­ том Ма возникают реактивные моменты МА и Мв на опорах. Единственное уравнение равновесия, которое получается для данной системы (фиг. 6. 24,6), представляет собой сумму момен­ тов относительно оси вала

М а — М с -р М в = 0 .

Два неизвестных опорных момента нельзя определить из это­ го одного уравнения и нужно составить второе уравнение, кото­ рое должно быть уравнением деформации. Чтобы уяснить физи­ ческий смысл второго уравнения, освободимся от одной из опор, например, от опоры А и заменим ее действие на вал опорным моментом М А (фиг. 6. 25,а). Полученная система, является ста­ тически определимым валом, нагруженным двумя Моментами, из которых один (МА) пока неизвестен. Напишем для этого вала выражение угла поворота ψ освобожденного сечения А:

174

от неизвестного момента Ма , скручивающего весь вал на длине I,

МАІ

9л =

GJP '

от заданного момента Мс, скручивающего только участок b вала и при этом в обратном направлении,

Мсъ

Участок а при действии момента Мс поворачивается весь на один и тот же угол φ с,а вместе с ним поворачивается и сечение А Таким образом полный угол поворота сечения А относительно"

поворачиваться так же, как и сечение В. Применяя это условие деформации заданной системы к статически определимой системе (фиг. 6. 25), получаем уравнение для определения М а, а именно, угол поворота освобожденного конца А от действия опорного момента МА и заданной нагрузки Мс должен равняться ну­

Это и есть дополнительное уравнение деформации. Отсюда

м сь

М А

I

Теперь значение Ма можно подставить в уравнение равно­ весия

мг ь

•---- *— MQ -|- Μв =з0

и найти момент на второй опоре

То же значение М в получается и независимо от МА, если освободиться от опоры В и составить аналогично изложенному выше уравнение деформации освобожденного конца В.

Чтобы построить эпюру крутящих моментов для заданной си­ стемы и рассчитать вал на прочность или на жесткость, доста­ точно найти хотя бы один из опорных моментов. Эпюра Л4К, по­ строенная для вала с освобожденным концом А при найденном значении М а (фиг. 6. 25,6), является эпюрой крутящих моментов для заданной системы (фиг. 6. 24,а).

17S

Пример 3. Определим наибольшие касательные напряжения

Мо=8000 кгсм. Диаметр одного участка вала dt=3 см, другого 62=3,6 с м . Модуль G постоянный для всего вала.

Прежде всего нужно определить момент на одной из опор и построить эпюру крутящих моментов. Освобождаемся от опоры

а)

Фиг. 6.26. Пример статически не­ определимой задачи.

приложенной нагрузки; в — эпюра крутящих моментов для заданной системы.

Л и ее действие на вал заменяем неизвестным опорным момен­ том М а (фиг. 6.26,6). В полученной системе от нагрузки момен­ тами Ма, Λί, и М2 составляем для освобожденного конца А вы­ ражение угла поворота и приравниваем его нулю, чтобы удовле­ творить условию деформации заданной системы;

М А (■

Полярные моменты инерции сечений

^ = 0,1^ = 0 ,1 -3 ^8 ,1 см*· У2 = 0,16^= 0,1-3,64 = 16,8 см*.

Подставляя их и заданные значения длин и моментов в уравнение деформации, после сокращения на G получаем

откуда ./Ид=1950 кгсм. Знак плюс, полученный для МА, ука­ зывает, что направление опорного момента соответствует при­ нятому ранее (фиг. 6.26,6). Если бы МА получился отрица­ тельным, его направление следовало бы изменить на обратное.

Эпюру крутящих моментов (фиг. 6. 26,в) строим, передви­ гаясь по валу от конца Л, и в результате получаем момент на другой опоре /Ид=4950 кгсм.

176

Хотя наибольший крутящий момент возникает на участке с, наибольшие касательные напряжения в данном случае получи­ лись на участке b с меньшим диаметром сечения.

Задачи. 1. Определить наибольшие касательные напряжения вала диаметром d= 12 см, если он изготовлен из материала с мо­ дулем упругости G=800 000 кгісм2 и удовлетворяет условию

[φ] = 0,3° на метр длины и G= 800 000 кг/смг. Ответ: d= 7,35 см. 3. Определить мощность машины, делающей «=200 об/мин, если ее вал длиной /=1,8 м и диаметром d= 10 см изготовлен из

тельно шесть шкивов через каждые 2 м. Моменты, передавае­ мые шкивами, соответственно равны:

Построить эпюру крутящих моментов, подобрать прочные размеры сплошного вала при [τ]=400 кг/см2 и определить угол закручивания между крайними шкивами. Ответ: ¢/=5,2 см; φ=2°24'.

6. Определить напряжения и угол закручивания дуралюминовой трубы управления рулями самолета, если сечение трубы DXd=50X44 мм; длина 1=0,6м; момент, передаваемый ручкой управления, Л4 = 8 кгм; G=280 000 кг/см2. Ответ: τ = 163 кг/см2; 9=48'.