Глава XII

СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫЕ СИСТЕМЫ

§ 1. Признаки статической неопределимости систем

Статически неопределимыми называются системы, усилия в элементах которых не могут быть найдены при помощи одних только уравнений равновесия. Мы уже встречались со статиче­ ской неопределимостью в главах III и VII при рассмотрении яв­ лений растяжения или сжатия и кручения в конструкциях с из­

составлять дополнительные уравнения, так называемые уравне­ ния деформации, вытекающие из условий деформации данной конструкции.

В настоящей главе мы рассмотрим балки, рамы и фермы. Балки с избыточным количеством опор также являются стати­ чески неопределимыми. Для исследования напряжений в та­ ких балках (и также их деформации) приходится составлять уравнения, отражающие условия деформации, налагаемые лиш­ ними связями, по одному уравнению на каждую лишнюю связь.

Лишними или избыточными называются связи, имеющиеся в системе сверх необходимых для обеспечения ее неизменяе­ мости или неподвижности. Количество необходимых связей уста­ навливалось выше (в гл. II). Например, для того чтобы балка была неподвижна в плоскости, она, как мы знаем, должна быть прикреплена в этой плоскости тремя связями к земле или дру­ гой неподвижной системе. Из предыдущего нам известны два типа балок в зависимости от способа их прикрепления: балка на двух опорах и консоль. Каждая из этих балок обладает не­ обходимыми тремя связями. Они наиболее наглядно изобража­ ются в виде стержней, присоединенных шарнирно (см. схему балки на двух опорах на фиг. 1. 11,6 — два стержня равносильны неподвижной опоре, один стержень равносилен катку). Схема связей консоли показана на фиг. 1. 12,а. Всякий дополнительный прикрепляющий стержень сверх трех необходимых явится лиш­ ней с точки зрения неподвижности системы связью.

389

Балка с четырьмя прикрепляющими стержнями, изображен­ ная на фиг. 12. 1,а есть система с одной лишней связью, или. как говорят, система однажды статически неопределимая (на фиг. 12. 1,о и б представлена одна и та же система, но с раз­ личным изображением опор). Показанные на фиг. 12. 1,в и г консоли с дополнительными опорами также однажды статически неопределимы: заделка представляет три связи и подвижная опора или стержень — одну, итого — четыре, одна связь «лиш­ няя». Балка на четырех опорах (фиг. 12. 1,д) и балка на трех

однажды статически неопределима, так как каждая неподвиж­ ная опора равносильна двум связям. Рама с двумя заделанными пятами (фиг. 12.2,6) трижды статически неопределима, так как каждая заделка равносильна трем связям.

Число лишних связей называется степенью статической не­ определимости.

Установим степень статической неопределимости замкнутой рамы (фиг. 12. 2,в). Для этого проследим образование замкну-

390

той рамы из незамкнутого бруса. Представим себе брус со сво­ бодными концами (фиг. 12.2,г). Для того чтобы получить из него замкнутую раму, необходимо концы бруса неподвижно присоединить друг к другу. Это может быть обеспечено помощью трех соединяющих стержней (фиг. 12.2,(9). Брус до установки стержней являлся статически определимой неизменяемой систе­ мой, следовательно, эти стержни — лишние связи. По числу лиш­ них связей полученная замкнутая рама трижды статически не­ определима.

гпА г 1 C

с□

замкнутая рама; ж— сделав два разреза, получаем статически опреде­

к — статически определимая рама; каждый шарнир уменьшает степень

Таким же путем можно установить степень статической не­ определимости двузамкнутой рамы (фиг. 12. 2,е). Разрезав каж­

раме, нужно в каждом разрезе поместить по три соединяющих стержня. Следовательно, двузамкнутая рама шесть раз стати­ чески неопределима. Аналогично можно показать, что трехзамк­ нутая (фиг. 12. 2,з) рама девять раз статически неопределима и так далее; каждый замкнутый контур содержит три лишних

шарнирное соединение или шарнир, изображаемое обычно, как

391

показано либо на фиг. 12.2,к, либо, если рама изображается только осевой линией, как на фиг. 12. 2,л. Шарнирное соедине­ ние допускает взаимный поворот соединяемых концов. Посколь­ ку для образования шарнира потребовались две связи, замкну­ тая рама с шарниром дважды статически неопределима, т. е. степень ее статической неопределимости на единицу меньше, чем замкнутой рамы без шарниров.

Итак, введение шарнира в раму снижает степень ее статиче­ ской неопределимости на единицу. Замкнутая рама с двумя шар­ нирами (фиг. 12. 2,м) однажды статически неопределима. За-

tb? JL

Фиг. 12.3. При некоторых нагрузках системы с избы­ точным количеством связей могут быть статически <определимыми.

а — усилия в вертикальных связях заведомо равны нулю; усилие в горизонтальной связи определяется из уравнения равновесия; б— реакция средней опоры заведомо равна нулю; реакции остальных опор определяются из уравнений равновесия.

мкнутая рама с тремя шарнирами (фиг. 12. 2,н) статически опре­ делима. Дальнейшее введение шарниров нарушило бы геомет­ рическую неизменяемость системы. Замкнутый контур с четырь­ мя шарнирами (см., например, фиг. 2. 1,(3) является уже изме­ няемой системой.

З а в и с и м о с т ь с т е п е н и н е о п р е д е л и м о с т и от н а г р у з к и . Заметим, что системы с избыточным числом свя­ зей могут при некоторых нагрузках явиться статически опре­ делимыми или иметь степень статической неопределимости мень­ шей числа лишних связей. Это является следствием того, что уси­ лия в некоторых лишних связях заведомо обращаются в нуль. Так, у балки, показанной на фиг. 12. 3,а, усилия всех опорных стерж­ ней, кроме горизонтального, при данной нагрузке равны нулю, а усилие горизонтального стержня определяется из уравнения статики. Таким образом данная система при данной нагрузке статически определима. Балка, изображенная на фиг. 12.3,6, имеет одну лишнюю связь, но реакция средней опоры при дан-

392

ной нагрузке явно равна нулю. Таким образом остается опреде­ лить реакции трех остающихся связей, что возможно сделать при помощи трех уравнений статики, следовательно, данная кон­ струкция при данной нагрузке статически определима.

§ 2. Особенности статически неопределимых систем

Ч у в с т в и т е л ь н о с т ь к н е т о ч н о с т и и з г о т о в л е ­

Фиг. 12.4. Сравнение работы систем с лишними свя­ зями и без них.

а — статически неопределимая балка напрягается при пере­ мещении опоры; б— простая балка не напрягается при пере­ мещении опоры; в — статически определимая система при на­ рушении какой-либо связи превращается в изменяемую систему; г и д — статически неопределимая система при нару­

шении части связей остается неизменяемой.

основании следующего опыта. Пусть мы имеем статически не­ определимую балку, показанную на фиг. 12. 1,в. Представим се­ бе, что правая опора переместилась па вертикали. Очевидно, это вызовет изгиб балки (фиг. 12. 4,а) и, следовательно, напряжения в ней. Эти напряжения будут тем больше, чем больше жесткость балки EJ. Перемещение же опоры статически определимой бал­ ки (фиг. 12.4,6) никаких напряжений в балке не вызывает, так как балка при этом не деформируется, а только поворачивается.

Достаточно небольшого перемещения опоры, небольшой не­ точности в ее установке, чтобы в статически неопределимой кон­ струкции возникли значительные напряжения. Таким образом статически неопределимые конструкции очень чувствительны к неточности изготовления деталей и неточности сборки. Незна­ чительные отклонения в размерах против расчетных могут при-

393

вести к распределению внутренних усилий в статически неопре­ делимой конструкции, совершенно отличному от того, которое предполагалось на основании расчета.

тальный брус рамы изменит свою длину, а расстояние между опорами измениться не может. Нагревание или охлаждение части конструкции также может вызвать напряжения во всей

стоятельства часто приводят практически к невозможности точ­ но рассчитать статически неопределимую систему. Неточность расчета в сложных случаях усугубляется трудоемкостью число­ вых выкладок. В том случае если статически неопределимая си­ стема выполнена из различных материалов, при расчете ее при­ ходится учитывать свойства материалов, как модуль упругости, коэффициент теплового расширения и др. Неточность определе­ ния этих величин также приводит к дополнительному снижению точности расчета системы. Помимо указанного, большое влияние на погрешность может оказать деформация узлов и люфты в узлах.

Определение размеров статически неопределимой конструк­ ции, обеспечивающих eg прочность, производится преиму­ щественно путем подбора. В начале расчета предварительно при­ ходится задаваться размерами сечений стержней или соотноше­ нием между ними (при расчете рам, например, нужно задаться моментами инерции сечений элементов рамы или отношением их). После определения напряжений, вызываемых в конструк­ ции заданной нагрузкой, размеры элементов ее уточняются в соответствии с допускаемыми напряжениями для данного мате­ риала и в случае значительных поправок расчет напряжений повторяется с принятием новых размеров.

Ж и в у ч е с т ь . Избыточное количество связей в статически неопределимой системе полезно для конструкций, могущих подвергаться местным повреждениям, например, военных са­ молетов, так как приводит к большей живучести, т. е. способ­ ности работать и после повреждений. Система, п раз статически неопределимая, может, даже потеряв п связей в результате повреждений, остаться все же геометрически неизменяемой и, следовательно, способной воспринимать некоторую нагрузку и только потеря («+1)-ой связи приводит конструкцию к разру­ шению, превращая ее в механизм.

На фиг. 12.4,виг показан случай повреждения подкосной тяги в статически определимой и статически неопределимой конструкции. Первая превратилась в подвижную систему, вторая еще остается геометрически неизменяемой. Рама с заделанными

394

пятами, потеряв три связи в результате сквозного разреза (фиг. 12.4,5), сохраняет еще способность нести некоторую на­ грузку. Сказанное не относится, однако, к категории связей, на­ зываемых безусловно необходимыми. Безусловно необходимыми связями или элементами конструкции называются такие связи или элементы, разрушение которых приводит к разрушению всей конструкции. Так, например, повреждение неподвижной опоры многоопорной балки (фиг. 12. 1 ,ж) приводит при наличии внеш­ них сил, действующих в горизонтальном направлении, к сходу всей балки с катков. Неподвижная опора (точнее, одна из свя­ зей, представляемых этой опорой, именно — горизонтальная) является безусловно необходимой связью данной конструкции.

§ 3. Уравнения перемещений

Займемся определением усилий в лишних связях статически неопределимых систем. Основным методом расчета статически неопределимых систем является метод сил, который и рассматри­ вается в настоящем параграфе. Второй метод — метод деформа­ ций — в данной книге не рассматривается.

Идея метода сил заключается в следующем. Связи в системе, принимаемые за лишние, отбрасываются и вместо них прикла­ дываются их усилия (которые, конечно, неизвестны). На полу­ ченную статически определимую систему, так называемую «основную систему», накладываются условия деформации за­ данной статически неопределимой системы. Эти условия. выра­ жаются уравнениями, называемыми уравнениями перемещений. Решая уравнения перемещений определяют искомые лишние не­ известные — усилия в лишних связях.

Покажем этот способ расчета на простых примерах.

Пример 1. Определить реакции опор балки постоянного сече­ ния длиной I, заделанной одним концом и свободно опертой дру­ гим (фиг. 12.5,а) и загруженной равномерно распределенной нагрузкой интенсивности q на всей длине балки.

Предложенная балка однажды статически неопределима, так как неизвестных реакций четыре: у заделки А — две реактивных силы и реактивный момент и у опоры В — реактивная сила. Взяв сумму проекций всех сил на горизонтальную ось и приравняв нулю, найдем, что горизонтальная составляющая реакции опо­ ры А равна нулю. Теперь в нашем распоряжении остается два уравнения статики, а неизвестных реакций имеем три. Необхо­ димо составить дополнительное уравнение, которое бы дало воз­ можность определить одну лишнюю неизвестную реакцию.

За такую неизвестную примем реакцию опоры В, обозначим ее через X (выбор неизвестной, подлежащей определению из дополнительного уравнения, произволен и диктуется удобствами решения). Отбросим опору В, реакцию которой мы хотим опре-

395

делить. Получим статически определимую систему (фиг. 12.5,6), которую будем называть основной системой. Приложим к основ­ ной системе вместо отброшенной опоры ее реакцию X. Получим систему, нагруженную так же, как и исходная, заданная, стати­ чески неопределимая система. Очевидно, и деформируется она поэтому так же, как заданна^ (пунктиром на фиг. 12. 5,аиб по­ казан характер деформации балки). И хотя точка В — конец балки — теперь свободна от опоры, ее перемещение по вертика-

Фиг. 12.5. К составлению уравнения перемещений.

а — заданная система с одной лишней связью; б — одна связь отброшена и заменена ее реакцией X; условия работы систе­ мы не изменились; в — нагрузка вызывала бы прогиб Δχ(/·,

г — но сила X его аннулирует: Δχχ= Δχ({ (уравнение пере­

форме; 8ц — перемещение, вызываемое единичной силой.

ли равно нулю. Это обстоятельство и служит основанием для со­ ставления необходимого· дополнительного уравнения. Запишем его:

где Sx — перемещение по направлению X, т. е. перемещение точ­ ки В по вертикали.

Выразим Δ* по принципу сложения (называемому . иначе принципом независимости действия сил) как сумму перемещений от отдельных нагрузок.

На балку действуют две силы: нагрузка q и сила X. Если бы сила X отсутствовала, балка прогнулась бы вниз (фиг. 12. 5,в). Обозначим перемещение точки В при этом через д*,. Первый

395

индекс (л:) при знаке перемещения А означает место и направіение перемещения, второй индекс (q) — причину перемещения.

Если бы на балку действовала, наоборот, только сила X, а на­ грузка q отсутствовала, то балка, очевидно, прогнулась бы вверх (фиг. 12.5,г). Придерживаясь прежнего принципа индексации, перемещение точки В при этом мы обозначим через Агх. При сов­ местном действии нагрузки q и силы X перемещение точки В за­ пишется как алгебраическая сумма перемещений Аxq И Дет· Но перемещение точки В, как выше указано [см. уравнение (1)], рав­ но нулю. Следовательно,

минус учитывает другое направление перемещения Ахх по

искомая реакция опоры В

X = — ql.

8 *

Зная реакцию опоры В, нетрудно определить реакцию опо­ ры А. Взяв сумму проекций всех сил на вертикаль и приравняв пулю, найдем вертикальную реакцию опоры Л:

RA ~ ~ ql*·

Определим также и реактивный момент в заделке А:

(фиг. 12.5,(5) с равными пролетами, загруженной равномерно распределенной нагрузкой.

Принимая за лишнюю неизвестную X реакцию средней опо­ ры, будем иметь основную систему в виде балки на двух опорах. Па основании предыдущего (гл. XI, § 4, пример 4) напишем

А

хч 384 EJ

397

и также (там же, пример 3)

Подставляя это в уравнение (2), получим

Теперь из уравнения проекций на вертикаль найдем, что каж­

дая из остальных двух реакций равна — да. Между прочим, эти

же результаты можно было бы получить сразу на основании ре­ шения предыдущей задачи, замечая, что по симметрии балки и нагрузки угол поворота сечения балки, расположенного над средней опорой, равен нулю. На фиг. 12.5,5 характер деформа­ ции балки показан пунктиром. Таким образом каждый из проле­ тов можно рассматривать как бы заделанным в среднем сече­ нии балки и свободно опертым другим концом, т. е. так, как это было в предыдущем примере, где мы получили реакцию опоры

равной — ql.

У р а в н е н и е п е р е м е щ е н и й в к а н о н и ч е с к о й ф о р м е . Уравнение перемещений (2), которым мы уже дважды пользовались, обычно пишется в таком виде:

значаемое ранее просто Х\ индекс 1 вводится в соответствии с общей системой индексации, более удобной при решении систем с несколькими лишними связями (см. далее § 6);

8ц — перемещение по направлению силы Хг от силы, равной единице и направленной по Х1 (см. фиг. 12. 5,з).

Таким образом первое слагаемое уравнения (3) выражает попрежнему перемещение, вызываемое лишней неизвестной в своем направлении, а второе слагаемое — ,ρ— перемещение по направлению силы Хи вызываемое заданной внешней на­ грузкой.

Уравнение (3) называется уравнением перемещений в кано­ нической форме или просто каноническим уравнением. Оно при­ меняется при расчете всех однажды статически неопределимых систем и попрежнему выражает условие, что перемещение по на­ правлению неизвестной силы Хх при совместном действии внеш­ ней нагрузки и силы Хг равно нулю. При расчете многократно

398

статически неопределимых систем составляются системы урав­ нений перемещений — см. далее § 6.

Индекс Р в уравнении (3), указывающий внешнюю нагрузку, как причину перемещения, будем понимать условно и применять всегда независимо от характера нагрузки.

§ 4. Применение канонического уравнения к расчету статически неопределимых балок

Рассмотрим несколько примеров расчета однажды стати­ чески неопределимых балок при помощи канонического уравне-, ния (3).

Пример 1. Построить эпюру изгибающих моментов для бал­ ки, заделанной одним концом и свободно опертой другим и за­ груженной сосредоточенной силой Р по середине (фиг. 12. 6,а).

Фиг. 12.6. Порядок расчета статически неопределимой системы на примере балки с защемленным концом.

а— заданная система; б— основная система, ей эквивалентная, нагру­ женная внешней нагрузкой и «лишней» неизвестной Хе, в и г — «гру­ зовое» и «единичное» состояния основной системы; д— эпюра изги­ бающих моментов от лишней неизвестной Хе, е — полная эпюра моментов; ж— характер деформации системы (в соответствии с полу­

ченной эпюрой М).

Такая балка уже рассматривалась нами ранее (пример 1 пре­ дыдущего параграфа), но при иной нагрузке. Тогда мы приняли основную систему в виде консоли. Можно было бы принять ее и в виде балки. Приняв за лишнюю неизвестную Хх момент в за-

399·

делке, будем иметь основную систему в виде балки на двух опо­ рах (фиг. 12.6,6). Момент найдется из канонического урав­ нения (3):

Ді/. ЛЧ= — 'п

Здесь Δ1Ρ—перемещение, возникающее после отбрасывания лишней связи, по ее направлению, вызываемое заданной на­ грузкой Р, т. е. в данном случае угол поворота конца балки (фиг. 12.6,в), а δη —перемещение там же от момента, равного единице, приложенного в направлении Х г (фиг. 12.6,г).

Перемещения и оп определим, пользуясь формулой (10) предыдущей главы,

ΣΜχΜρΧχ

в том же сечении от пары с моментом, равным единице, действующей в направлении момента Х ѵ

Для вычисления сумм- (4) и (5) по правилу Верещагина

нужно построить эпюры Мр и Мх. Эти эпюры показаны на фиг. 12.6,ей г. Чтобы вычислить Д1І>( нужно „перемножить",как

Чтобы вычислить 8П, умножаем площадь эпюры Mt на орди­ нату из той же эпюры [см. формулу (5)], проходящую через центр тяжести ее, и результат делим на жесткость балки EJ:

Теперь можем определить значение момента Χχ·.

400

Искомую эпюру изгибающих моментов М получим по прин­ ципу сложения действия сил. На балку действуют две силы: на­ грузка Р и реактивный момент Хг. Запишем полный изгибающий момент в некотором сечении балки как сумму моментов от каж­ дого из двух названных факторов:

Для пояснения последнего слагаемого напомним, что Мг есть из­ гибающий момент от пары с моментом, равным единице, дей­ ствующей в направлении Х1г следовательно, чтобы получить мо­

мент от Χ1β нужно Мj умножить на Хх.

Таким образом эпюру моментов М, которую требовалось по­

строить, получим, складывая эпюру МР с эпюрой Мх (фиг. 12. 6,г),

з

все ординаты которой умножены на Хх= -РІ. Первое слагае-

16

мое — эпюра МР— уже построена ранее (фиг. 12. 6,в). Второе

слагаемое — эпюра МхХх— показано на фиг. 12. 6Д При сложе­ нии эпюр учитываем их знаки. Отложим сперва прямолинейную

эпюру МхХi (фиг. 12. 6,е), затем от линии ab этой эпюры отло­ жим вертикально вверх положительные ординаты эпюры МР, ко­ торые будут взаимно уничтожаться с отрицательными ордината­

ми эпюры МхХх там, где будут накладываться на них. Результи­ рующая эпюра заштрихована.

По эпюре моментов можно судить об общей картине дефор­ мации балки. На фиг. 12. 6,ж показан характер упругой линии балки. На участке, где эпюра моментов отрицательна (влево от точки D), ось балки изогнута выпуклостью кверху. На участке, где эпюра моментов положительна (вправо от точки D), ось бал­ ки изогнута выпуклостью книзу. Точка D, разделяющая эти уча­ стки, называется точкой перегиба упругой линии. В точке пере­ гиба М = 0.

Пример 2. Проверить прочность хромансилевой 1 трубы раз­ мерами 20X18 мм, длиной 1 = 2 м, нагруженной равномерно рас­ пределенной нагрузкой интенсивности <7=30 кгім на всем про­ тяжении (фиг. 12. 7,а). Концы балки защемлены. Допускаемое напряжение [о]=4000 кг/см2.

Горизонтальные реакции опор Н можно считать равными ну­ лю. В подавляющем большинстве реальных конструкций они не вызывают значительных напряжений. Вертикальные реакции в данном случае одинаковы и равны каждая половине всей на­ грузки:

1 Хромансиль — специальная сталь высокой прочности.

Неизвестными являются только реактивные моменты Хг также вследствие симметрии конструкции и нагрузки, равные друг дру­ гу. Примем оба эти момента за лишнюю неизвестную Х1г а за основную систему, следовательно, простую балку (фиг. 12.7,6).

Величина Лі определится попрежнему на основании канонического уравнения (3)

Этот индекс указывает, что причиной перемещения является внешняя на­ грузка (хотя в данном случае она не является сосредоточенной силой).

402

Окончательную эпюру изгибающих моментов М построим по формуле (6) как сумму эпюр Мг и ~МД*. Сперва отложим эпюру

М1Х1 (прямоугольник на фиг. 12. 7,е внизу). Наложив затем на эту отрицательную эпюру положительную эпюру МР, как пока­ зано на рисунке, получаем окончательную эпюру моментов М, заштрихованную на чертеже. Как видим из эпюры М, наиболь­ шій изгибающий момент имеет место у заделки и равен

Максимальное напряжение в материале балки 3640 KzjcM2 меньше допускаемого, т. е. прочность балки обеспечена.

Фиг. 12.8. Симметричная трехпролетная балка при симметричной нагрузке также однажды статически неопределима.

Пример 3. Построить эпюры изгибающих моментов и попе­ речных сил для балки на четырех опорах с равными пролета­ ми (фиг. 12. 8,а), загруженной равномерно распределенной на­ грузкой на всем протяжении.

За лишнюю неизвестную Хі примем изгибающие моменты в сечениях балки над опорами 2 и ·?; вследствие симметрии они одинаковы. Соответственно основная система представляет собой балку, в которой над опорой 2 и 3 поставлены шарниры (см. фиг. 12. 8,6). На фиг. 12. 8,в и г показаны эпюры изгибающих мо­ ментов, построенные для основной системы от заданной нагруз­

ки (Мр), и от единичных моментов X, = l (Aij). Эпюра МР пред­ ставляется тремя одинаковыми параболами; максимальная орди­

ната каждой из них р а в н а п л о щ а д ь —-. Эпюра Мг состоит из

трех прямолинейных участков; при принятом направлении мо­ ментов Xt она отрицательна. По формулам (4) и (5), пользуясь правилом Верещагина, найдем

стка балки — сумму моментов относительно точки 2:

проекций на вертикаль всех сил, действующих на балку, и приравняем ее нулю:

2 + /?а -J- /?з—Zlq = 0.

О

404

Отсюда R2= R3= -ji- ql. Зная реакции всех опор, нетрудно

определить поперечную силу Q в любом сечении балки на основании того, что поперечная сила равна сумме сил, дей­ ствующих на балку по одну сторону от сечения. Например,

поперечная сила у опоры 7 равна реакции этой опоры — ql.

5

Поперечная сила Qx в произвольном сечении первого пролета

и в других пролетах. Так, для второго пролета, т. е. когда

Из этого уравнения при х = 1 (т. е. в начале второго пролета — вблизи опоры 2, правее ее) получим Q = — ql и при х — 21

момент может иметь наибольшее значение. Вычислим его, пользуясь непосредственно тем, что изгибающий момент численно равен сумме моментов односторонних сил относи­ тельно сечения. Рассматривая силы слева от сечения, напишем

2

І ' - І ' і - Ѵ -

Подставим сюда Ri = -^-ql, как найдено выше; будем иметь

5

Mm^ q l K

405

Момент в середине второго пролета определяется при ea-

Пример 4. Решить предыдущую задачу при условии, что момент инерции сечения балки в крайних пролетах вдвое больше, чем в среднем (фиг. 12.9, а). Ход решения остается прежним, но числовые значения ΔιΡ и δη изменяются:

406