§ 7. Касательные напряжения при изгибе

Сначала рассмотрим балку сплошного прямоугольного сече­ ния. В § 1 предыдущей главы (фиг. 8. 4) установлено, что в по­ перечных сечениях балки, помимо нормальных напряжений, возникают также и касательные напряжения т. В § 3 той же главы было отмечено, что касательные напряжения при изгибе зависят от поперечной силы Q. Как они изменяются по сечению, еще неизвестно, но предварительно можно принять два предпо­ ложения: 1) касательные напряжения направлены параллельно

равномерно.

К а с а т е л ь н ы е н а п р я ж е н и я в п р о д о л ь н ы х се­ ч е н и я х . При наличии напряжений τ в поперечных сечениях балки в ее продольных сечениях, параллельных нейтральному слою, согласно закону парности, также появляются касательные напряжения. Наличие напряжений в продольных сечениях на­ глядно показывает следующий простой опыт. Возьмем балку, составленную из двух брусьев прямоугольного сечения, поло­ женных друг на друга и заделанных одним концом (фиг. 9. 21,а). Если изогнуть ее вертикальной силой Р, то каждый брус изогнет­ ся отдельно и крайние нижние волокна АВ верхнего бруса удли­ нятся, а соприкасающиеся с ними верхние волокна CD нижнего бруса сократятся. По плоскости раздела произойдет продольное смещение точек одного бруса относительно соответствующих то­ чек другого бруса, и в результате крайнее сечение верхнего бру­ са выдвинется относительно крайнего сечения нижнего бруса (фиг. 9.21,6). Произойдет продольное смещение, аналогичное смещению листов тетради или книги, если, удерживая за коре­ шок, изогнуть их подобно изгибу консоли. Такое же смещение по-

284

лучается вследствие того, что в плоскости соприкасания между брусьями отсутствуют силы взаимодействия, а силы трения малы и легко преодолеваются. Если взять балку такого же сечения, но не составленную из двух брусьев, а целую, положим, склеив меж­ ду собой оба бруса, то, во-первых, изогнуть ее будет значительно труднее, а во-вторых, ее средние волокна АВ и CD совпадут с нейтральным слоем и не будут ни удлиняться, ни сокращаться,

и крайнее сечение на всю вы­

резая балки на две части продольным сечением АВ, к каждой половине мы должны приложить обнаруженные силы взаимодей­ ствия, создаваемые касательными напряжениями τ' (фиг. 9. 21,г). По ширине балки они распределяются равномерно, потому что верхняя и нижняя части смещаются друг относительно друга на одинаковую величину по ширине. Это ясно видно в крайнем се­ чении. Таким образом наше второе предположение о равномер­ ности касательных напряжений по ширине не противоречит ха­ рактеру деформации балки при изгибе.

Если сделать поперечное сечение с уступом, как показано на фиг. 9. 22, то одновременно с напряжениями τ, возникающими

285

в вертикальных гранях, обнаруживаются по закону парности такие же по величине и противоположные по направлению ка­ сательные напряжения τ' в продольных гранях. Их величина в продольном сечении, проведенном на расстоянии у от нейтраль­ ного слоя (фиг. 9.22), равна величине напряжений τ в точках поперечного сечения на том же уровне у. На верхней и нижней наружных поверхностях касательные напряжения τ' отсутствуют, потому что на поверхности балки отсутствуют касательные силы. Следовательно, и напряжения τ в поперечных сечениях у верх-

л

него и нижнего края, на расстоянии у = — от нейтрального слоя,

должны быть равны нулю. Это указывает на неравномерность распределения касательных напряжений по высоте балки.

§ 8. Определение касательных напряжений

Прежде чем приступить к выяснению закона изменения ка­

Фиг. 9.23. Зависимость между поперечной силой и изгибающим

моментом.

а — малый участок длиной Ах, выделенный из балки близкими по­ перечными сечениями /—/ и 2—2; б— схема равновесия сил, дей­ ствующих на выделенный участок А х балки.

чениями 1— 1 и 2—2 малый участок балки длиной А.ѵ (фиг. 9. 23,а). Для удобства вывода выбираем этот участок так, чтобы и поперечная сила и изгибающий момент были положи­ тельные. При отрицательных значениях Q и М направления со­ ответствующих им напряжений изменяются на обратные. В се­ чении 1—1 внешние силы, действующие на левую отбрасываемую часть балки, заменяются поперечной силой Q, направлен­ ной вверх, и изгибающим моментом М1. В смежном ему сече­ нии 2—2 силы правой части заменяются такой же силой Q, направленной вниз, и изгибающим моментом М„. Величина Q при отсутствии нагрузки в пределах участка Ах остается посто­ янной, а М увеличивается вследствие увеличения расстояния х.

286

Разность между М^ и М2 равна приращению изгибающего мо­ мента ΔΜ при переходе к смежному сечению на расстояние Δχ. Это приращение можно найти из условия равновесия, которое представим в виде суммы моментов всех сил, приложенных к выделенному участку δ χ , относительно центральной оси правого сечения, проходящей через точку О (фиг. 9.23,6):

Σ м = Q b x + М х — M t = о,

откуда

по длине и b по ширине в направлении, перпендикулярном пло­ скости чертежа. Полученный элемент вырезан только тремя се­ чениями: 1—А, А—В и В—2\ его четвертая грань 1—2 является наружной поверхностью балки и свободна от напряжений. Усло­ вия равновесия элемента требуют, чтобы сумма проекций всех приложенных к нему сил на ось балки равнялась нулю. На эту ось проектируются нормальные напряжения аг и σ2, возникаю­ щие в вертикальных гранях (фиг. 9.24), а также касательные напряжения τ' в продольной грани АВ. Напряжения х, возникаю­ щие в вертикальных гранях, не дают проекции на ось балки и на чертеже не показаны. Для наглядности вырезанный элемент изо­ бражен на фиг. 9. 25 в перспективе. Чтобы составить уравнение проекций, вычислим усилия, действующие на грани элемента. Ка­ сательные напряжения х' в горизонтальной грани распределены равномерно по площади bt±x и дают касательную силу Т= = χ'6Δχ. Необходимо отметить, что ширину b нужно брать на уровне слоя, в котором вычисляется величина х'. Это важно для сечений, у которых ширина b изменяется по высоте.

287

Нормальные напряжения распределяются неравномерно по высоте сечения. На каждую малую площадку Δ/7, взятую на расстоянии у ' от нейтрального слоя на левой грани, прихо­ дится малая сила a ^ F . Эти силы распределены по всей пло­ щади боковой грани элемента, составляющей только часть поперечного сечения. Суммируя их по этой части сечения,

т. е. давая расстоянию у ' все значения от у до —·, находим

продольную силу ΛΓ1 = Σσ1Δ/7. Напряжения 3j на уровне у'

Фиг. 9.25. Общий вид выделенного из балки элемента с напряжениями, которые проектиру­ ются Н4 горизонтальную ось.

зависят от изгибающего момента Мх в сечении 1 — 1 (фигу-

ра 9.23,6) по формуле (4): a ^ ^ j - y '. Подставим их в выра-

м,

жение равнодействующей и вынесем за знак суммы -у- как

величину, постоянную для всего сечения. Тогда получим

Сумма распространяется только на боковую грань элемента и представляет собой статический момент относительно нейтральной оси площади части сечения, расположенной от

jt

2

уот нейтральной оси до слоя, в котором вычисляются

напряжения τ'. Продольная сила левой грани элемента

288

Аналогично получаем продольную силу правой грани УѴ2 =

=S.

./

Статический момент 5 имеет ту же величину, что и для N v Теперь напишем уравнение проекций на горизонтальную ось Τ + ΝΛ—/Ѵ2 = 0. Подставляя найденные выше значения, имеем

■ z 'b ^ x + ^ i - S — ^ - 5 = 0.

χ

окончательно получим

(17)

Формула касательных напряжений применительно к балке прямоугольного сечения впервые была выведена русским инже­ нером Д. И. Журавским в 1855 г. По ней вычисляют касатель­ ные напряжения как в продольных, так и в поперечных сече­ ниях и применяют не только для прямоугольного сечения, но и вообще ко всем балкам со сплошным сече­ нием любой формы (фиг. 9. 26). Необходимо обратить внимание, что при вычислении по этой формуле нужно брать статический мо­ мент относительно нейтральной оси площади только части сечения, расположенной между уровнем у и верхним или нижним краем (на фиг. 9.26 верхняя часть заштрихована), и подставлять ширину Ь, взятую на уровне у.

По высоте сечения произвольной формы ка­ сательные напряжения изменяются в зависи­ мости от статического момента S и от ши­

рины Ь, а эти величины зависят от у. Для наиболее удаленных, крайних точек сечения при г / = г / ті1х, выше которых нет заштри­ хованной площади (фиг. -9.26), статический момент S обра­ щается в нуль, а следовательно, и напряжения - в этих точках также равны нулю. То же самое было установлено нами ранее на основании закона парности касательных напряжений. С умень­ шением расстояния у вышележащая заштрихованная площадь увеличивается, и статический момент S возрастает. Наибольшей величины он достигает при у = 0 для точек, расположенных на уровне нейтрального слоя; при переходе в другую половину се­

тому что выше этого уровня будет лежать вся площадь сечения, статический момент которой относительно ее центра тяжести всегда равен нулю. Таким образом при изгибе балки в край­ них точках поперечного сечения касательные напряжения рав­ ны нулю, а нормальные имеют наибольшую величину; в точках, близких к нейтральному слою, наоборот, касательные напря­ жения наибольшие, а нормальные малы и в нейтральном слое равны нулю. Распределение напряжений τ по высоте, зависящие от изменения и статического момента S и ширины сечения Ь, раз­

лично в различных по очертанию сечениях. Общую эпюру распределе­ ния τ для всех сечений, как это было сделано для о, построить нельзя. Эпюра τ устанавливается для каж­ дого вида сечения отдельно.

всего вычислим статический момент 5 заштрихованной площади, равной b — у 1. Для этого умножим ее на рас­ стояние

от ее центра тяжести С до нейтральной оси 0 0 ;

Мт-'ЖІ+*К(^-4

x _ Q S nQ — 11 —Ю = — — fl —

Полученное уравнение показывает, что τ зависит от квад­ рата расстояния у, следовательно, величина касательного напряжения по высоте прямоугольного сечения меняется «о закону квадратной параболы (фиг. 9.27). У верхнего и ниж-

290

него краев сечения при у = ± -у - касательное напряжение

получается равным нулю. Наибольшей величины оно дости­ гает в точках на ней тральной оси при у = 0:

Q_

τmax (18)

2 F

Наибольшее касательное напряжение в прямоугольном се­ чении в полтора раза больше его среднего значения, вычис­ ленного в предположении равно­ мерного распределения х по сече­

нию по формуле тср = -^-·

получится, что вдоль оси в плоскости нагрузки касательные на­ пряжения круга изменяются по квадратной параболе (фиг. 9. 28), как ив прямоугольнике. Наибольшие χ возникают в точках се­ чения, лежащих на нейтральной оси. Чтобы их найти, достаточно

Во всех точках круглого сечения, исключая точки, лежащие на нейтральной оси, помимо касательных напряжений, парал­ лельных плоскости нагрузки, возникают также касательные на­ пряжения, перпендикулярные к ней. Это очевидно из того, что полные касательные напряжения в точках, лежащих на наруж­ ном контуре сечения, должны быть направлены по касательной к линии контура (см. фиг. 6. 10). Таким образом полные напря­ жения будут действовать, как показано на фиг. 9. 28. Это поло­ жение имеет место для всех сечений, отличных от прямоуголь­

120-2,4 = 144 кг,

2

аизгибающий момент — по середине балки

М= qP 120-2,4* = 86,4 кгм.

8 8

Момент сопротивления прямоугольного сечения равен

Наибольшие нормальные напряжения возникают по середине пролета в крайних точках сечения 7 — 7:

м_ 8640 = 90 кг/см3.

W96

Вэтом сечении касательные напряжения отсутствуют, так как

292

ответствующих сечениях. Во всех остальных сечениях балки они будут меньше. Этот пример показывает, что в прямо­ угольной балке касательные напряжения получаются малыми

Опасное сечение балки будет у за­

делки, где Q =P = 2000 кг и изгибающий момент M — Pl= 2000Х X 1,5= 3000 кгм. По табл. 9 § 5 настоящей главы находим разме­ ры сечения (фиг. 9.30), его площадь F= 35,5 см*, момент сопро­ тивления №=237 см3 и момент инерции 7=2370 см*. Нормальные напряжения в крайних точках опасного сечения равны

Эту площадь разбиваем на площадь полки, приблизительно

—-----—= 10— 0,57 = 9,43 см и — — = 5 см. Статический мо-

получаем касательные напряжения в точках по нейтральной оси опасного сечения

QS 2000-135

163 K Z j C M 2 .

лъ 2370-0,7

293