6. Построить эпюры Q и М для балки, изображенной фиг. 8. 20,е.

от заданной сплошной нагрузки.

§ 6. Примеры эпюр усилий для простой балки на двух опорах

Пример 1. Построить эпюры для простой балки, нагруженной одной сосредоточенной силой Р, приложенной на расстоянии а от левой опоры и Ь от правой опоры (фиг. 8. 21).

Построение эпюр нельзя начать ни с левого, ни с правого конца, не определив предварительно опорных реакций балки. Это является общим правилом для всех балок, за исключением консоли, у которой один конец свободен, и построение можно на­ чинать от этого конца без определения реакций. Отбросим опоры и действие их заменим реакциями А и В (фиг. 8.21,6). Состав­ ляя уравнения моментов всех сил относительно правой и левой

РЬ Ра

опор, соответственно находим А = — и В = — (см. задачу 1, § 2

настоящей главы). Теперь можно приступить к построению эпюр при помощи тех же способов и правил, как это мы делали в бал­ ке с одним заделанным концом. Начинать можно от любого кощ ца, от левого или от правого, потому что все силы, расположен­ ные по любую сторону от произвольного сечения, нам теперь известны. Снова рекомендуем закрыть листом бумаги изобра­ жение балки и, передвигая лист, например, вправо, постепенно открывать силы, расположенные слева от произвольного сечения, взятого на расстоянии до края листа (фиг. 8.21,6). Открытую часть балки можно рассматривать как консоль, заделанную в се­ чении на расстоянии хг. Поперечная сила в этом сечении, равная

230

значение. Эпюра Q очерчивается горизонтальной прямой, огра­ ничивающей положительные ординаты, которые нужно отклады­ вать вверх. Передвинув лист бумаги вправо в участок Ь, откроем силу Р, которая войдет в сумму левых сил со знаком минус:

Но Ь — І ——( — &+ / ) = —а, а следовательно, поперечная сила

23 1

Возьмем два значения изгибающего момента участка Ь:

при х = а, Мь= ^у-а—Р(а—а )= ~ -;

при х —1, Mb = ^ j - l — P ( l — a) = Pb— Pb = 0.

Под грузом изгибающий момент получается одинаковым как из уравнения участка а, так и из уравнения участка Ь. Эпюра М имеет здесь перелом. В крайних сечениях, совпадающих с шар­ нирными опорами, изгибающий момент равен нулю. Наибольшей величины он достигает в сечении под грузом. В этом сечении эпюра поперечных сил проходит через ось балки, т. е. через нуле­ вое значение.

В частном случае, когда сила Р приложена по середине

балки, а —Ь , опорные реакции будут равны между со-

р

бой и каждая равна половине нагрузки А = В = — . Внешние

силы, действующие на балку, расположены симметрично. Наибольший изгибающий момент получается по середине балки:

М = * - ± - = ” .

обходя балку слева направо:

В первом участке поперечная сила положительна, во втором она равна нулю, а в третьем отрицательна. Изгибающий момент в крайних участках изменяется по наклонным прямым. В опор-

232

ных сечениях он равен нулю и возрастает к среднему участку- В средней части балки изгибающий момент постоянен. В сече­ ниях, расположенных.симметрично относительно середины, изги­ бающие моменты одинаковы по величине и по знаку: эпюра М является симметричной. Ординаты эпюры Q в симметрично рас­ положенных сечениях имеют одинаковую величину, но противо­ положные знаки. Такая эпюра является обратно симметричной (фиг. 8. 22). Таким образом от симметричной нагрузки в симмет­ ричной балке эпюра М получает­

уравновесить силами одного на­ правления; пара сил может быть уравновешена только парой сил. Поэтому в опорах должны воз­ никнуть реакции Л = —В, состав­ ляющие пару сил. Если нагрузка стремится вращать балку против

часовой стрелки, то реакции должны быть направлены так, чтобы составить пару, вращающую по часовой стрелке. На­ пишем уравнение моментов всех сил относительно правой опоры

АІ—ЗР — =0, откуда А —Р.

3

Выражения поперечной силы и изгибающего момента для первых двух участков составим по нагрузке, расположенной слева от сечения, а для третьего — по нагрузке справа (фиг. 8. 23):

и имеет одинаковую величину; в среднем участке она отри­ цательна. Изгибающий момент во всех участках изменяется по наклонным прямым. На границах участков имеем:

233

На этот раз в симметричных сечениях изгибающий момент имеет одинаковую величину, но противоположные знаки. В сим­ метричной балке от обратно симметричной нагрузки эпюра М получается обратно симметричной, а

эпюра Q — симметричной.

Пример 4. Балка на двух опорах нагружена равномерной нагрузкой интенсивностью q (фиг. 8. 24). Преж­ де всего определим опорные реак­ ции. На один погонный метр прихо­ дится нагрузка q, а на длине I вся нагрузка балки равна ql. Вследствие симметрии расположения нагрузки реакции опор одинаковые и каждая из них равна половине всей нагрузки

A = B = lL .

2

Возьмем произвольное сечение на расстоянии х от левой опоры. Равнодействующая нагрузки, рас­ пределенной на этом участке,равна qx. Сумма проекций левых сил на вертикальную ось состоит из ре­ акции А, направленной вверх, и из

нагрузки qx, направленной вниз. Поперечная сила в произволь­ но выбранном сечении равна

Q = A — qx=z— — qx.

Она изменяется по прямой. Чтобы провести эту прямую, необ­ ходимо вычислить по крайней мере две ординаты. Например, при

х = 0, Q = -y —<7-0 = у - ; при х = 1, Q = l i . — qi = — S i ..

Отложим эти ординаты на левой опоре вверх, а на правой

Сумма моментов левых сил относительно центральной оси произвольного сечения состоит из момента от реакции и мо-

2Л4

мента от сплошной нагрузки, равнодействующая которой при­ ложена в центре тяжести нагрузки, т. е. по середине левого

и ординаты его эпюры должны лежать на кривой—параболе

при х —1, М — 1 (I — /) = 0.

Отложим найденные ординаты вверх от оси балки и, со­ единив концы их плавной кривой, получим эпюру М (фиг. 8.24). Наибольший изгибающий момент получается по середине пролета:

щадь половины такой фигуры, согласно примеру 1, § 5 гл. VI

(фиг. 6.16), равна */з основания а = -^-, умноженного на вы-

д[і

соту Ь = — . Вся площадь эпюры М от равномерной нагрузки

8

простой балки равна

Пример 5. Построить эпюры Q и М для простой балки, нагру­ женной сосредоточенным моментом Л4св сечении С на расстоя­ нии а от левой опоры и Ь от правой (фиг. 8. 25).

Так как нагрузка составляет пару сил, то опорные реакции, чтобы уравновесить нагрузку, должны составить пару с момен­ том такой же величины, но вращающим в обратную сторону. Эго

235

значит, что реакции должны быть одинаковы по величине и противоположны по направлению. Момент Мс вращает по часо­ вой стрелке, следовательно, реакции должны вращать против ча­

совой стрелки (фиг. 8.25): А1=В1=МС,откуда А = В = ~ . Реак­

слева сразу появляется момент Мс, и изгибающий момент второго участка будет

Он изменяется по прямой, определяемой ординатами:

Прямая C'B второго участка параллельна прямой АВ', полу­ ченной для первого участка, потому что их ординаты отличаются на одну и ту же величину, равную Мс. Под сосредоточенным мо­ ментом эпюра М имеет скачок на величину этого момента.

Если изменить расстояния а и Ъи приложить момент в дру­ гом сечении, то эпюра Q не изменится, так как реакции зависят только от величины М с и пролета /. Не изменится и наклон пря­ мых АВ' и А'В в эпюре М, но скачок в ней передвинется в то сече-

236

ние, где приложен сосредоточенный момент. В частности, если мо­ мент приложить на левой опоре, то эпюра будет иметь вид тре­ угольника АА'В.

Задачи. 1. Построить эпюры Q и М для простой балки, нагру­ женной двумя одинаковыми моментами М0 (фиг. 8.26).

2. Балка нагружена уравновешенной нагрузкой (фиг. 8.27). Построить эпюры Q и М.

3. Простая балка пролетом 1=5 м нагружена равномерной нагрузкой q на участке длиной 3 ж от левой опоры и сосредото-

ченной силой Р на расстоянии 1 м от правой опоры. Для этой балки построена эпюра Q (фиг. 8.28). Определить величины на­ грузок q и Р и построить эпюру М.

4.Известна эпюра изгибающих моментов для консольной балки, нагруженной силой Р, сосредоточенным моментом Мс и равномерной нагрузкой q (фиг. 8.29). Вычислить величину этих нагрузок и построить эпюру поперечных сил.

5.Для лонжерона крыла, изображенного на фиг. 8. 6, вычи­ слить по заданной нагрузке ординаты эпюр Q и М в сечениях А, В, С и по середине участков АВ и ВС. Построить по найденным ординатам эпюры этих усилий.

237