§ 8. Рама

Система брусьев или стержней, жестко связанных между со­ бой во всех или в некоторых узлах, называется рамой, как, на­ пример, системы, изображенные на фиг. 8. 32. Жесткое соедине­ ние стержней, из которых состоит рама, предполагает отсут­

нибудь угол, то вместе с ним поворачиваются на тот же угол крайние сечения всех стержней, соединенных с этим узлом

ствие отброшенной части рамы на остающуюся, состоят не только, из поперечной силы Q и изгибающего момента М, как в балке от нагрузки перпендикулярной ее оси; в плоской раме, как правило, появляется еще одно усилие, а именно, продольная сила N. Уси­ лия М, Q и N возникают одновременно, все вместе заменяют дей­ ствие отброшенной части на остающуюся и уравновешивают внешние силы, приложенные к этой остающейся части. По ана­ логии с вычислением усилий М и Q (§ 3 настоящей главы) при вычислении усилия N будем исходить из того, что продольная си­ ла в данном сечении равна алгебраической сумме проекций на ось рассматриваемого участка рамы всех сил, расположенных по одну сторону от сечения. Например, для рамы, изображенной на фиг. 8. 33,а, в сечении тт получается изгибающий момент М=Ра. Здесь а — перпендикуляр, опущенный из центра сечения тт на направление силы Р. В том же сечении поперечная сила Q=P sin а, а продольная сила N=P cos а. Угол а измеряется

242

между направлением внешний силы Р и направлением оси рамы в данном сечении. В тех сечениях, где нагрузка Р перпендикуляр­ на оси рамы, там угол а = 90°, a так как cos 90°=0, то продольная сила в этих сечениях отсутствует, N = 0. Там, где сила Р парал­ лельна оси рамы, отсутствует поперечная сила, Q—0, потому что угол а = 0 и sin 0=0.

Раскладывая внешнюю нагрузку Р (фиг. 8. 33,6) на два на­ правления— перпендикулярное и параллельное оси рамы в дан­ ном сечении, получаем составляющие, из которых первая равна

как и в балках (фиг. 8. 12). Но в раме не всегда ясно, какие во­ локна являются верхними и какие нижними, поэтому условимся откладывать ординаты эпюры М всегда на стороне сжатых во­ локон в соответствии с принятым правилом построения эпюры М в балках (§ 4 настоящей главы). При таком построении можно не указывать, какие ординаты эпюры М считаются положитель­ ными и какие отрицательными. Знак поперечной силы будем определять, исходя из того, что положительная поперечная сила стремится повернуть выделенный элемент по часовой стрелке, а отрицательная — против часовой стрелки. Это соответствует при­ нятому ранее правилу знаков (фиг. 8. 12). Продольную силу условимся считать положительной, если она вызывает растяже­ ние в данном сечении, и отрицательной, если она вызывает сжатие.

На фиг. 8. 34 показано направление действия положительных усилий Q и N на выделенный элемент. При построении эпюр Q и N положительные ординаты будем отмечать знаком плюс, а от­ рицательные — знаком минус и откладывать ординаты с разны­ ми знаками в разные стороны от оси рамы, причем не будем уцта-

Фиг. 8.34. Правило зна­ ков для поперечной и продольной сил.

навливать с какой стороны откладывать положительные ордина­ ты и с какой — отрицательные. Применение этих правил покажем на следующих примерах.

§ 9. Построение эпюр усилий в рамах

Пример 1. Построить эпюры поперечной и продольной сил и изгибающего момента от сил Рг= 30 кг и Р2=40 кг, приложенных на одном конце рамы, заделанном другим концом в стену (фиг. 8.35). Построение начнем от левого свободного конца А,

-~-а,*20с»-~л

Сη

Фиг. 8.35. Построение эпюр Q, N и М в раме от сосредото­ ченных сил.

вычисляя усилия последовательно для каждого участка. При этом рекомендуется правую часть рамы закрыть листом бумаги

илевую часть рассматривать как консоль.

Уч а с т о к АВ. Слева от произвольного сечения / —1 нахо­ дятся силы Рг и Р2. Их проекция на вертикальную ось 1—1 равна положительной поперечной силе Q1=P1= 30 кг. Проекция на го­ ризонтальную ось равна продольной силе, которая вызывает сжа­

244

ры Q вверх, а отрицательные ординаты эпюры N вниз и отмечаем их знаками плюс и минус соответственно (фиг. 8.35). Изгибаю­ щий момент в сечении 1—1, М ^ Р ^ , вызывает сжатие верхних волокон и изменяется по наклонной прямой от М ^О при х,=0 до Mt=Ρ2α3= 30 · 20=600 кгсм при х1 = а1. Откладываем ордина­ ты эпюры М вверх и соединяем прямой.

У ч а с т о к ВС. Чтобы получить поперечную силу, нужно про­ ектировать левые силы на перпендикуляр к оси бруса, т. е. на горизонтальную ось 2—2, Q= —Р2= —40 кг. Поперечная сила на этом участке стремится повернуть выделенный элемент против часовой стрелки. Она отрицательна, поэтому ординаты ее эпюры откладываем вправо от оси ВС.

Продольная сила равна сумме проекций на ось бруса, т. е. на вертикаль ВС, N2= —Р2= —30 кг. Она вызывает сжатие в се­ чении 2—2; ординаты эпюры откладываем вправо с той же сто­ роны от оси, как и для участка АВ.

Изгибающий момент в сечении 2—2 равен М2=Р3ах—Р2у. От силы Рг возникает постоянный момент, направленный по часовой стрелке; он вызывает сжатие левых волокон. От силы Р2 момент изменяется пропорционально расстоянию у и направлен против часовой стрелки; он вызывает сжатие правых волокон. Ордина­ ты эпюры М уменьшаются по прямой от Λί2=Р1а1 = 30 · 20=

локон.

У ч а с т о к CD. Поперечная и продольная силы получаются здесь такие же, как и для участка АВ, потому что сечение 3—3 параллельно сечению 1—1 и между ними нет нагрузки. Изгибаю­ щий момент в сечении 3—3 равен ΜΆ=Ρ\ΧΆ—P2h. Он изменяется по наклонной прямой от М3=Р1а1—Р21і= 200 кгсм при хг=а до Μ3= Ρ 1(α1+ α 2)—P2h= 30-35—40-10=650 кгсм при х3=ах+а2. На участке CD сжимаются верхние волокна, потому что момент от силы Рх, направленный по часовой стрелке, больше момента от силы Р2, имеющего обратное направление. На эпюре М (фиг. 8.35) знаки не надписаны, так как ординаты отложены со стороны сжатых волокон, что вполне определяет направление действия изгибающего момента в каждом сечении.

Пример 2. Построить эпюры для рамы, заделанной одним концом и нагруженной равномерной нагрузкой интенсивностью ί/= 120 кг/м на участке АЕ длиной а =20 см и сосредоточенным

ложительна, потому что она стремится повернуть выделенный элемент по часовой стрелке. Отложим ординаты ее эпюры на на-

245

ружных волокнах вниз (фиг. 8.36). На участке ED поперечная сила равна нулю, потому что на горизонтальное направление, перпендикулярное оси рамы, силы, лежащие позади сечения 2—2, проекций не дают. Если отбросить часть рамы справа от се­ чения 3—3 или просто закрыть ее листом бумаги (фиг. 8.36), станет совершенно ясно, что для участков DC и СВ позади лежа­ щая сплошная нагрузка проектируется полностью на вертикаль­ ное направление и в сечениях 3—3 и 4—4 равна постоянной по­ перечной силе, которая стремится повернуть элемент против ча­ совой стрелки, Q3— Q1——Qa = —24 кг. По этим значениям по­ строена эпюра Q.

зонтальных участках АЕ и DB не возникает. На участке CD в произвольном сечении 2—2 на ось бруса проектируется вся поза­ ди лежащая равномерная нагрузка. Она равна продольной силе, вызывающей растяжение, N2=qa=24 кг. Откладываем положи­ тельные ординаты эпюры N влево от оси ED (фиг. 8. 36).

от МА = 0 до Ме =!=^-~ 120^0,2 =2,4 кгм. Отложим ординаты

эпюры М на сжатых волокнах. Позади сечения 2 — 2 располо-

246

жена вся сплошная нагрузка, равнодействующая которой проходит по середине участка АЕ и равна qa. Ее плечо для

женном слева от равнодействующей, направлен по часовой

правой —нижние. Для сечения4 — 4 к нагрузке левой части до­

бавляется сосредоточенный момент Же: M4 = q a ^ — л:4| + Мс.

При х 4 = а, М4 = — + Aic = — 2,4 + 5 = 2,6 кгм\ при л\ = 2a, M4 —q a ^ — 2 a j + ЖС= — 2,2 кгм. Под сосредото­

ченным моментом эпюра М имеет скачок на величину этого момента. Прямые, ограничивающие эпюру М на участках DC и CD, параллельны между собой (фиг. 8.36).

Пример 3. Рама, имеющая форму буквы П, закреплена на концах при помощи неподвижной и подвижной цилиндрических опор. Она несет равномерно распределенную по левой стойке го­ ризонтальную нагрузку 9=200 кгім (фиг. 8.37). Построение эпюр возможно только после определения опорных реакций. В неподвижной опоре могут возникнуть две реакции: вертикаль­

Отсюда найдем H = qh—600 кг\ β=450 кг\ Л= 450 кг. Теперь по­ строение эпюр можно начать от любого конца.

П о п е р е ч н а я с и л а в сечении 1—1 при подсчете слева равна Qi=H—qy. Она изменяется по наклонной прямой от QA = = 600 кг до нуля в точке С. На участке CD получаем Q2= —А — ——450 кг, потому что слева от сечения 2—2 на вертикаль проек-

247

тируется только реакция А. На участке DB сумма проекций по­ зади лежащих сил на горизонтальное направление равна нулю,

Момент силы Н вызывает сжатие левого волокна. Сплошная на­ грузка только уменьшает этот момент, но не превосходит его.

Фиг. 8.37. Эпюры поперечной и продольной сил и изгибающего момента в раме на двух опорах от равномерной нагрузки.

Откладываем ординаты эпюры М влево. Ординаты эпюры М для других участков удобнее вычислять, обходя раму от правой опо­ ры к левой. На участке BD позади лежащая реакция В момента

и сжатие правой. В горизонтальном элементе рамы продольная сила отсутствует. Эпюры усилий изображены на фиг. 8. 37.

248

Пример 4. Построить эпюру изгибающих моментов для рамы» изображенной на фиг. 8. 38, находящейся под действием сосре­ доточенной силы Р. Вычисляем опорные реакции:

Мысленно освобождаемся от опор и прикладываем вычислен­ ные реакции. В сечении 1—1 слева только сила Ѵ=Р дает изги-

Ѵ=р

бающий момент Мх=Рхх. Он изменяется по наклонной прямой от нуля до РІ для сечения чуть левее точки С и действует против часовой стрелки, вызывая сжатие нижних волокон. Как только мы перейдем за точку С в участок СЕ, то к левым силам сразу добавится реакция В. Поэтому удобнее пой­ ти справа, где находится одна сила Р. Она вызывает в сечении 2—2 момент М2—Рх2, который действует справа против часовой стрелки и сжимает верхние волокна. Эпюра М от Е к С изменяется от нуля до РІ в сече­ нии чуть правее точки С.

Если, перейдя точку С, пойти вниз на участок CD, то сверху.сразу добавятся силы, приложенные к опоре А, а снизу будет дей­ ствовать единственная сила В. Снова сле­ дует изменить порядок обхода и для упро­

щения подсчета пойти от нижней опоры. На участке BD реакция В не дает момента. В сечении 3—3 снизу момент равен Mt=By= 2Ру. От Л до С он изменяется по треугольнику с наибольшей

ординатой 2РІ чуть ниже точки С. Сжимаются левые волокна. Чтобы убедиться в правильности построения эпюры М, рас­

смотрим равновесие узла С. Вырежем его из рамы и приложим

24?